登录
7. 一次函数 $y=kx+b$ 的图象如图所示，当 $y＞0$ 时，$x$ 的取值范围 （）
A.$x＜3$
B.$x＞3$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
A.$x＜3$
B.$x＞3$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
答案
D
解析
由图象可知，一次函数$y=kx+b$过点$(0,3)$和$(1,0)$，将两点代入解析式可得$b=3$，$k=-3$，即函数解析式为$y=-3x+3$。令$y＞0$，列不等式$-3x+3＞0$，解得$x＜1$；也可直接观察：该函数图象递减，图象在x轴上方的部分对应的x取值范围为$x＜1$。
8. 如果$2m+\frac{2}{3}x＞1$与$2-3x＜0$的解集相同，那么实数$m$的值是 （）
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{18}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{5}$
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{5}{18}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{3}{5}$
答案
B
解析
先解不等式$2-3x＜0$，移项得$-3x＜-2$，系数化为1得$x＞\frac{2}{3}$。
再解不等式$2m+\frac{2}{3}x＞1$，移项得$\frac{2}{3}x＞1-2m$，系数化为1得$x＞\frac{3(1-2m)}{2}$。
由两个不等式解集相同，可得$\frac{3(1-2m)}{2}=\frac{2}{3}$，解方程：
两边同乘6得$9(1-2m)=4$，展开得$9-18m=4$，移项计算得$18m=5$，解得$m=\frac{5}{18}$。
再解不等式$2m+\frac{2}{3}x＞1$，移项得$\frac{2}{3}x＞1-2m$，系数化为1得$x＞\frac{3(1-2m)}{2}$。
由两个不等式解集相同，可得$\frac{3(1-2m)}{2}=\frac{2}{3}$，解方程：
两边同乘6得$9(1-2m)=4$，展开得$9-18m=4$，移项计算得$18m=5$，解得$m=\frac{5}{18}$。
9.如图,小明想到A站乘公交车,发现他与公交车的距离为720 m,假设公交车的速度是小明速度的5倍,若要保证小明不会错过这辆公交车,则小明到A站的距离最大为（）
A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
A.100 m
B.120 m
C.180 m
D.144 m
答案
B
解析
设小明的速度为$v$，小明到A站的距离为$x\ \mathrm{m}$，则公交车的速度为$5v$，公交车到A站的距离为$(720-x)\ \mathrm{m}$。
要保证小明不会错过公交车，需满足小明走到A站的时间不大于公交车行驶到A站的时间，列不等式：
$\frac{x}{v} ≤ \frac{720 - x}{5v}$
由于$v＞0$，不等式两边同时乘$5v$，得：
$5x ≤ 720 - x$
移项合并得$6x ≤ 720$，解得$x ≤ 120$，即小明到A站的距离最大为$120\ \mathrm{m}$。
要保证小明不会错过公交车，需满足小明走到A站的时间不大于公交车行驶到A站的时间，列不等式：
$\frac{x}{v} ≤ \frac{720 - x}{5v}$
由于$v＞0$，不等式两边同时乘$5v$，得：
$5x ≤ 720 - x$
移项合并得$6x ≤ 720$，解得$x ≤ 120$，即小明到A站的距离最大为$120\ \mathrm{m}$。
10. 若一艘轮船沿江水顺流航行120 km用时不超过3 h，但逆流回航时，用时不少于5 h，设这艘轮船在静水中的航速为$x$ km/h，江水的流速为$y$ km/h，则根据题意可列不等式组为()
A.$\begin{cases}5x - y ≤ 120, \\3x + y ≥ 120\end{cases}$
B.$\begin{cases}5(x - y) ≤ 120, \\3(x + y) ≥ 120\end{cases}$
C.$\begin{cases}5(x + y) ≤ 120, \\3(x - y) ≥ 120\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x + y ≤ 120, \\3x - y ≥ 120\end{cases}$
A.$\begin{cases}5x - y ≤ 120, \\3x + y ≥ 120\end{cases}$
B.$\begin{cases}5(x - y) ≤ 120, \\3(x + y) ≥ 120\end{cases}$
C.$\begin{cases}5(x + y) ≤ 120, \\3(x - y) ≥ 120\end{cases}$
D.$\begin{cases}5x + y ≤ 120, \\3x - y ≥ 120\end{cases}$
答案
B
解析
首先，顺流航行速度为$(x+y)\ \mathrm{km/h}$，逆流航行速度为$(x-y)\ \mathrm{km/h}$。
1. 顺流航行120km用时不超过3h，由时间=路程/速度得$\frac{120}{x+y}≤3$，变形可得$3(x+y)≥120$；
2. 逆流航行120km用时不少于5h，同理得$\frac{120}{x-y}≥5$，变形可得$5(x-y)≤120$。
联立得到不等式组$\begin{cases}5(x-y)≤120, \\3(x+y)≥120\end{cases}$。
1. 顺流航行120km用时不超过3h，由时间=路程/速度得$\frac{120}{x+y}≤3$，变形可得$3(x+y)≥120$；
2. 逆流航行120km用时不少于5h，同理得$\frac{120}{x-y}≥5$，变形可得$5(x-y)≤120$。
联立得到不等式组$\begin{cases}5(x-y)≤120, \\3(x+y)≥120\end{cases}$。
11.某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打折。
答案
解：设商家打x折销售，
根据题意列不等式：
$5×\frac{x}{10} - 4 ≥ 4×10\%$
化简得：
$0.5x - 4 ≥ 0.4$
移项得：
$0.5x ≥ 4.4$
系数化为1，得：
$x ≥ 8.8$
答：最多可打8.8折。
根据题意列不等式：
$5×\frac{x}{10} - 4 ≥ 4×10\%$
化简得：
$0.5x - 4 ≥ 0.4$
移项得：
$0.5x ≥ 4.4$
系数化为1，得：
$x ≥ 8.8$
答：最多可打8.8折。
12.如图，∠CAB=60°，AC=6 cm，动点P从点A出发，以2 cm/s的速度沿射线AB运动，设运动的时间为t s。若∠ACP＞60°，则t的取值范围是。
答案
解：
当∠ACP=60°时，
∵∠CAB=60°，
∴△ACP是等边三角形，
∴AP=AC=6 cm。
已知点P的运动速度为2 cm/s，此时运动时间$t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
在△ACP中，∠CAB=60°，若∠ACP＞60°，则∠ACP+∠CAB＞120°，
由三角形内角和为180°，得∠APC=180°-∠CAB-∠ACP＜60°，
即∠APC＜∠CAB，根据大边对大角，可得AC＜AP。
∵AP=2t，AC=6 cm，
∴$2t＞6$，
解得$t＞3$。
故t的取值范围是$\boldsymbol{t＞3}$。
当∠ACP=60°时，
∵∠CAB=60°，
∴△ACP是等边三角形，
∴AP=AC=6 cm。
已知点P的运动速度为2 cm/s，此时运动时间$t=\frac{6}{2}=3\ \mathrm{s}$。
在△ACP中，∠CAB=60°，若∠ACP＞60°，则∠ACP+∠CAB＞120°，
由三角形内角和为180°，得∠APC=180°-∠CAB-∠ACP＜60°，
即∠APC＜∠CAB，根据大边对大角，可得AC＜AP。
∵AP=2t，AC=6 cm，
∴$2t＞6$，
解得$t＞3$。
故t的取值范围是$\boldsymbol{t＞3}$。
13. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x-2≤0, \\ 2x+3a＞0\end{cases}$的解集中至少有5个整数解，则整数$a$的最小值是 ______ 。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
解不等式$x-2 ≤ 0$，得：$x ≤ 2$。
解不等式$2x+3a ＞ 0$，得：$x ＞ -\dfrac{3a}{2}$。
则不等式组的解集为$-\dfrac{3a}{2} ＜ x ≤ 2$。
若不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数解至少包含$2,1,0,-1,-2$，
因此需满足：$-\dfrac{3a}{2} ＜ -2$，
两边同乘2得：$-3a ＜ -4$，
系数化为1得：$a ＞ \dfrac{4}{3}$。
则满足条件的整数$a$的最小值是$2$。
解不等式$x-2 ≤ 0$，得：$x ≤ 2$。
解不等式$2x+3a ＞ 0$，得：$x ＞ -\dfrac{3a}{2}$。
则不等式组的解集为$-\dfrac{3a}{2} ＜ x ≤ 2$。
若不等式组的解集中至少有5个整数解，则整数解至少包含$2,1,0,-1,-2$，
因此需满足：$-\dfrac{3a}{2} ＜ -2$，
两边同乘2得：$-3a ＜ -4$，
系数化为1得：$a ＞ \dfrac{4}{3}$。
则满足条件的整数$a$的最小值是$2$。
14. 如图，已知一次函数$y=ax+2$与$y=mx+n$图象的交点坐标为$(-2,-4)$。现有下列四个结论：①$a＞0$；②$mn＞0$；③方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$；④若$mx+n＜ax+2＜0$，则$-2＜x＜-\dfrac{2}{3}$。其中正确的结论是（填序号）。
答案
解：
对于结论①：由图可知一次函数$y=ax+2$的图象从左到右上升，故斜率$a＞0$，①正确。
对于结论②：一次函数$y=mx+n$的图象从左到右上升，故$m＞0$；该函数与$y$轴的交点在$y$轴负半轴，故$n＜0$，因此$mn＜0$，②错误。
对于结论③：两个一次函数图象交点的横坐标即为方程$ax+2=mx+n$的解，已知交点坐标为$(-2,-4)$，故方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$，③正确。
对于结论④：将$(-2,-4)$代入$y=ax+2$，得：
$-2a+2=-4$，
解得$a=3$，即$y=3x+2$。
令$3x+2＜0$，解得$x＜-\frac{2}{3}$。
由图象可知，当$x＞-2$时，$mx+n＜ax+2$，因此不等式$mx+n＜ax+2＜0$的解集为$-2＜x＜-\frac{2}{3}$，④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③④}$。
对于结论①：由图可知一次函数$y=ax+2$的图象从左到右上升，故斜率$a＞0$，①正确。
对于结论②：一次函数$y=mx+n$的图象从左到右上升，故$m＞0$；该函数与$y$轴的交点在$y$轴负半轴，故$n＜0$，因此$mn＜0$，②错误。
对于结论③：两个一次函数图象交点的横坐标即为方程$ax+2=mx+n$的解，已知交点坐标为$(-2,-4)$，故方程$ax+2=mx+n$的解是$x=-2$，③正确。
对于结论④：将$(-2,-4)$代入$y=ax+2$，得：
$-2a+2=-4$，
解得$a=3$，即$y=3x+2$。
令$3x+2＜0$，解得$x＜-\frac{2}{3}$。
由图象可知，当$x＞-2$时，$mx+n＜ax+2$，因此不等式$mx+n＜ax+2＜0$的解集为$-2＜x＜-\frac{2}{3}$，④正确。
综上，正确的结论是$\boldsymbol{①③④}$。
