3. (2024·徐州期末)如图，一次函数$y = x + 8$的图像与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图像交于$A(m,6)、B(-6,n)$两点.
(1)求此反比例函数的表达式.
(2)在y轴上存在点P，使得AP + BP的值最小，求AP + BP的最小值.
(3)M为反比例函数图像上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由.

(1)将A(m,6)代入y = x + 8得6 = m + 8，解得m = -2，∴A(-2,6)，同理可得点B的坐标为(-6,2). 将A(-2,6)代入y = $\frac{k}{x}$得k = xy = -12，
∴反比例函数的表达式为y = -$\frac{12}{x}$.
(2)作点A关于y轴的对称点A'(2,6)，连接A'B交y轴于点P，连接AP，如图①，此时AP + BP的值最小. ∵A'B = $\sqrt{[2 - (-6)]^2+(6 - 2)^2}=4\sqrt{5}$，AP = A'P，∴AP + BP的最小值为$4\sqrt{5}$.

(3)存在. 设M$(a,-\frac{12}{a})$，N(b,0). ①当点M在点B右侧时，过点B作BF⊥x轴于点F，过点M作MH⊥BF，交FB的延长线于点H，如图②，∵△MBN是以MN为底的等腰直角三角形，∴BM = NB，∠MBN = 90°，∴∠HBM + ∠NBF = 90°. ∵∠HBM + ∠HMB = 90°，
∴∠NBF = ∠HMB. 在△MHB和△BFN中，$\begin{cases}\angle H=\angle BFN\\\angle BMH=\angle NBF\\BM = NB\end{cases}$，
∴△MHB≌△BFN(AAS)，∴HM = BF，∴a - (-6)=2 - 0，解得a = -4，
∴M(-4,3).

②当点M在点B左侧时，如图③，同理可得△MHB≌△NFB(AAS)
∴BH = BF，∴(-6)-a = 2 - 0，解得a = -8，∴M$(-8,\frac{3}{2})$.
综上，点M的坐标为(-4,3)或$(-8,\frac{3}{2})$.

4. (2024·南通期末)如图①，已知点$A(a,0),B(0,b)$，且a、b满足$\sqrt{a + 1}+(a + b + 5)^2 = 0$，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，双曲线$y=\frac{k}{x}$经过C、D两点.
(1)求k的值；
(2)如图②，点P在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q的坐标；
(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图③)，点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于点N，当点T在AF上运动时，$\frac{MN}{HT}$的值是否发生变化，若改变，请求出其变化范围；若不改变，请求出其值.

(1)∵$\sqrt{a + 1}+(a + b + 5)^2 = 0$，且$\sqrt{a + 1}\geq0$，$(a + b + 5)^2\geq0$，∴a + 1 = 0，a + b + 5 = 0，∴a = -1，b = -4，∴A(-1,0)，B(0,-4). ∵E为AD中点，且横坐标为0，根据中点坐标的计算方法，∴$x_D = 1$. 设D(1,t)，由平行四边形的性质知，点A向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点B，则点D向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点C，则点C(2,t - 4)，∴t = 2t - 8，∴t = 8，∴D(1,8)，C(2,4). ∵D点在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图像上，∴8 = $\frac{k}{1}$，∴k = 8.
(2)(0,12)或(0,-12)或(0,4). 解析：由(1)知，k = 8，∴反比例函数的表达式为y = $\frac{8}{x}$. ∵点P在双曲线y = $\frac{8}{x}$上，点Q在y轴上，∴设Q(0,y)，P$(x,\frac{8}{x})$. ①当AB为边时. 如图①所示，若四边形ABPQ为平行四边形，∵A(-1,0)，B(0,-4)，则$\frac{-1 + x}{2}=0$，解得x = 1，此时$P_1(1,8)$，$Q_1(0,12)$.

如图②所示，若四边形ABQP为平行四边形，∵A(-1,0)，B(0,-4)，则$-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x$，解得x = -1，此时$P_2(-1,-8)$，$Q_2(0,-12)$.
②如图③所示，当AB为对角线时，AP = BQ，且AP//BQ.
∵A(-1,0)，B(0,-4)，∴$-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}x$，解得x = -1，∴$P_3(-1,-8)$，$Q_3(0,4)$. 故点Q的坐标为(0,12)或(0,-12)或(0,4).

(3)不改变. 如图④，连接NH、NT、NF，由题可得MN是线段HT的垂直平分线，∴NT = NH. ∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF = ∠ABH.
在△BFN与△BHN中，$\begin{cases}BF = BH\\\angle ABF=\angle ABH\\BN = BN\end{cases}$，∴△BFN≌△BHN(SAS)，
∴NF = NH = NT，∴∠NTF = ∠NFT = ∠AHN. 在四边形ATNH中，∠ATN + ∠NTF = 180°，∴∠ATN + ∠AHN = 180°. ∵四边形ATNH内角和为360°，∴∠TNH = 360° - 180° - 90° = 90°，∴MN = $\frac{1}{2}HT$，
∴$\frac{MN}{HT}=\frac{1}{2}$.