25. 新考法 解题方法型阅读理解题 小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个含根号的代数式的平方，如$3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$。善于思考的小明进行了以下探索：设$a+b\sqrt{2}=(m+n\sqrt{2})^2$（其中$a,b,m,n$均为整数），则有$a+b\sqrt{2}=m^2+2mn\sqrt{2}+2n^2$，$a=m^2+2n^2$，$b=2mn$。这样小明就找到了把类似$a+b\sqrt{2}$的代数式化为平方式的方法。
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a,b,m,n$均为整数时，若$a+b\sqrt{5}=(m+n\sqrt{5})^2$，用含$m,n$的代数式分别表示$a,b$，则$a=$，$b=$；
(2)利用所探索的结论找一组正整数$a,b,m,n$填空：$+\_\_\_\_\_\_\sqrt{5}=(\_\_\_\_\_\_+\_\_\_\_\_\_\sqrt{5})^2$；
(3)若$a+6\sqrt{5}=(m+n\sqrt{5})^2$，且$a,m,n$均为正整数，求$a$的值。

25.(1)$m^2+5n^2$ $2mn$ [解析]$(m+n\sqrt{5})^2=m^2+2\sqrt{5}mn+5n^2=a+b\sqrt{5},\therefore a=m^2+5n^2,b=2mn.$
(2)21 4 1 2(答案不唯一) [解析]由(1)知，
$a=m^2+5n^2,b=2mn,$令$m=1,n=2,$
则$a=1^2+5×2^2=21,b=2×1×2=4.$
(3)由(1)知，$a=m^2+5n^2,6=2mn,\therefore mn=3.$
$\because a,m,n$均为正整数，
$\therefore m=1,n=3$或$m=3,n=1.$
当$m=1,n=3$时，$a=1^2+5×3^2=46;$
当$m=3,n=1$时，$a=3^2+5×1^2=14.$
综上所述，$a$的值为14或46.

【分析】
本题是类比探究类问题，解题思路如下：(1) 参考题中给出的二次根式平方式展开方法，先将右侧的完全平方式展开，再分别对应有理数部分和含√5的无理数部分的系数，即可得到a、b的表达式；(2) 任选一组正整数m、n，代入第(1)问得到的a、b表达式计算，即可得到一组符合要求的数值；(3) 先根据第(1)问的结论得到b=2mn，结合题目给出的b=6算出mn的值，再结合m、n均为正整数的条件列举出所有可能的取值，分别代入a的表达式计算即可得到所有可能的a值。
【解析】
(1) 展开右侧完全平方式：$(m+n\sqrt{5})^2=m^2+2mn\sqrt{5}+(n\sqrt{5})^2=m^2+5n^2+2mn\sqrt{5}$，对照左侧$a+b\sqrt{5}$，有理数部分对应相等得$a=m^2+5n^2$，含$\sqrt{5}$项的系数对应相等得$b=2mn$。
(2) 任选正整数m、n代入即可，例如取$m=1,n=2$，则$a=1^2+5×2^2=21$，$b=2×1×2=4$，即$21+4\sqrt{5}=(1+2\sqrt{5})^2$（答案不唯一，满足$a=m^2+5n^2、b=2mn$的正整数均可）。
(3) 由(1)的结论可得$b=2mn$，已知$b=6$，因此$2mn=6$，化简得$mn=3$。
因为$m、n$均为正整数，所以有两种取值情况：
① 当$m=1,n=3$时，$a=1^2+5×3^2=46$；
② 当$m=3,n=1$时，$a=3^2+5×1^2=14$。
综上，$a$的值为14或46。
【答案】
(1) $m^2+5n^2$；$2mn$
(2) 21；4；1；2（答案不唯一）
(3) 14或46
【知识点】
完全平方公式；二次根式运算；等量代换
【点评】
本题属于阅读理解类的方法迁移题，考查对新知识的理解和类比运用能力，解题核心是抓住等式两边有理数部分、含根号部分的系数分别对应相等的规律，掌握完全平方公式和二次根式基本运算即可顺利求解。
【难度系数】
0.7

26. 新考法 归纳一般结论 观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$，验证$\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{1}{2×3}}=\sqrt{\frac{2}{2^2×3}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}$；
$\sqrt{\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$，验证$\sqrt{\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})}=\sqrt{\frac{1}{2×3×4}}=\sqrt{\frac{3}{2×3^2×4}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{3}{8}}$；
$\sqrt{\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$，验证$\sqrt{\frac{1}{3}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})}=\sqrt{\frac{1}{3×4×5}}=\sqrt{\frac{4}{3×4^2×5}}=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{4}{15}}$；….
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想$\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}$的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用$n$（$n$为任意的自然数，且$n≥2$）表示的等式，无需证明。

26.(1)$\sqrt{\dfrac{1}{4}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6})}=\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}.$
验证:$\sqrt{\dfrac{1}{4}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6})}=\sqrt{\dfrac{1}{4×5×6}}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{4×5^2×6}}=\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}.$
(2)$\sqrt{\dfrac{1}{n-1}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})}=\dfrac{1}{n}\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}.$

【分析】
（1）解决第一问时，先观察给出的3个等式的验证过程，提炼通用变形步骤：先计算根号内的运算，将其整理为分母是三个连续正整数乘积的形式，再给根号内分子分母同乘三个数中间的数，将分母凑出完全平方数后开方，即可得到变形结果，按该步骤计算对应式子即可。
（2）解决第二问时，观察等式左右两边各位置的数字和参数的对应关系，找到数字和n的关联规律，即可写出通用的等式。
【解析】
（1）根据示例的变形规律，猜想变形结果为$\sqrt{\frac{1}{4}×(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证如下：
先计算括号内的减法：$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{6-5}{5×6}=\frac{1}{5×6}$
因此根号内的整体为：$\frac{1}{4}×\frac{1}{5×6}=\frac{1}{4×5×6}$
给根号内分子分母同乘5，得：$\sqrt{\frac{1×5}{4×5×6×5}}=\sqrt{\frac{5}{4×5^2×6}}$
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，将$5^2$开方得：
$\sqrt{\frac{5}{4×5^2×6}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5^2}×\sqrt{4×6}}=\frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}}$，验证成立。
（2）观察各式规律：设等式中中间的正整数为$n(n≥2，n为自然数)$，左边根号内为$\frac{1}{n-1}$乘以$(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$，右边为$\frac{1}{n}$乘以$\sqrt{\frac{n}{(n-1)(n+1)}}$，其中$(n-1)(n+1)=n^2-1$，即可得到通用等式。
【答案】
(1)$\sqrt{\dfrac{1}{4}×(\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6})}=\dfrac{1}{5}\sqrt{\dfrac{5}{24}}$，验证见解析；
(2)$\sqrt{\dfrac{1}{n-1}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1})}=\dfrac{1}{n}\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}（n≥2，n为自然数）$
【知识点】
二次根式化简，规律探究，分式运算
【点评】
本题结合二次根式运算考查规律探究能力，需要先从特殊示例中提炼通用变形方法，再通过类比推理得到一般结论，体现了从特殊到一般的数学思想，熟练掌握二次根式的性质是解题的基础。
【难度系数】
0.7