登录
9.定义一种运算：对于任意实数a，b，都有$a*b=(a-1)^2 - b^2$，则$(\sqrt{5}+1)*(-\sqrt{6})=$
-1
。答案
9.-1
解析
【分析】
解决这道题首先要准确理解题目给出的新运算规则：$a*b=(a-1)^2 - b^2$。解题时第一步先确定所求式子中对应新运算里的a和b，本题中$a=\sqrt{5}+1$，$b=-\sqrt{6}$；第二步把a和b代入新运算公式；第三步按照实数运算顺序，先算乘方，再算减法，计算时注意负号的平方为正、二次根式的平方等于被开方数，逐步算出结果即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=(a-1)^2 - b^2$，将$a=\sqrt{5}+1$，$b=-\sqrt{6}$代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+1)*(-\sqrt{6})&=(\sqrt{5}+1 - 1)^2 - (-\sqrt{6})^2\\&=(\sqrt{5})^2 - 6\\&=5 - 6\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
定义新运算；二次根式运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对新运算规则的理解和应用，解题关键是找准对应a、b的值，代入后严格按照实数运算规则计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要准确理解题目给出的新运算规则：$a*b=(a-1)^2 - b^2$。解题时第一步先确定所求式子中对应新运算里的a和b，本题中$a=\sqrt{5}+1$，$b=-\sqrt{6}$；第二步把a和b代入新运算公式；第三步按照实数运算顺序，先算乘方，再算减法，计算时注意负号的平方为正、二次根式的平方等于被开方数，逐步算出结果即可。
【解析】
根据新运算规则$a*b=(a-1)^2 - b^2$，将$a=\sqrt{5}+1$，$b=-\sqrt{6}$代入得：
$\begin{aligned}(\sqrt{5}+1)*(-\sqrt{6})&=(\sqrt{5}+1 - 1)^2 - (-\sqrt{6})^2\\&=(\sqrt{5})^2 - 6\\&=5 - 6\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
-1
【知识点】
定义新运算；二次根式运算；实数混合运算
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查对新运算规则的理解和应用，解题关键是找准对应a、b的值，代入后严格按照实数运算规则计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.8
三、解答题
10. 按要求完成下列各小题.
（1）计算：$\sqrt{49}+\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$；
（2）求$x$的值：$(x+4)^3=-64$.
10. 按要求完成下列各小题.
（1）计算：$\sqrt{49}+\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$；
（2）求$x$的值：$(x+4)^3=-64$.
答案
10. 解：
(1) $\sqrt{49}+\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=7+3-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$.
(2) $x+4=\sqrt[3]{-64}=-4$,
解得 $x=-8$.
(1) $\sqrt{49}+\sqrt{(-3)^2}+\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=7+3-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$.
(2) $x+4=\sqrt[3]{-64}=-4$,
解得 $x=-8$.
解析
【分析】
（1）本题是根式的加减运算题，解题思路为先根据算术平方根、立方根的性质分别计算每一个根式的结果，再进行有理数的加减运算即可。需要注意算术平方根的结果为非负数，立方根的符号和被开方数的符号保持一致。
（2）本题是含立方的解方程题，解题思路为先把$(x+4)$看作一个整体，对等式两边同时开立方，求出$x+4$的取值后，再解一元一次方程即可得到$x$的值，利用立方根的唯一性可以直接求出等式右边的开方结果。
【解析】
(1) 分别计算各根式的值：
$\sqrt{49}$是49的算术平方根，结果为7；
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}$，是9的算术平方根，结果为3；
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$是$-\frac{1}{8}$的立方根，结果为$-\frac{1}{2}$；
进行加减运算：原式$=7+3-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$。
(2) 对等式$(x+4)^3=-64$两边同时开立方，可得：
$x+4=\sqrt[3]{-64}$
计算得$\sqrt[3]{-64}=-4$，因此：
$x+4=-4$
移项解得$x=-8$。
【答案】
(1) $\frac{19}{2}$；(2) $x=-8$
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、开立方解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对平方根、立方根性质的掌握情况，计算时注意区分算术平方根和立方根的符号规则，解方程时先将含未知数的括号部分看作整体开方，可简化求解过程，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
（1）本题是根式的加减运算题，解题思路为先根据算术平方根、立方根的性质分别计算每一个根式的结果，再进行有理数的加减运算即可。需要注意算术平方根的结果为非负数，立方根的符号和被开方数的符号保持一致。
（2）本题是含立方的解方程题，解题思路为先把$(x+4)$看作一个整体，对等式两边同时开立方，求出$x+4$的取值后，再解一元一次方程即可得到$x$的值，利用立方根的唯一性可以直接求出等式右边的开方结果。
【解析】
(1) 分别计算各根式的值：
$\sqrt{49}$是49的算术平方根，结果为7；
$\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}$，是9的算术平方根，结果为3；
$\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}$是$-\frac{1}{8}$的立方根，结果为$-\frac{1}{2}$；
进行加减运算：原式$=7+3-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$。
(2) 对等式$(x+4)^3=-64$两边同时开立方，可得：
$x+4=\sqrt[3]{-64}$
计算得$\sqrt[3]{-64}=-4$，因此：
$x+4=-4$
移项解得$x=-8$。
【答案】
(1) $\frac{19}{2}$；(2) $x=-8$
【知识点】
算术平方根运算、立方根运算、开立方解方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对平方根、立方根性质的掌握情况，计算时注意区分算术平方根和立方根的符号规则，解方程时先将含未知数的括号部分看作整体开方，可简化求解过程，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.85
11. 计算下列各式并归纳结论：
(1) $\sqrt{5^2 - 3^2} =$
(2) $\sqrt{13^2 - 5^2} =$
(3) 根据 (1)，(2) 的结果，请猜想：$\sqrt{a^2 - b^2}$
(1) $\sqrt{5^2 - 3^2} =$
4
；$\sqrt{5^2} - \sqrt{3^2} =$ 2
；(2) $\sqrt{13^2 - 5^2} =$
12
；$\sqrt{13^2} - \sqrt{5^2} =$ 8
；(3) 根据 (1)，(2) 的结果，请猜想：$\sqrt{a^2 - b^2}$
≠
$\sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$（$a ＞ b ＞ 0$）（填“≠”或“=”）。答案
11. 解：(1) 4 2 (2) 12 8 (3) ≠
解析
【分析】
解题时要严格遵循运算顺序：对于根号内包含运算的式子，要先计算根号内的运算，再进行开平方运算；如果是多个二次根式的加减运算，先分别化简每个二次根式，再计算差值。首先完成(1)(2)的两组计算，再对比计算结果归纳得到(3)的结论。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{5^2 - 3^2}$：先算根号内的乘方和减法，$5^2=25$，$3^2=9$，$25-9=16$，因此$\sqrt{16}=4$；
计算$\sqrt{5^2} - \sqrt{3^2}$：先分别化简二次根式，$\sqrt{5^2}=5$，$\sqrt{3^2}=3$，因此$5-3=2$。
(2) 计算$\sqrt{13^2 - 5^2}$：先算根号内的乘方和减法，$13^2=169$，$5^2=25$，$169-25=144$，因此$\sqrt{144}=12$；
计算$\sqrt{13^2} - \sqrt{5^2}$：先分别化简二次根式，$\sqrt{13^2}=13$，$\sqrt{5^2}=5$，因此$13-5=8$。
(3) 对比(1)的结果4≠2、(2)的结果12≠8，可猜想：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a^2 - b^2} ≠ \sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$。
【答案】
(1) 4，2；(2) 12，8；(3) ≠
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 有理数乘方运算
3. 规律探究
【点评】
本题通过具体数值的运算对比，引导学生归纳运算规律，需要注意二次根式的运算顺序，不能随意将根号下的加减运算拆分到两个根号内分别计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.9
解题时要严格遵循运算顺序：对于根号内包含运算的式子，要先计算根号内的运算，再进行开平方运算；如果是多个二次根式的加减运算，先分别化简每个二次根式，再计算差值。首先完成(1)(2)的两组计算，再对比计算结果归纳得到(3)的结论。
【解析】
(1) 计算$\sqrt{5^2 - 3^2}$：先算根号内的乘方和减法，$5^2=25$，$3^2=9$，$25-9=16$，因此$\sqrt{16}=4$；
计算$\sqrt{5^2} - \sqrt{3^2}$：先分别化简二次根式，$\sqrt{5^2}=5$，$\sqrt{3^2}=3$，因此$5-3=2$。
(2) 计算$\sqrt{13^2 - 5^2}$：先算根号内的乘方和减法，$13^2=169$，$5^2=25$，$169-25=144$，因此$\sqrt{144}=12$；
计算$\sqrt{13^2} - \sqrt{5^2}$：先分别化简二次根式，$\sqrt{13^2}=13$，$\sqrt{5^2}=5$，因此$13-5=8$。
(3) 对比(1)的结果4≠2、(2)的结果12≠8，可猜想：当$a＞b＞0$时，$\sqrt{a^2 - b^2} ≠ \sqrt{a^2} - \sqrt{b^2}$。
【答案】
(1) 4，2；(2) 12，8；(3) ≠
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 有理数乘方运算
3. 规律探究
【点评】
本题通过具体数值的运算对比，引导学生归纳运算规律，需要注意二次根式的运算顺序，不能随意将根号下的加减运算拆分到两个根号内分别计算，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.9
12. 数轴上的点A，B依次表示两个实数$-\sqrt{3}$，$π$.
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是$2\sqrt{3}$，求点C所对应的实数.
（1）如图，在数轴上描出点A和点B的大致位置；
（2）如果点C在数轴上，且点C到点A的距离是$2\sqrt{3}$，求点C所对应的实数.
答案
12. 解：
(1) 点A和点B在数轴上的表示如图所示.
(2) 当点C在点A的左侧时，点C表示的数为$-3\sqrt{3}$；当点C在点A的右侧时，点C表示的数为$\sqrt{3}$. 所以点C所对应的实数为$-3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$.
解析
【分析】
（1）要在数轴上描出点A、B的位置，首先需要估算两个无理数的大小：√3≈1.732，因此-√3≈-1.732，位于-2和-1之间，且更靠近-2；π≈3.14，位于3和4之间，且更靠近3，在对应位置描点即可。
（2）求点C对应的实数，需考虑点C相对于点A的位置，分两种情况分析：①点C在点A的左侧，此时点C对应的数比点A小2√3；②点C在点A的右侧，此时点C对应的数比点A大2√3，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 先估算两个数的近似值：
∵√3≈1.732，
∴-√3≈-1.732，在数轴上位于-2和-1之间，靠近-2的位置；
∵π≈3.14，在数轴上位于3和4之间，靠近3的位置，描点结果如图所示。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点C在点A的左侧时，点C对应的实数为：$-\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$；
② 当点C在点A的右侧时，点C对应的实数为：$-\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】
(1) 点A和点B在数轴上的表示如图所示.
(2) 点C所对应的实数为$-3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
【知识点】
无理数的估算；数轴的应用；数轴上两点距离
【点评】
本题重点考查了无理数的大小估算和数轴上两点距离的计算，解题时需要注意点C的位置存在两种可能性，避免漏解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要在数轴上描出点A、B的位置，首先需要估算两个无理数的大小：√3≈1.732，因此-√3≈-1.732，位于-2和-1之间，且更靠近-2；π≈3.14，位于3和4之间，且更靠近3，在对应位置描点即可。
（2）求点C对应的实数，需考虑点C相对于点A的位置，分两种情况分析：①点C在点A的左侧，此时点C对应的数比点A小2√3；②点C在点A的右侧，此时点C对应的数比点A大2√3，分别计算两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 先估算两个数的近似值：
∵√3≈1.732，
∴-√3≈-1.732，在数轴上位于-2和-1之间，靠近-2的位置；
∵π≈3.14，在数轴上位于3和4之间，靠近3的位置，描点结果如图所示。
(2) 分两种情况讨论：
① 当点C在点A的左侧时，点C对应的实数为：$-\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$；
② 当点C在点A的右侧时，点C对应的实数为：$-\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
【答案】
(1) 点A和点B在数轴上的表示如图所示.
(2) 点C所对应的实数为$-3\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$。
【知识点】
无理数的估算；数轴的应用；数轴上两点距离
【点评】
本题重点考查了无理数的大小估算和数轴上两点距离的计算，解题时需要注意点C的位置存在两种可能性，避免漏解，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.7
