登录
2. 已知一次函数$y=kx+b$的图象如图16-19，那么正比例函数$y=kx$和反比例函数$y=\frac{b}{x}$在同一平面直角坐标系中的图象大致是图16-20中的（
图16-20
C
）图16-20
答案
2.C
解析
【分析】
解决本题的核心思路是先通过已知一次函数的图象确定系数k、b的正负性，再根据k、b的符号分别判断正比例函数和反比例函数的图象位置，最后匹配选项即可。首先回忆一次函数图象与系数的关系：k决定直线倾斜方向，k＜0时直线从左上到右下，y随x增大而减小；b决定直线与y轴的交点位置，b＞0时交点在y轴正半轴。得到k、b的符号后，再结合正比例函数、反比例函数的图象性质，就能逐一筛选选项。
【解析】
第一步：根据一次函数图象判断k、b的符号
已知一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限：
直线从左上向右下倾斜，y随x的增大而减小，因此$k＜0$；
直线与y轴交于正半轴，因此$b＞0$。
第二步：分别判断两个函数的图象
1. 正比例函数$y=kx$：当$k＜0$时，图象是过原点，且经过第二、四象限的直线；
2. 反比例函数$y=\frac{b}{x}$：当$b＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、第三象限。
对比各选项，只有C选项同时符合两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；正比例函数的图象；反比例函数的图象
【点评】
本题属于函数图象的基础常考题，重点考查三类函数图象和系数符号的对应关系，只要熟练掌握各类函数的图象性质，按步骤推导即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心思路是先通过已知一次函数的图象确定系数k、b的正负性，再根据k、b的符号分别判断正比例函数和反比例函数的图象位置，最后匹配选项即可。首先回忆一次函数图象与系数的关系：k决定直线倾斜方向，k＜0时直线从左上到右下，y随x增大而减小；b决定直线与y轴的交点位置，b＞0时交点在y轴正半轴。得到k、b的符号后，再结合正比例函数、反比例函数的图象性质，就能逐一筛选选项。
【解析】
第一步：根据一次函数图象判断k、b的符号
已知一次函数$y=kx+b$的图象经过第一、二、四象限：
直线从左上向右下倾斜，y随x的增大而减小，因此$k＜0$；
直线与y轴交于正半轴，因此$b＞0$。
第二步：分别判断两个函数的图象
1. 正比例函数$y=kx$：当$k＜0$时，图象是过原点，且经过第二、四象限的直线；
2. 反比例函数$y=\frac{b}{x}$：当$b＞0$时，图象的两个分支分别位于第一、第三象限。
对比各选项，只有C选项同时符合两个函数的图象特征。
【答案】
C
【知识点】
一次函数图象与系数的关系；正比例函数的图象；反比例函数的图象
【点评】
本题属于函数图象的基础常考题，重点考查三类函数图象和系数符号的对应关系，只要熟练掌握各类函数的图象性质，按步骤推导即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
3. 已知正比例函数$y_1$的图象与反比例函数$y_2$的图象相交于点$A(2,4)$，下列说法正确的是 (
A.反比例函数$y_2$的关系式是$y_2=-\dfrac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一交点坐标为
C
)A.反比例函数$y_2$的关系式是$y_2=-\dfrac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一交点坐标为
答案
3.C
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，用待定系数法，将交点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的表达式，判断A选项正误；第二步，根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，得出两个交点关于原点对称，求出另一交点坐标，判断B选项正误；第三步，结合两个函数的图象，分区间比较y₁和y₂的大小，判断剩余选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
解：①求反比例函数解析式：
设反比例函数的解析式为$ y_2=\frac{k}{x}(k≠0) $，将点$ A(2,4) $代入得：
$ 4=\frac{k}{2} $，解得$ k=8 $，故$ y_2=\frac{8}{x} $，因此A选项错误。
②求另一交点坐标：
正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，已知一个交点为$ (2,4) $，则另一交点为$ (-2,-4) $，故B选项错误。
③比较函数值大小：
先求出正比例函数解析式：设$ y_1=mx(m≠0) $，代入$ A(2,4) $得$ 4=2m $，解得$ m=2 $，即$ y_1=2x $。结合两个函数的图象分析：
当$ x＜-2 $时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，$ y_1＜y_2 $；
当$ -2＜x＜0 $时，$ y_1＞y_2 $；
当$ 0＜x＜2 $时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，$ y_1＜y_2 $；
当$ x＞2 $时，$ y_1＞y_2 $；
因此“当x＜-2或0＜x＜2时，$ y_1＜y_2 $”的表述正确，即C选项正确。
另外，正比例函数$ y_1=2x $中k=2＞0，y随x的增大而增大，但反比例函数$ y_2=\frac{8}{x} $中k=8＞0，仅在每个象限内y随x的增大而减小，不是在全体实数范围内随x增大而增大，故其余错误选项可排除。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，正比例函数性质
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，需要掌握两类函数的图象特征、对称性以及函数值随自变量变化的规律，结合图象分析区间内函数值大小是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，用待定系数法，将交点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的表达式，判断A选项正误；第二步，根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称的性质，得出两个交点关于原点对称，求出另一交点坐标，判断B选项正误；第三步，结合两个函数的图象，分区间比较y₁和y₂的大小，判断剩余选项的正误，最终选出正确答案。
【解析】
解：①求反比例函数解析式：
设反比例函数的解析式为$ y_2=\frac{k}{x}(k≠0) $，将点$ A(2,4) $代入得：
$ 4=\frac{k}{2} $，解得$ k=8 $，故$ y_2=\frac{8}{x} $，因此A选项错误。
②求另一交点坐标：
正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此两个交点也关于原点对称，已知一个交点为$ (2,4) $，则另一交点为$ (-2,-4) $，故B选项错误。
③比较函数值大小：
先求出正比例函数解析式：设$ y_1=mx(m≠0) $，代入$ A(2,4) $得$ 4=2m $，解得$ m=2 $，即$ y_1=2x $。结合两个函数的图象分析：
当$ x＜-2 $时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，$ y_1＜y_2 $；
当$ -2＜x＜0 $时，$ y_1＞y_2 $；
当$ 0＜x＜2 $时，正比例函数图象在反比例函数图象下方，$ y_1＜y_2 $；
当$ x＞2 $时，$ y_1＞y_2 $；
因此“当x＜-2或0＜x＜2时，$ y_1＜y_2 $”的表述正确，即C选项正确。
另外，正比例函数$ y_1=2x $中k=2＞0，y随x的增大而增大，但反比例函数$ y_2=\frac{8}{x} $中k=8＞0，仅在每个象限内y随x的增大而减小，不是在全体实数范围内随x增大而增大，故其余错误选项可排除。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数性质，正比例函数性质
【点评】
本题是正比例函数与反比例函数的综合基础题，需要掌握两类函数的图象特征、对称性以及函数值随自变量变化的规律，结合图象分析区间内函数值大小是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4. 如图16-21,已知在平面直角坐标系中,直线 $y=\frac{1}{2}x-1$ 分别交x轴、y轴于点A和点B,分别交反比例函数 $y_1=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0),y_2=\frac{2k}{x}(x＜0)$ 的图象于点C和点D,过点C作$CE ⊥ x$轴于点E,连接OC,OD.若$△ COE$的面积与$△ DOB$的面积相等,求k的值. 
答案
4.如图,过点D作DF⊥y轴于点F,又由CE⊥x轴于点E,可知$S_{△ COE}=\frac{1}{2}k$,$S_{△ DOF}=k.$$\because △ COE$的面积与$△ DOB$的面积相等,$\therefore S_{△ DOB}=S_{△ FBD}.$$\because$ 直线$y=\frac{1}{2}x-1$分别交x轴、y轴于点A和点B,$\therefore$ 点A的坐标为$(2,0)$,点B的坐标为$(0,-1).$$\therefore OB=BF=1,OF=2.$设点D的坐标为$(m,-2)$,则由点D在直线$y=\frac{1}{2}x-1$上,得$-2=\frac{1}{2}m-1.$解得$m=-2.$故点D的坐标为$(-2,-2)$,从而$2k=(-2)×(-2).$解得$k=2.$$\therefore k$的值为2.
解析
【分析】
首先根据反比例函数k的几何意义，可直接得到△COE的面积为$\frac{1}{2}k$；题目告知△COE与△DOB面积相等，因此我们先求直线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度，再通过过点D作y轴的垂线，结合$y_2$对应的反比例函数k的几何意义分析△DOB的面积，推出D点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数解析式求出D点坐标，最后代入$y_2$的解析式即可求出k的值。
【解析】
过点D作$DF ⊥ y$轴于点F。
1. 由反比例函数k的几何意义：点C在$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$上，$CE ⊥ x$轴，因此$S_{△COE}=\frac{1}{2}k$；点D在$y_2=\frac{2k}{x}$上，$DF ⊥ y$轴，因此$S_{△DOF}=\frac{1}{2}×|2k|=k$。
2. 因为$△COE$的面积与$△DOB$的面积相等，所以$S_{△DOB}=\frac{1}{2}k$，由此可得$S_{△DOB}=S_{△DBF}$，即B为OF的中点。
3. 求直线$y=\frac{1}{2}x-1$与y轴交点：令$x=0$，得$y=-1$，因此点B坐标为$(0,-1)$，$OB=1$，则$BF=OB=1$，$OF=OB+BF=2$，即点D的纵坐标为$-2$。
4. 设点D的横坐标为m，将$y=-2$代入直线解析式$y=\frac{1}{2}x-1$，得$-2=\frac{1}{2}m-1$，解得$m=-2$，因此点D坐标为$(-2,-2)$。
5. 将D$(-2,-2)$代入$y_2=\frac{2k}{x}$，得$2k=(-2)×(-2)=4$，解得$k=2$。
【答案】
$k=2$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 一次函数图象与性质
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是灵活运用反比例函数k的几何意义建立面积关系，再结合函数图象上点的坐标满足对应解析式的特点求解，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
首先根据反比例函数k的几何意义，可直接得到△COE的面积为$\frac{1}{2}k$；题目告知△COE与△DOB面积相等，因此我们先求直线与y轴交点B的坐标，得到OB的长度，再通过过点D作y轴的垂线，结合$y_2$对应的反比例函数k的几何意义分析△DOB的面积，推出D点的纵坐标，再将纵坐标代入一次函数解析式求出D点坐标，最后代入$y_2$的解析式即可求出k的值。
【解析】
过点D作$DF ⊥ y$轴于点F。
1. 由反比例函数k的几何意义：点C在$y_1=\frac{k}{x}(k＞0)$上，$CE ⊥ x$轴，因此$S_{△COE}=\frac{1}{2}k$；点D在$y_2=\frac{2k}{x}$上，$DF ⊥ y$轴，因此$S_{△DOF}=\frac{1}{2}×|2k|=k$。
2. 因为$△COE$的面积与$△DOB$的面积相等，所以$S_{△DOB}=\frac{1}{2}k$，由此可得$S_{△DOB}=S_{△DBF}$，即B为OF的中点。
3. 求直线$y=\frac{1}{2}x-1$与y轴交点：令$x=0$，得$y=-1$，因此点B坐标为$(0,-1)$，$OB=1$，则$BF=OB=1$，$OF=OB+BF=2$，即点D的纵坐标为$-2$。
4. 设点D的横坐标为m，将$y=-2$代入直线解析式$y=\frac{1}{2}x-1$，得$-2=\frac{1}{2}m-1$，解得$m=-2$，因此点D坐标为$(-2,-2)$。
5. 将D$(-2,-2)$代入$y_2=\frac{2k}{x}$，得$2k=(-2)×(-2)=4$，解得$k=2$。
【答案】
$k=2$
【知识点】
1. 反比例函数k的几何意义
2. 一次函数图象与性质
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题关键是灵活运用反比例函数k的几何意义建立面积关系，再结合函数图象上点的坐标满足对应解析式的特点求解，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.6
