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1. 如图，四边形ABCO是平行四边形且点C(-4,0)，将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点A、D在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图像上.
(1)证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；
(2)设$P(x_1,a),Q(x_2,b)(x_2＞x_1＞0),M(m,y_1),N(n,y_2)$是双曲线$y=\frac{k}{x}$上的四点，$m=\sqrt{\frac{a + b}{2k}},n=\sqrt{\frac{2}{x_1 + x_2}}$，试判断$y_1、y_2$的大小，并说明理由.
(1)证明：△AOF是等边三角形，并求k的值；
(2)设$P(x_1,a),Q(x_2,b)(x_2＞x_1＞0),M(m,y_1),N(n,y_2)$是双曲线$y=\frac{k}{x}$上的四点，$m=\sqrt{\frac{a + b}{2k}},n=\sqrt{\frac{2}{x_1 + x_2}}$，试判断$y_1、y_2$的大小，并说明理由.
答案
(1)∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB//OC，∴∠BAO = ∠AOF. 由旋转可知，∠BAO = ∠OAF，AO = AF，∴∠OAF = ∠AOF，即AF = OF.
∵AO = AF，∴AF = OF = AO，∴△AOF是等边三角形.
由题可知AB = CO = AD = 4，∵AD经过点O，点A、D在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图像上，由反比例函数的中心对称性，可得OA = OD = 2，过点A作x轴的垂线，垂足为H. ∵△AOF是等边三角形，∴OH = 1，AH = $\sqrt{3}$，∴A(1,$\sqrt{3}$)，∴k = $\sqrt{3}$.
(2)∵a = $\frac{k}{x_1}$，b = $\frac{k}{x_2}$，∴$m^2=\frac{\frac{k}{x_1}+\frac{k}{x_2}}{2}=\frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2}$，∴$m^2 - n^2=\frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2}-\frac{2}{x_1 + x_2}=\frac{(x_1 - x_2)^2}{2x_1x_2(x_1 + x_2)}\gt0$，∴m ＞ n ＞ 0. ∵k = $\sqrt{3}\gt0$，∴当x ＞ 0时，y随x增大而减小，∴$y_1\lt y_2$.
∵AO = AF，∴AF = OF = AO，∴△AOF是等边三角形.
由题可知AB = CO = AD = 4，∵AD经过点O，点A、D在反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图像上，由反比例函数的中心对称性，可得OA = OD = 2，过点A作x轴的垂线，垂足为H. ∵△AOF是等边三角形，∴OH = 1，AH = $\sqrt{3}$，∴A(1,$\sqrt{3}$)，∴k = $\sqrt{3}$.
(2)∵a = $\frac{k}{x_1}$，b = $\frac{k}{x_2}$，∴$m^2=\frac{\frac{k}{x_1}+\frac{k}{x_2}}{2}=\frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2}$，∴$m^2 - n^2=\frac{x_1 + x_2}{2x_1x_2}-\frac{2}{x_1 + x_2}=\frac{(x_1 - x_2)^2}{2x_1x_2(x_1 + x_2)}\gt0$，∴m ＞ n ＞ 0. ∵k = $\sqrt{3}\gt0$，∴当x ＞ 0时，y随x增大而减小，∴$y_1\lt y_2$.
2. (2024·连云港中考改编)如图①，在平面直角坐标系xOy中，一次函数$y = kx + 1(k≠0)$的图像与反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图像交于点A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为-2.
(1)求k的值；
(2)利用图像直接写出$kx + 1＜\frac{6}{x}$时x的取值范围；
(3)如图②，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像交于点D，与y轴交于点E，再将函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
(1)求k的值；
(2)利用图像直接写出$kx + 1＜\frac{6}{x}$时x的取值范围；
(3)如图②，将直线AB沿y轴向下平移4个单位，与函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像交于点D，与y轴交于点E，再将函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图像沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积.
答案
(1)∵点A在y = $\frac{6}{x}$的图像上，∴当x = 2时，y = $\frac{6}{2}=3$. ∴A(2,3)，将点A(2,3)代入y = kx + 1，得k = 1.
(2)∵将y = -2代入y = $\frac{6}{x}$得x = -3，∴点B的坐标为(-3,-2)，由图像可得kx + 1 ＜ $\frac{6}{x}$时x的取值范围为x ＜ -3或0 ＜ x ＜ 2.
(3)∵y = x + 1，∴当x = 0时，y = 1，∴C(0,1). ∵将直线AB沿y轴向下平移4个单位，∴CE = 4，直线DE的表达式为y = x - 3. 设直线DE与x轴交于点H，∴当x = 0时，y = -3，当y = 0时，x = 3，∴H(3,0)，E(0,-3)，∴OH = OE = 3，∴∠FEC = 45°. 如图，过点C作CG⊥DE，垂足为G，由勾股定理可得CG = $2\sqrt{2}$. 又∵A(2,3)，C(0,1)，∴AC = $2\sqrt{2}$.
连接AD、CF，由平移可得AC//DF，AC = DF，∴四边形ACFD为平行四边形，∴阴影部分面积等于□ACFD的面积，即$2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}=8$.
