登录
二、填空题
8. 若一个正数的两个平方根分别是m与n，则$ m + n $的值为
8. 若一个正数的两个平方根分别是m与n，则$ m + n $的值为
0
.答案
0
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。互为相反数的两个数相加和为0，据此即可求出m+n的值。
【解析】
根据平方根的性质可知：一个正数的两个平方根互为相反数。
已知m和n是同一个正数的两个平方根，因此m与n互为相反数。
根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0，因此可得$m + n = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 相反数的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握平方根的基本性质就能快速得出答案，是平方根章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方根的相关性质：正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数。互为相反数的两个数相加和为0，据此即可求出m+n的值。
【解析】
根据平方根的性质可知：一个正数的两个平方根互为相反数。
已知m和n是同一个正数的两个平方根，因此m与n互为相反数。
根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0，因此可得$m + n = 0$。
【答案】
0
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 相反数的性质
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握平方根的基本性质就能快速得出答案，是平方根章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.9
9. 把无理数$\sqrt{23}$，$\sqrt{11}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{5}$表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是
$\sqrt{11}$
。答案
$\sqrt{11}$
解析
【分析】
首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的取值范围，再利用算术平方根的性质，将四个无理数分别平方，转化为有理数比较大小，找到平方后落在覆盖范围对应的平方区间内的数即可。
【解析】
1. 观察数轴可得，墨迹覆盖的数$x$的取值范围是$3 ＜ x ＜ 4$。
2. 由于$x$是正数，对不等式各部分同时平方，不等号方向不变，可得$3^2 ＜ x^2 ＜ 4^2$，即$9 ＜ x^2 ＜ 16$。
3. 分别计算四个无理数的平方：
$(\sqrt{23})^2=23$，$(\sqrt{11})^2=11$，$(\sqrt{7})^2=7$，$(\sqrt{5})^2=5$。
4. 只有11满足$9 ＜ 11 ＜ 16$，因此被墨迹覆盖的无理数是$\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
数轴的应用，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查无理数的大小判断，解题核心是通过平方将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较，是判断算术平方根大小的常用基础方法。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定墨迹覆盖的数的取值范围，再利用算术平方根的性质，将四个无理数分别平方，转化为有理数比较大小，找到平方后落在覆盖范围对应的平方区间内的数即可。
【解析】
1. 观察数轴可得，墨迹覆盖的数$x$的取值范围是$3 ＜ x ＜ 4$。
2. 由于$x$是正数，对不等式各部分同时平方，不等号方向不变，可得$3^2 ＜ x^2 ＜ 4^2$，即$9 ＜ x^2 ＜ 16$。
3. 分别计算四个无理数的平方：
$(\sqrt{23})^2=23$，$(\sqrt{11})^2=11$，$(\sqrt{7})^2=7$，$(\sqrt{5})^2=5$。
4. 只有11满足$9 ＜ 11 ＜ 16$，因此被墨迹覆盖的无理数是$\sqrt{11}$。
【答案】
$\sqrt{11}$
【知识点】
数轴的应用，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题结合数轴考查无理数的大小判断，解题核心是通过平方将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较，是判断算术平方根大小的常用基础方法。
【难度系数】
0.7
10. 已知一个正方体的表面积为12 cm²，则这个正方体的棱长为
$\sqrt{2}$ cm
。答案
$\sqrt{2}$ cm
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体的表面积构成：正方体有6个完全相同的正方形面，因此表面积等于6倍单个面的面积，而单个面的面积等于棱长的平方。我们可以先根据已知的表面积求出单个面的面积，再对单个面的面积求正的算术平方根，就能得到正方体的棱长，因为棱长是长度，一定为正数，所以不用考虑负的平方根。
【解析】
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$）。
根据正方体表面积公式可得：$S_{\mathrm{表}} = 6a^2$
将已知表面积$12\ \mathrm{cm}^2$代入公式，得：
$6a^2 = 12$
等式两边同时除以6，化简得：
$a^2 = 2$
因为棱长为正数，所以对$a^2=2$取算术平方根，得$a=\sqrt{2}$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{2}$ cm
【知识点】
1.正方体表面积计算
2.算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是熟记正方体表面积公式，同时要注意长度为正数，因此开平方时只需取正的算术平方根，最终结果不要漏写单位。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆正方体的表面积构成：正方体有6个完全相同的正方形面，因此表面积等于6倍单个面的面积，而单个面的面积等于棱长的平方。我们可以先根据已知的表面积求出单个面的面积，再对单个面的面积求正的算术平方根，就能得到正方体的棱长，因为棱长是长度，一定为正数，所以不用考虑负的平方根。
【解析】
设正方体的棱长为$a\ \mathrm{cm}$（$a＞0$）。
根据正方体表面积公式可得：$S_{\mathrm{表}} = 6a^2$
将已知表面积$12\ \mathrm{cm}^2$代入公式，得：
$6a^2 = 12$
等式两边同时除以6，化简得：
$a^2 = 2$
因为棱长为正数，所以对$a^2=2$取算术平方根，得$a=\sqrt{2}$，单位为$\mathrm{cm}$。
【答案】
$\sqrt{2}$ cm
【知识点】
1.正方体表面积计算
2.算术平方根的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是熟记正方体表面积公式，同时要注意长度为正数，因此开平方时只需取正的算术平方根，最终结果不要漏写单位。
【难度系数】
0.8
三、解答题
11. 将下列各数对应的序号填在相应的集合里.
①$-|-2.5|$；②0；③$-(-5^2)$；④$+(-\dfrac{1}{3})^2$；
⑤1.212 112 111 2…；⑥$-\dfrac{3}{4}$；⑦$-π$.
（1）正有理数集合：｛
（2）无理数集合：｛
11. 将下列各数对应的序号填在相应的集合里.
①$-|-2.5|$；②0；③$-(-5^2)$；④$+(-\dfrac{1}{3})^2$；
⑤1.212 112 111 2…；⑥$-\dfrac{3}{4}$；⑦$-π$.
（1）正有理数集合：｛
③④
…｝；（2）无理数集合：｛
⑤⑦
…｝.答案
(1) ③④ (2) ⑤⑦
解析
【分析】
解题时首先要将题目中带运算符号的数逐一化简，再回忆相关概念：正有理数是正的有理数，包含正整数、正分数（有限小数和无限循环小数）；无理数是无限不循环小数。最后对照化简后的结果，分别对应填入对应的集合即可。
【解析】
第一步：先化简各个数：
①$-|-2.5|=-2.5$，属于负有理数；
②0是有理数，但既不是正数也不是负数；
③$-(-5^2)=-(-25)=25$，是正整数，属于正有理数；
④$+(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，是正分数，属于正有理数；
⑤1.212 112 111 2…是无限不循环小数，属于无理数；
⑥$-\dfrac{3}{4}$是负分数，属于负有理数；
⑦$-π$中$π$是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数。
第二步：按要求分类：
（1）正有理数集合包含序号为③、④的数；
（2）无理数集合包含序号为⑤、⑦的数。
【答案】
(1) ③④ (2) ⑤⑦
【知识点】
实数分类，有理数定义，无理数定义
【点评】
本题重点考查实数的分类，解题的关键是先对含运算的数正确化简，再准确区分各类数的概念，要注意不能仅通过数的表面符号判断类别，同时要牢记常见的无理数类型，如含$π$的数、有规律但无限不循环的小数等。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将题目中带运算符号的数逐一化简，再回忆相关概念：正有理数是正的有理数，包含正整数、正分数（有限小数和无限循环小数）；无理数是无限不循环小数。最后对照化简后的结果，分别对应填入对应的集合即可。
【解析】
第一步：先化简各个数：
①$-|-2.5|=-2.5$，属于负有理数；
②0是有理数，但既不是正数也不是负数；
③$-(-5^2)=-(-25)=25$，是正整数，属于正有理数；
④$+(-\dfrac{1}{3})^2=\dfrac{1}{9}$，是正分数，属于正有理数；
⑤1.212 112 111 2…是无限不循环小数，属于无理数；
⑥$-\dfrac{3}{4}$是负分数，属于负有理数；
⑦$-π$中$π$是无限不循环小数，因此$-π$也是无限不循环小数，属于无理数。
第二步：按要求分类：
（1）正有理数集合包含序号为③、④的数；
（2）无理数集合包含序号为⑤、⑦的数。
【答案】
(1) ③④ (2) ⑤⑦
【知识点】
实数分类，有理数定义，无理数定义
【点评】
本题重点考查实数的分类，解题的关键是先对含运算的数正确化简，再准确区分各类数的概念，要注意不能仅通过数的表面符号判断类别，同时要牢记常见的无理数类型，如含$π$的数、有规律但无限不循环的小数等。
【难度系数】
0.7
12. 计算：(1) $\sqrt{0.01} + \sqrt[3]{-8} - \sqrt{\frac{1}{4}}$；(2) $\sqrt{(-3)^2} - (-\sqrt{3})^2 - \sqrt{16} + \sqrt[3]{-64}$。
答案
解：(1) $\sqrt{0.01}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}=0.1-2-\dfrac{1}{2}=-2.4.$
(2) $\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{3})^2-\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}=3-3-4-4=-8.$
(2) $\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{3})^2-\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}=3-3-4-4=-8.$
解析
【分析】
这两道题属于实数的基础运算题，解题思路是先根据算术平方根、立方根的运算性质，分别化简算式中的每一个根式和乘方项，再按照有理数的加减运算法则从左到右依次计算即可。计算时要注意：算术平方根的结果是非负数，负数的立方根仍是负数，乘方运算要先处理符号再计算。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{0.01}$是0.01的算术平方根，因为$0.1^2=0.01$，所以$\sqrt{0.01}=0.1$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$；
代入原式计算：$\sqrt{0.01}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}=0.1-2-0.5=-2.4$。
(2) 先分别化简各项：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$（算术平方根结果为非负）；
$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$；
$\sqrt{16}=4$；
$\sqrt[3]{-64}$是-64的立方根，因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
代入原式计算：$\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{3})^2-\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}=3-3-4-4=-8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2.4}$；(2) $\boldsymbol{-8}$
【知识点】
算术平方根化简、立方根运算、实数加减运算
【点评】
本题是根式基础运算类题目，核心是熟练掌握算术平方根和立方根的性质，化简过程中要格外注意符号的处理，避免因符号判断错误失分，熟练后可直接化简各项后快速计算。
【难度系数】
0.8
这两道题属于实数的基础运算题，解题思路是先根据算术平方根、立方根的运算性质，分别化简算式中的每一个根式和乘方项，再按照有理数的加减运算法则从左到右依次计算即可。计算时要注意：算术平方根的结果是非负数，负数的立方根仍是负数，乘方运算要先处理符号再计算。
【解析】
(1) 先分别化简各项：
$\sqrt{0.01}$是0.01的算术平方根，因为$0.1^2=0.01$，所以$\sqrt{0.01}=0.1$；
$\sqrt[3]{-8}$是-8的立方根，因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$；
$\sqrt{\frac{1}{4}}$是$\frac{1}{4}$的算术平方根，因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0.5$；
代入原式计算：$\sqrt{0.01}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{\dfrac{1}{4}}=0.1-2-0.5=-2.4$。
(2) 先分别化简各项：
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3$（算术平方根结果为非负）；
$(-\sqrt{3})^2=(-1)^2×(\sqrt{3})^2=1×3=3$；
$\sqrt{16}=4$；
$\sqrt[3]{-64}$是-64的立方根，因为$(-4)^3=-64$，所以$\sqrt[3]{-64}=-4$；
代入原式计算：$\sqrt{(-3)^2}-(-\sqrt{3})^2-\sqrt{16}+\sqrt[3]{-64}=3-3-4-4=-8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2.4}$；(2) $\boldsymbol{-8}$
【知识点】
算术平方根化简、立方根运算、实数加减运算
【点评】
本题是根式基础运算类题目，核心是熟练掌握算术平方根和立方根的性质，化简过程中要格外注意符号的处理，避免因符号判断错误失分，熟练后可直接化简各项后快速计算。
【难度系数】
0.8
13. 已知$a-2$的算术平方根是0，$b+7$的立方根是3，求$b-a^2$的算术平方根.
答案
解：依题意，$a-2=0$，所以$a=2$.
$b+7=3^3=27$，所以$b=20$. 所以$b-a^2=20-2^2=16$. 因为$4^2=16$，所以$b-a^2$的算术平方根为4.
$b+7=3^3=27$，所以$b=20$. 所以$b-a^2=20-2^2=16$. 因为$4^2=16$，所以$b-a^2$的算术平方根为4.
解析
【分析】
解题时先依据算术平方根、立方根的定义列等式求解a、b的值：首先，只有0的算术平方根是0，因此可得a-2=0，即可求出a的值；其次，若一个数的立方根是3，那么这个数等于3的立方，因此可得b+7=3³，即可求出b的值；再将a、b代入式子b-a²计算出结果，最后求该结果的算术平方根即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
解：根据题意列式计算：
∵ $a-2$的算术平方根是0
∴ $a-2=0$，解得$a=2$
∵ $b+7$的立方根是3
∴ $b+7=3^3=27$，解得$b=20$
将$a=2$，$b=20$代入$b-a^2$得：
$b-a^2=20-2^2=20-4=16$
∵ $4^2=16$，且算术平方根为非负数
∴ $b-a^2$的算术平方根是4
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，需注意算术平方根的结果唯一且为非负数。
【难度系数】
0.8
解题时先依据算术平方根、立方根的定义列等式求解a、b的值：首先，只有0的算术平方根是0，因此可得a-2=0，即可求出a的值；其次，若一个数的立方根是3，那么这个数等于3的立方，因此可得b+7=3³，即可求出b的值；再将a、b代入式子b-a²计算出结果，最后求该结果的算术平方根即可，注意算术平方根的结果为非负数。
【解析】
解：根据题意列式计算：
∵ $a-2$的算术平方根是0
∴ $a-2=0$，解得$a=2$
∵ $b+7$的立方根是3
∴ $b+7=3^3=27$，解得$b=20$
将$a=2$，$b=20$代入$b-a^2$得：
$b-a^2=20-2^2=20-4=16$
∵ $4^2=16$，且算术平方根为非负数
∴ $b-a^2$的算术平方根是4
【答案】
4
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，需注意算术平方根的结果唯一且为非负数。
【难度系数】
0.8
