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1. 若$\sqrt{a}=9$，则$a$的值为（
A.3
B.$\pm 3$
C.81
D.$\pm 81$
C
）A.3
B.$\pm 3$
C.81
D.$\pm 81$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确$\sqrt{a}$表示的是a的算术平方根，根据算术平方根的定义，算术平方根的结果为非负数，且被开方数a等于算术平方根的平方，因此只需计算9的平方即可得到a的值，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带负号的选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。
已知$\sqrt{a}=9$，说明9是a的算术平方根，因此$a=9^2=81$。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{3}\approx1.732≠9$，不符合题意；
B选项：$\pm3$的平方是9，$\sqrt{9}=3≠9$，不符合题意；
D选项：负数没有算术平方根，因此a不可能为-81，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根概念的掌握，解题时要注意算术平方根具有非负性，不要和平方根的概念混淆，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关计算，解题思路如下：首先明确$\sqrt{a}$表示的是a的算术平方根，根据算术平方根的定义，算术平方根的结果为非负数，且被开方数a等于算术平方根的平方，因此只需计算9的平方即可得到a的值，同时要注意区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带负号的选项。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，那么这个非负数x叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$。
已知$\sqrt{a}=9$，说明9是a的算术平方根，因此$a=9^2=81$。
逐一分析选项：
A选项：$\sqrt{3}\approx1.732≠9$，不符合题意；
B选项：$\pm3$的平方是9，$\sqrt{9}=3≠9$，不符合题意；
D选项：负数没有算术平方根，因此a不可能为-81，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义；乘方运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对算术平方根概念的掌握，解题时要注意算术平方根具有非负性，不要和平方根的概念混淆，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 与$-(\sqrt{15}-\sqrt{6})$的和为0的是 （
A.$\sqrt{15}+\sqrt{6}$
B.$-\sqrt{15}-\sqrt{6}$
C.$-\sqrt{15}+\sqrt{6}$
D.$\sqrt{15}-\sqrt{6}$
D
）A.$\sqrt{15}+\sqrt{6}$
B.$-\sqrt{15}-\sqrt{6}$
C.$-\sqrt{15}+\sqrt{6}$
D.$\sqrt{15}-\sqrt{6}$
答案
2.D
解析
【分析】
首先明确“两个数的和为0，则这两个数互为相反数”，因此本题要求的是$-(\sqrt{15}-\sqrt{6})$的相反数。求解时只需对原式子取相反数，再结合去括号法则化简即可得到结果。
【解析】
设所求的数为$x$，根据题意得：
$x + [-(\sqrt{15}-\sqrt{6})] = 0$
移项可得：
$x = 0 - [-(\sqrt{15}-\sqrt{6})]$
根据去括号法则，负负得正，化简得：
$x = \sqrt{15}-\sqrt{6}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；去括号运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对相反数概念的理解和去括号运算法则的掌握，熟练掌握基础概念和运算规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先明确“两个数的和为0，则这两个数互为相反数”，因此本题要求的是$-(\sqrt{15}-\sqrt{6})$的相反数。求解时只需对原式子取相反数，再结合去括号法则化简即可得到结果。
【解析】
设所求的数为$x$，根据题意得：
$x + [-(\sqrt{15}-\sqrt{6})] = 0$
移项可得：
$x = 0 - [-(\sqrt{15}-\sqrt{6})]$
根据去括号法则，负负得正，化简得：
$x = \sqrt{15}-\sqrt{6}$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相反数的性质；去括号运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对相反数概念的理解和去括号运算法则的掌握，熟练掌握基础概念和运算规则即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 若$n＜3+\sqrt{3}＜n+1$（$n$为整数），则$n$的值为 （
A.4
B.5
C.6
D.7
A
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
3.A
解析
【分析】
要确定整数n的值，首先需要估算出无理数√3的取值范围，再根据不等式的性质求出3+√3的取值范围，最后结合题目给出的n＜3+√3＜n+1的关系，就能对应得到n的值。
【解析】
第一步，估算√3的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，求$3+\sqrt{3}$的取值范围，给上述不等式三边同时加3，不等号方向不变：
$3+1 ＜ 3+\sqrt{3} ＜ 3+2$
即 $4 ＜ 3+\sqrt{3} ＜5$
第三步，结合条件$n＜3+\sqrt{3}＜n+1$（n为整数），对比可得$n=4$
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数大小的估算能力，解题关键是先确定根号部分的取值范围，再通过简单的不等式运算得到目标式的范围，即可快速确定整数n的值。
【难度系数】
0.8
要确定整数n的值，首先需要估算出无理数√3的取值范围，再根据不等式的性质求出3+√3的取值范围，最后结合题目给出的n＜3+√3＜n+1的关系，就能对应得到n的值。
【解析】
第一步，估算√3的取值范围：
∵ $1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$
第二步，求$3+\sqrt{3}$的取值范围，给上述不等式三边同时加3，不等号方向不变：
$3+1 ＜ 3+\sqrt{3} ＜ 3+2$
即 $4 ＜ 3+\sqrt{3} ＜5$
第三步，结合条件$n＜3+\sqrt{3}＜n+1$（n为整数），对比可得$n=4$
【答案】
A
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数大小的估算能力，解题关键是先确定根号部分的取值范围，再通过简单的不等式运算得到目标式的范围，即可快速确定整数n的值。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是 （
A.$\sqrt{4+9}=2+3$
B.$\sqrt{4×9}=2×3$
C.$\sqrt{9^4}=3^2$
D.$\sqrt{8.1}=0.9$
B
）A.$\sqrt{4+9}=2+3$
B.$\sqrt{4×9}=2×3$
C.$\sqrt{9^4}=3^2$
D.$\sqrt{8.1}=0.9$
答案
4.B
解析
【分析】
这是一道考查二次根式基础运算的选择题，解题时可逐个分析每个选项，分别计算出选项中等式左右两边的结果，再对比是否相等，排除错误选项后即可得到正确答案。计算时要注意区分和的算术平方根与积的算术平方根的运算规则，不能随意拆分运算。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：左边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，右边$2+3=5$，$\sqrt{13}≠5$，故A错误；
选项B：左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右边$2×3=6$，两边相等，故B正确；
选项C：左边$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$，右边$3^2=9$，$81≠9$，故C错误；
选项D：$0.9^2=0.81$，因此$\sqrt{0.81}=0.9$，而$\sqrt{8.1}≠0.9$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根运算；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算规则，解题时要注意不要混淆和的算术平方根与积的算术平方根的运算规律，熟记常见数的平方可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
这是一道考查二次根式基础运算的选择题，解题时可逐个分析每个选项，分别计算出选项中等式左右两边的结果，再对比是否相等，排除错误选项后即可得到正确答案。计算时要注意区分和的算术平方根与积的算术平方根的运算规则，不能随意拆分运算。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：左边$\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$，右边$2+3=5$，$\sqrt{13}≠5$，故A错误；
选项B：左边$\sqrt{4×9}=\sqrt{36}=6$，右边$2×3=6$，两边相等，故B正确；
选项C：左边$\sqrt{9^4}=\sqrt{(9^2)^2}=9^2=81$，右边$3^2=9$，$81≠9$，故C错误；
选项D：$0.9^2=0.81$，因此$\sqrt{0.81}=0.9$，而$\sqrt{8.1}≠0.9$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根运算；二次根式的性质
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算规则，解题时要注意不要混淆和的算术平方根与积的算术平方根的运算规律，熟记常见数的平方可以提升解题速度。
【难度系数】
0.8
5. 若$a$是$(-9)^2$的平方根，则$\sqrt[3]{a}$等于 （
A.$-9$
B.$\sqrt[3]{9}$
C.$\sqrt[3]{9}$或$-\sqrt[3]{9}$
D.$9$或$-9$
C
）A.$-9$
B.$\sqrt[3]{9}$
C.$\sqrt[3]{9}$或$-\sqrt[3]{9}$
D.$9$或$-9$
答案
5.C
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步先计算出$(-9)^2$的结果，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，得到a的所有可能取值；第二步分别对每个a的值计算立方根，结合立方根的性质就能得到最终结果，解题时注意不要漏掉平方根的负值情况。
【解析】
1. 先计算乘方：$(-9)^2=81$
2. 确定a的取值：因为a是81的平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有2个，且互为相反数，所以$a=9$或$a=-9$
3. 分别计算a的立方根：
当$a=9$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{9}$
当$a=-9$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-9}=-\sqrt[3]{9}$
因此$\sqrt[3]{a}$等于$\sqrt[3]{9}$或$-\sqrt[3]{9}$。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质，立方根的运算，有理数乘方
【点评】
本题的易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，只算出a=9从而漏选负值情况，熟练掌握平方根、立方根的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步走：第一步先计算出$(-9)^2$的结果，再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，得到a的所有可能取值；第二步分别对每个a的值计算立方根，结合立方根的性质就能得到最终结果，解题时注意不要漏掉平方根的负值情况。
【解析】
1. 先计算乘方：$(-9)^2=81$
2. 确定a的取值：因为a是81的平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有2个，且互为相反数，所以$a=9$或$a=-9$
3. 分别计算a的立方根：
当$a=9$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{9}$
当$a=-9$时，$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{-9}=-\sqrt[3]{9}$
因此$\sqrt[3]{a}$等于$\sqrt[3]{9}$或$-\sqrt[3]{9}$。
【答案】
C
【知识点】
平方根的性质，立方根的运算，有理数乘方
【点评】
本题的易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，只算出a=9从而漏选负值情况，熟练掌握平方根、立方根的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在数轴上注明了四段范围，若无理数$-\sqrt{5.1}$在其中某段上，则这段是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
6.A
解析
【分析】
要确定无理数$-\sqrt{5.1}$所在的数轴段，首先需要估算$\sqrt{5.1}$的取值范围，再通过不等式性质得到$-\sqrt{5.1}$的取值范围，最后和数轴上的四段范围对比即可得出答案。
【解析】
首先估算$\sqrt{5.1}$的范围：
计算相邻小数的平方：$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$
因为$4.84＜5.1＜5.29$，所以$\sqrt{4.84}＜\sqrt{5.1}＜\sqrt{5.29}$，即$2.2＜\sqrt{5.1}＜2.3$
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-2.3＜-\sqrt{5.1}＜-2.2$
观察数轴四段的范围：
段①：$-2.3 ＜ x ＜ -1.1$，段②：$-1.1 ＜ x ＜ 0.1$，段③：$0.1 ＜ x ＜ 1.3$，段④：$1.3 ＜ x ＜ 2.5$
显然$-\sqrt{5.1}$在段①范围内。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、不等式的性质、数轴的应用
【点评】
本题核心是掌握无理数的估算方法，通过找到被开方数相邻的两个完全平方数确定算术平方根的范围，再结合数轴区间对应即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
要确定无理数$-\sqrt{5.1}$所在的数轴段，首先需要估算$\sqrt{5.1}$的取值范围，再通过不等式性质得到$-\sqrt{5.1}$的取值范围，最后和数轴上的四段范围对比即可得出答案。
【解析】
首先估算$\sqrt{5.1}$的范围：
计算相邻小数的平方：$2.2^2=4.84$，$2.3^2=5.29$
因为$4.84＜5.1＜5.29$，所以$\sqrt{4.84}＜\sqrt{5.1}＜\sqrt{5.29}$，即$2.2＜\sqrt{5.1}＜2.3$
根据不等式的性质，不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-2.3＜-\sqrt{5.1}＜-2.2$
观察数轴四段的范围：
段①：$-2.3 ＜ x ＜ -1.1$，段②：$-1.1 ＜ x ＜ 0.1$，段③：$0.1 ＜ x ＜ 1.3$，段④：$1.3 ＜ x ＜ 2.5$
显然$-\sqrt{5.1}$在段①范围内。
【答案】
A
【知识点】
无理数的估算、不等式的性质、数轴的应用
【点评】
本题核心是掌握无理数的估算方法，通过找到被开方数相邻的两个完全平方数确定算术平方根的范围，再结合数轴区间对应即可得到结果，属于基础类应用题型。
【难度系数】
0.7
7. 若实数$m$，$n$满足$(m-1)^2+\sqrt{n+2}=0$，则$(m+n)^5=$
-1
.答案
7.-1
解析
【分析】
解题的核心依据是非负数的性质：平方数和算术平方根都是非负数，即它们的取值都大于等于0。若两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。我们可以先根据这个性质分别求出m和n的值，再代入代数式计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，即$(m-1)^2≥0$，$\sqrt{n+2}≥0$，且$(m-1)^2+\sqrt{n+2}=0$
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}m-1=0 \\n+2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=1 \\n=-2\end{cases}$
将$m=1$，$n=-2$代入$(m+n)^5$得：
$m+n=1+(-2)=-1$
$(m+n)^5=(-1)^5=-1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质、代数式求值、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题型，重点考查非负数和为0的性质，熟练掌握该性质就能快速求出未知参数的值，进而得到计算结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是非负数的性质：平方数和算术平方根都是非负数，即它们的取值都大于等于0。若两个非负数的和为0，说明这两个非负数各自都等于0。我们可以先根据这个性质分别求出m和n的值，再代入代数式计算最终结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方是非负数，算术平方根也是非负数，即$(m-1)^2≥0$，$\sqrt{n+2}≥0$，且$(m-1)^2+\sqrt{n+2}=0$
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}m-1=0 \\n+2=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m=1 \\n=-2\end{cases}$
将$m=1$，$n=-2$代入$(m+n)^5$得：
$m+n=1+(-2)=-1$
$(m+n)^5=(-1)^5=-1$
【答案】
-1
【知识点】
非负数的性质、代数式求值、有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题型，重点考查非负数和为0的性质，熟练掌握该性质就能快速求出未知参数的值，进而得到计算结果。
【难度系数】
0.8
8.（1）如图①，把两个面积为1的小正方形进行裁剪，拼成一个大正方形，小正方形的对角线长为
（2）如图②，把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个大正方形（中间为小正方形），小长方形的对角线的长为
$\sqrt{2}$
.（2）如图②，把长为2、宽为1的两个小长方形进行裁剪，拼成一个大正方形（中间为小正方形），小长方形的对角线的长为
$\sqrt{5}$
.答案
8.(1) $\sqrt{2}$ (2) $\sqrt{5}$
解析
【分析】
（1）两个面积为1的小正方形拼接成大正方形时，拼接前后总面积不变，且大正方形的边长恰好等于小正方形的对角线。我们可以先算出大正方形的面积，再结合正方形面积和边长的关系求出大正方形的边长，即可得到小正方形的对角线长度。
（2）观察图②的拼接结果，拼成的大正方形边长为小长方形的长与宽之和，拼接前后总面积不变。我们先算出大正方形的面积，再减去两个小长方形的总面积，就能得到中间小正方形的面积，而中间小正方形的边长就是小长方形的对角线，最后结合正方形面积和边长的关系即可求出答案。
【解析】
（1）
∵ 每个小正方形的面积为1，两个小正方形的总面积 = 1×2 = 2，
拼接前后总面积不变，
∴ 拼成的大正方形面积为2。
又
∵ 大正方形的边长等于小正方形的对角线，正方形面积=边长²，
∴ 大正方形的边长为$\sqrt{2}$，即小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$。
（2）由图②可知，拼成的大正方形边长 = 小长方形的长 + 小长方形的宽 = 2+1=3，
∴ 大正方形的面积 = 3×3=9。
每个小长方形的面积 = 2×1=2，两个小长方形的总面积 = 2×2=4，
拼接前后总面积不变，
∴ 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 两个小长方形的总面积 = 9-4=5。
又
∵ 中间小正方形的边长等于小长方形的对角线，正方形面积=边长²，
∴ 小正方形的边长为$\sqrt{5}$，即小长方形的对角线长为$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\sqrt{2}$；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 图形拼接面积不变性
2. 正方形面积计算
3. 平方根的应用
【点评】
本题结合图形拼接考查基础几何计算，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，将所求的对角线长度转化为对应正方形的边长进行求解，有助于培养转化思维和几何观察能力。
【难度系数】
0.8
（1）两个面积为1的小正方形拼接成大正方形时，拼接前后总面积不变，且大正方形的边长恰好等于小正方形的对角线。我们可以先算出大正方形的面积，再结合正方形面积和边长的关系求出大正方形的边长，即可得到小正方形的对角线长度。
（2）观察图②的拼接结果，拼成的大正方形边长为小长方形的长与宽之和，拼接前后总面积不变。我们先算出大正方形的面积，再减去两个小长方形的总面积，就能得到中间小正方形的面积，而中间小正方形的边长就是小长方形的对角线，最后结合正方形面积和边长的关系即可求出答案。
【解析】
（1）
∵ 每个小正方形的面积为1，两个小正方形的总面积 = 1×2 = 2，
拼接前后总面积不变，
∴ 拼成的大正方形面积为2。
又
∵ 大正方形的边长等于小正方形的对角线，正方形面积=边长²，
∴ 大正方形的边长为$\sqrt{2}$，即小正方形的对角线长为$\sqrt{2}$。
（2）由图②可知，拼成的大正方形边长 = 小长方形的长 + 小长方形的宽 = 2+1=3，
∴ 大正方形的面积 = 3×3=9。
每个小长方形的面积 = 2×1=2，两个小长方形的总面积 = 2×2=4，
拼接前后总面积不变，
∴ 中间小正方形的面积 = 大正方形面积 - 两个小长方形的总面积 = 9-4=5。
又
∵ 中间小正方形的边长等于小长方形的对角线，正方形面积=边长²，
∴ 小正方形的边长为$\sqrt{5}$，即小长方形的对角线长为$\sqrt{5}$。
【答案】
（1）$\sqrt{2}$；（2）$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 图形拼接面积不变性
2. 正方形面积计算
3. 平方根的应用
【点评】
本题结合图形拼接考查基础几何计算，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，将所求的对角线长度转化为对应正方形的边长进行求解，有助于培养转化思维和几何观察能力。
【难度系数】
0.8
