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综合练习（一）
一、选择题
1. 已知点$(a,b)$在第二象限，那么$(a,-b)$所在的象限是 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
一、选择题
1. 已知点$(a,b)$在第二象限，那么$(a,-b)$所在的象限是 （
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号规律，其中第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；第二步根据点$(a,b)$在第二象限的条件，推导得出$a$和$b$的正负性，再计算出$-b$的符号；第三步根据点$(a,-b)$的横、纵坐标符号，对应判断它所在的象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中各象限点的坐标符号规律为：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$。
已知点$(a,b)$在第二象限，因此可得：$a＜0$，$b＞0$。
对纵坐标取相反数可得$-b＜0$，因此点$(a,-b)$的坐标符号为$(-,-)$，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对各象限点的坐标符号规律的掌握与应用，熟记相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题思路分为三步：第一步先明确平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号规律，其中第二象限的点横坐标为负、纵坐标为正；第二步根据点$(a,b)$在第二象限的条件，推导得出$a$和$b$的正负性，再计算出$-b$的符号；第三步根据点$(a,-b)$的横、纵坐标符号，对应判断它所在的象限即可。
【解析】
平面直角坐标系中各象限点的坐标符号规律为：第一象限$(+,+)$，第二象限$(-,+)$，第三象限$(-,-)$，第四象限$(+,-)$。
已知点$(a,b)$在第二象限，因此可得：$a＜0$，$b＞0$。
对纵坐标取相反数可得$-b＜0$，因此点$(a,-b)$的坐标符号为$(-,-)$，符合第三象限点的坐标特征。
【答案】
C
【知识点】
象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查对各象限点的坐标符号规律的掌握与应用，熟记相关规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 点P(2,3)关于y轴的对称点的坐标为 （
A.$(-2,3)$
B.$(2,-3)$
C.$(-2,-3)$
D.以上都不对
A
）A.$(-2,3)$
B.$(2,-3)$
C.$(-2,-3)$
D.以上都不对
答案
2.A
解析
【分析】
求解点关于y轴的对称点坐标，首先要明确关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。解题时先提取已知点的横、纵坐标，将横坐标取相反数、纵坐标保持不变，即可得到对称点坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知点P的坐标为(2,3)，其横坐标为2，2的相反数是-2，纵坐标3保持不变，因此点P关于y轴的对称点坐标为(-2,3)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，主要考查坐标对称变换的规律，牢记不同对称轴对应的坐标变化规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
求解点关于y轴的对称点坐标，首先要明确关于y轴对称的点的坐标变化规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标不变，横坐标互为相反数。解题时先提取已知点的横、纵坐标，将横坐标取相反数、纵坐标保持不变，即可得到对称点坐标，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标性质：两点关于y轴对称时，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知点P的坐标为(2,3)，其横坐标为2，2的相反数是-2，纵坐标3保持不变，因此点P关于y轴的对称点坐标为(-2,3)，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，主要考查坐标对称变换的规律，牢记不同对称轴对应的坐标变化规则即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3.若$y=(m+1)x^{2m-1}$是y关于x的反比例函数，则m的值是（
A.0
B.-1
C.1
D.$\frac{1}{2}$
A
）A.0
B.-1
C.1
D.$\frac{1}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
要确定m的值，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可写为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。因此解题需要同时满足两个条件：一是x的指数为-1，二是x的系数不能为0，结合两个条件即可求出m的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，列条件如下：
1. x的指数符合要求：$2m - 1 = -1$
解方程：
$2m = -1 + 1$
$2m = 0$
解得$m = 0$
2. 系数不为0：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$
将$m=0$代入系数验证：$0+1=1≠0$，符合要求，因此m的值为0。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题时要注意不要忽略比例系数不为0的隐含条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
要确定m的值，首先需明确反比例函数的定义特征：反比例函数的一般形式可写为$y = kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。因此解题需要同时满足两个条件：一是x的指数为-1，二是x的系数不能为0，结合两个条件即可求出m的取值。
【解析】
根据反比例函数的定义，列条件如下：
1. x的指数符合要求：$2m - 1 = -1$
解方程：
$2m = -1 + 1$
$2m = 0$
解得$m = 0$
2. 系数不为0：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$
将$m=0$代入系数验证：$0+1=1≠0$，符合要求，因此m的值为0。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础考查题，解题时要注意不要忽略比例系数不为0的隐含条件，避免出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 一次函数 $ y = kx - 1 $ 的图象经过点 $ P $，且 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大，则点 $ P $ 的坐标可以为（
A.$ (-5, 3) $
B.$ (1, -3) $
C.$ (2, 2) $
D.$ (5, -1) $
C
）A.$ (-5, 3) $
B.$ (1, -3) $
C.$ (2, 2) $
D.$ (5, -1) $
答案
4.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据一次函数的增减性确定参数k的取值范围：y随x增大而增大时，一次项系数k＞0；其次，函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此只需将各选项中的点坐标依次代入解析式，计算对应的k值，选出k＞0的选项即可。
【解析】
∵ 一次函数$y = kx - 1$中y的值随x值的增大而增大
∴ $k＞0$
依次将各选项代入解析式验证：
A. 将$(-5,3)$代入$y = kx - 1$，得：$3 = -5k - 1$，解得$k=-\frac{4}{5}＜0$，不符合要求，排除；
B. 将$(1,-3)$代入$y = kx - 1$，得：$-3 = k - 1$，解得$k=-2＜0$，不符合要求，排除；
C. 将$(2,2)$代入$y = kx - 1$，得：$2 = 2k - 1$，解得$k=\frac{3}{2}＞0$，符合要求；
D. 将$(5,-1)$代入$y = kx - 1$，得：$-1 = 5k - 1$，解得$k=0$，此时函数不是一次函数，不符合要求，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是先利用函数增减性确定k的取值范围，再结合点在函数图象上的坐标特征代入验证即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据一次函数的增减性确定参数k的取值范围：y随x增大而增大时，一次项系数k＞0；其次，函数图象经过的点的坐标满足函数解析式，因此只需将各选项中的点坐标依次代入解析式，计算对应的k值，选出k＞0的选项即可。
【解析】
∵ 一次函数$y = kx - 1$中y的值随x值的增大而增大
∴ $k＞0$
依次将各选项代入解析式验证：
A. 将$(-5,3)$代入$y = kx - 1$，得：$3 = -5k - 1$，解得$k=-\frac{4}{5}＜0$，不符合要求，排除；
B. 将$(1,-3)$代入$y = kx - 1$，得：$-3 = k - 1$，解得$k=-2＜0$，不符合要求，排除；
C. 将$(2,2)$代入$y = kx - 1$，得：$2 = 2k - 1$，解得$k=\frac{3}{2}＞0$，符合要求；
D. 将$(5,-1)$代入$y = kx - 1$，得：$-1 = 5k - 1$，解得$k=0$，此时函数不是一次函数，不符合要求，排除。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题核心是先利用函数增减性确定k的取值范围，再结合点在函数图象上的坐标特征代入验证即可，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
5. 某快递公司每天上午$9:00∼10:00$为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量$y$(单位:件)与时间$x$(单位:分)之间的函数图象如图16-22所示，那么当两仓库快件数量相同时，此刻的时间为（
A.$9:15$
B.$9:20$
C.$9:25$
D.$9:30$
A
）A.$9:15$
B.$9:20$
C.$9:25$
D.$9:30$
答案
5.A 提示:由图可知,两仓库的快件数量y(单位:件)与时间x(单位:分)都是一次函数关系,用待定系数法可求出$y_甲=\frac{28}{3}x+40$,$y_乙=-4x+240.$令$y_甲=y_乙$,即$\frac{28}{3}x+40=-4x+240.$解得$x=15$,则两仓库快件数量相同时的时间为9:15.
解析
【分析】
要找到两仓库快件数量相同的时间，本质是求甲、乙两个函数图象交点的横坐标（x表示9:00之后经过的分钟数）。观察图象可知甲、乙两仓库的快件数量y与时间x均为一次函数关系，因此先利用待定系数法，结合图象给出的已知点坐标分别求出两个一次函数的解析式，再令两个函数的y值相等，解出x的值，即可换算得到对应的时间。
【解析】
设甲仓库快件数量与时间的函数解析式为$y_甲=k_1x+b_1$，
由图象可知甲的函数图象过点$(0,40)$和$(60,600)$，
将$(0,40)$代入得$b_1=40$，
再将$(60,600)$、$b_1=40$代入得：$600=60k_1+40$，
解得$k_1=\frac{28}{3}$，因此$y_甲=\frac{28}{3}x+40$。
设乙仓库快件数量与时间的函数解析式为$y_乙=k_2x+b_2$，
由图象可知乙的函数图象过点$(0,240)$和$(60,0)$，
将$(0,240)$代入得$b_2=240$，
再将$(60,0)$、$b_2=240$代入得：$0=60k_2+240$，
解得$k_2=-4$，因此$y_乙=-4x+240$。
当两仓库快件数量相同时，$y_甲=y_乙$，即：
$\frac{28}{3}x+40=-4x+240$
移项合并得：$\frac{40}{3}x=200$
解得$x=15$，即9:00经过15分钟后为9:15。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的相关应用，解题的核心是理解函数图象交点对应的实际含义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，再通过解一元一次方程得到结果，侧重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
要找到两仓库快件数量相同的时间，本质是求甲、乙两个函数图象交点的横坐标（x表示9:00之后经过的分钟数）。观察图象可知甲、乙两仓库的快件数量y与时间x均为一次函数关系，因此先利用待定系数法，结合图象给出的已知点坐标分别求出两个一次函数的解析式，再令两个函数的y值相等，解出x的值，即可换算得到对应的时间。
【解析】
设甲仓库快件数量与时间的函数解析式为$y_甲=k_1x+b_1$，
由图象可知甲的函数图象过点$(0,40)$和$(60,600)$，
将$(0,40)$代入得$b_1=40$，
再将$(60,600)$、$b_1=40$代入得：$600=60k_1+40$，
解得$k_1=\frac{28}{3}$，因此$y_甲=\frac{28}{3}x+40$。
设乙仓库快件数量与时间的函数解析式为$y_乙=k_2x+b_2$，
由图象可知乙的函数图象过点$(0,240)$和$(60,0)$，
将$(0,240)$代入得$b_2=240$，
再将$(60,0)$、$b_2=240$代入得：$0=60k_2+240$，
解得$k_2=-4$，因此$y_乙=-4x+240$。
当两仓库快件数量相同时，$y_甲=y_乙$，即：
$\frac{28}{3}x+40=-4x+240$
移项合并得：$\frac{40}{3}x=200$
解得$x=15$，即9:00经过15分钟后为9:15。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合快递揽件派件的实际场景考查一次函数的相关应用，解题的核心是理解函数图象交点对应的实际含义，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，再通过解一元一次方程得到结果，侧重考查知识的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图16-23，B(3,-3),C(5,0),以OC,CB为边作▱OABC,则经过点A的反比例函数的表达式为 (
图16-23
A.$y=\dfrac{6}{x}$
B.$y=-\dfrac{6}{x}$
C.$y=\dfrac{4}{x}$
D.$y=-\dfrac{4}{x}$
A
)图16-23
A.$y=\dfrac{6}{x}$
B.$y=-\dfrac{6}{x}$
C.$y=\dfrac{4}{x}$
D.$y=-\dfrac{4}{x}$
答案
6.A 提示:设点A的坐标为$(x,y)$,$\because B(3,-3),C(5,0)$,以OC,CB为边作$□ OABC$,$\therefore AB=OC,AB// OC.$$\therefore 3-x=5-0,y=-3.$解得$x=-2,y=-3$,即点A的坐标为$(-2,-3).$设过点A的反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}$,把$A(-2,-3)$代入,解得$k=6$,则经过点A的反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}.$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需利用平行四边形的性质求出点A的坐标，再用待定系数法推导反比例函数表达式。第一步，明确平行四边形对边平行且相等，OC沿x轴方向，因此AB也是水平线段，点A与点B纵坐标相同；第二步，根据OC的长度等于AB的长度，结合点B的横坐标求出点A的横坐标，得到A的完整坐标；第三步，设反比例函数的一般式，将A点坐标代入求出系数k，即可得到函数表达式。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$AB=OC$，$AB// OC$。
已知$C(5,0)$，可得$OC=5$，且OC沿x轴方向，因此AB为水平线段，点A、B纵坐标相等，即$y=-3$。
又
∵$AB=5$，点B横坐标为3，点A在点B左侧，
∴$3-x=5$，解得$x=-2$，即点A坐标为$(-2,-3)$。
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$A(-2,-3)$代入得：$-3=\frac{k}{-2}$，
解得$k=(-2)×(-3)=6$，
因此经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】A
【知识点】
平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是平行四边形与反比例函数的基础综合题，解题核心是先根据平行四边形对边的关系求出点A的坐标，再代入解析式求解，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需利用平行四边形的性质求出点A的坐标，再用待定系数法推导反比例函数表达式。第一步，明确平行四边形对边平行且相等，OC沿x轴方向，因此AB也是水平线段，点A与点B纵坐标相同；第二步，根据OC的长度等于AB的长度，结合点B的横坐标求出点A的横坐标，得到A的完整坐标；第三步，设反比例函数的一般式，将A点坐标代入求出系数k，即可得到函数表达式。
【解析】
解：设点A的坐标为$(x,y)$。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴$AB=OC$，$AB// OC$。
已知$C(5,0)$，可得$OC=5$，且OC沿x轴方向，因此AB为水平线段，点A、B纵坐标相等，即$y=-3$。
又
∵$AB=5$，点B横坐标为3，点A在点B左侧，
∴$3-x=5$，解得$x=-2$，即点A坐标为$(-2,-3)$。
设经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将$A(-2,-3)$代入得：$-3=\frac{k}{-2}$，
解得$k=(-2)×(-3)=6$，
因此经过点A的反比例函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
【答案】A
【知识点】
平行四边形的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是平行四边形与反比例函数的基础综合题，解题核心是先根据平行四边形对边的关系求出点A的坐标，再代入解析式求解，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如果$|x+2|+\sqrt{y-3}=0$,则点$P(x,y)$在第
二
象限.答案
7.二
解析
【分析】
首先回忆绝对值和算术平方根的非负性：二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足等式，因此我们可以分别列方程求出x、y的值，再结合各象限内点的坐标符号特征，就能判断点P所在的象限。
【解析】
解：
∵$\vert x+2\vert≥0$，$\sqrt{y-3}≥0$，且$\vert x+2\vert+\sqrt{y-3}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$x+2=0$，$y-3=0$
解得$x=-2$，$y=3$
即点P的坐标为$(-2,3)$
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限
∴点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
非负数的性质，象限坐标特征，绝对值的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用非负数的性质求出未知数的值，再结合象限坐标特征判断位置，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先回忆绝对值和算术平方根的非负性：二者的取值都大于等于0。当两个非负数的和为0时，只有两个非负数同时为0才能满足等式，因此我们可以分别列方程求出x、y的值，再结合各象限内点的坐标符号特征，就能判断点P所在的象限。
【解析】
解：
∵$\vert x+2\vert≥0$，$\sqrt{y-3}≥0$，且$\vert x+2\vert+\sqrt{y-3}=0$
∴根据非负数的性质可得：
$x+2=0$，$y-3=0$
解得$x=-2$，$y=3$
即点P的坐标为$(-2,3)$
∵横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限
∴点P在第二象限。
【答案】
二
【知识点】
非负数的性质，象限坐标特征，绝对值的性质
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用非负数的性质求出未知数的值，再结合象限坐标特征判断位置，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8.已知直线$y=-\dfrac{1}{3}x-m$（$m$为常数）经过点$A(-3,a)$和点$B(-5,b)$，则$a$______（填“＞”“＜”或“=”）$b$.
答案
8.$＜$
解析
【分析】
要比较a和b的大小，可通过两种思路求解：一是利用一次函数的增减性判断，这是更简便的方法，先确定一次函数k值的正负，明确y随x的变化规律，再比较两点横坐标的大小，就能直接推出纵坐标的大小关系；二是将两点坐标代入函数表达式，分别求出a、b的表达式后直接比较大小。
【解析】
方法一（利用一次函数增减性求解）：
在一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x-m$中，比例系数$k=-\dfrac{1}{3}＜0$，
根据一次函数性质可知，y随x的增大而减小。
已知点A横坐标为$-3$，点B横坐标为$-5$，显然$-3＞-5$，
横坐标更大的点对应的纵坐标更小，因此$a＜b$。
方法二（代入计算比较）：
把点$A(-3,a)$代入函数表达式得：
$a=-\dfrac{1}{3}×(-3)-m=1-m$
把点$B(-5,b)$代入函数表达式得：
$b=-\dfrac{1}{3}×(-5)-m=\dfrac{5}{3}-m$
因为$1-m＜\dfrac{5}{3}-m$，所以$a＜b$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 一次函数的增减性
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，解题核心是熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系，也可通过代入求值的方法验证结果，解题时要注意区分k正负对应的增减规律，避免搞反。
【难度系数】
0.85
要比较a和b的大小，可通过两种思路求解：一是利用一次函数的增减性判断，这是更简便的方法，先确定一次函数k值的正负，明确y随x的变化规律，再比较两点横坐标的大小，就能直接推出纵坐标的大小关系；二是将两点坐标代入函数表达式，分别求出a、b的表达式后直接比较大小。
【解析】
方法一（利用一次函数增减性求解）：
在一次函数$y=-\dfrac{1}{3}x-m$中，比例系数$k=-\dfrac{1}{3}＜0$，
根据一次函数性质可知，y随x的增大而减小。
已知点A横坐标为$-3$，点B横坐标为$-5$，显然$-3＞-5$，
横坐标更大的点对应的纵坐标更小，因此$a＜b$。
方法二（代入计算比较）：
把点$A(-3,a)$代入函数表达式得：
$a=-\dfrac{1}{3}×(-3)-m=1-m$
把点$B(-5,b)$代入函数表达式得：
$b=-\dfrac{1}{3}×(-5)-m=\dfrac{5}{3}-m$
因为$1-m＜\dfrac{5}{3}-m$，所以$a＜b$。
【答案】
$＜$
【知识点】
1. 一次函数的增减性
2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是函数部分的基础常考题，解题核心是熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系，也可通过代入求值的方法验证结果，解题时要注意区分k正负对应的增减规律，避免搞反。
【难度系数】
0.85
9. 在图16-24所示的平面直角坐标系中，P是直线$y=x$上的动点，$A(1,0)$，$B(2,0)$是$x$轴上的两点，则$PA+PB$的最小值为
$\sqrt{5}$
。答案
9.$\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：①明确动点P在直线y=x上，要使PA+PB的和最小，需利用轴对称性质将两条线段的和转化为两点之间的线段长度；②首先作其中一个定点关于直线y=x的对称点，根据轴对称性质，直线y=x上的点到对称点和原定点的距离相等，可将PA替换为对称点到P的距离；③根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个定点，该线段的长度就是PA+PB的最小值，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
步骤1：作点A(1,0)关于直线y=x的对称点A'，关于y=x对称的点横、纵坐标互换，因此A'的坐标为(0,1)。
步骤2：由轴对称的性质可知，对直线y=x上任意一点P，都有PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB。
步骤3：根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值，最小值为线段A'B的长度。
步骤4：已知B点坐标为(2,0)，根据勾股定理计算A'B的长度：
$A'B=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
因此PA+PB的最小值为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
最短路径问题，点关于直线对称，勾股定理
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过轴对称变换将折线段和转化为两点间的线段长度，结合对称点的坐标规律和勾股定理即可求解，需要熟练掌握对称点的坐标变换规则。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径（将军饮马）类问题，解题思路如下：①明确动点P在直线y=x上，要使PA+PB的和最小，需利用轴对称性质将两条线段的和转化为两点之间的线段长度；②首先作其中一个定点关于直线y=x的对称点，根据轴对称性质，直线y=x上的点到对称点和原定点的距离相等，可将PA替换为对称点到P的距离；③根据“两点之间线段最短”，连接对称点与另一个定点，该线段的长度就是PA+PB的最小值，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
步骤1：作点A(1,0)关于直线y=x的对称点A'，关于y=x对称的点横、纵坐标互换，因此A'的坐标为(0,1)。
步骤2：由轴对称的性质可知，对直线y=x上任意一点P，都有PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB。
步骤3：根据两点之间线段最短，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值，最小值为线段A'B的长度。
步骤4：已知B点坐标为(2,0)，根据勾股定理计算A'B的长度：
$A'B=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$
因此PA+PB的最小值为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
最短路径问题，点关于直线对称，勾股定理
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题核心是通过轴对称变换将折线段和转化为两点间的线段长度，结合对称点的坐标规律和勾股定理即可求解，需要熟练掌握对称点的坐标变换规则。
【难度系数】
0.7
