20.计算：$\sqrt{27} - \sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{8}$

20.原式$=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}.$

【分析】
这是二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步，先利用二次根式的乘法法则计算乘法项$\sqrt{\dfrac{3}{2}} × \sqrt{8}$；第二步，分别将$\sqrt{27}$和乘法运算的结果化为最简二次根式；第三步，合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：原式$=\sqrt{9×3} - \sqrt{\dfrac{3}{2}×8}$
$=3\sqrt{3} - \sqrt{12}$
$=3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式的化简；二次根式乘法运算；二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则和运算顺序，计算时注意先处理乘除运算，再化简合并同类二次根式，确保最终结果为最简形式即可。
【难度系数】
0.8

21. 已知 $a,b,c$ 为三角形的三边，化简：$\sqrt{(a+b-c)^2} + \sqrt{(b-c-a)^2} + \sqrt{(b+c-a)^2}$

21.原式$=a+b-c+a+c-b+b+c-a=a+b+c.$

【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先回忆二次根式的性质：$\sqrt{x^2}=|x|$，因此可先将原式转化为三个绝对值相加的形式；②结合a、b、c是三角形三边的条件，利用三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，分别判断每个绝对值内代数式的正负；③最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
原式$=|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|$
∵a、b、c为三角形的三边，根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
$a+b＞c$，即$a+b-c＞0$，因此$|a+b-c|=a+b-c$；
$a+c＞b$，即$b-(a+c)=b-c-a＜0$，因此$|b-c-a|=-(b-c-a)=a+c-b$；
$b+c＞a$，即$b+c-a＞0$，因此$|b+c-a|=b+c-a$；
将上述结果代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a+b-c)+(a+c-b)+(b+c-a)\\&=a+b-c+a+c-b+b+c-a\\&=a+b+c\end{aligned}$
【答案】
$a+b+c$
【知识点】
1.二次根式的性质 2.三角形三边关系 3.绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简与三角形性质结合的典型基础题，解题的关键是先利用二次根式性质将原式转化为绝对值化简问题，再结合三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，正确去绝对值后合并同类项即可。
【难度系数】
0.7

22. 已知一个三角形的三边长分别为 $3\sqrt{\dfrac{x}{3}}$，$\dfrac{1}{2}\sqrt{12x}$，$\dfrac{3}{4}x\sqrt{\dfrac{4}{3x}}$。
(1)求它的周长；(结果要求化简)
(2)请你给出一个适当的$x$值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。

22.(1)$3\sqrt{\dfrac{x}{3}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{12x}+\dfrac{3}{4}x\sqrt{\dfrac{4}{3x}}$
$=\sqrt{3x}+\sqrt{3x}+\dfrac{\sqrt{3x}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3x}}{2}.$
(2)当$x=12$时，周长为$\dfrac{5\sqrt{3x}}{2}=15$(答案不唯一).

【分析】
(1) 三角形周长等于三边长之和，首先列出三边相加的算式，再把每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可得到化简后的周长；(2) 要使周长为整数，需让化简后的周长表达式结果为整数，取值时首先要保证x＞0使所有二次根式有意义，同时满足三角形三边关系，选取合适的x代入计算即可，答案不唯一。
【解析】
(1) 三角形周长为三边长之和，列式计算：
$3\sqrt{\dfrac{x}{3}}+\dfrac{1}{2}\sqrt{12x}+\dfrac{3}{4}x\sqrt{\dfrac{4}{3x}}$
先分别化简每一项：
$3\sqrt{\dfrac{x}{3}}=3×\dfrac{\sqrt{3x}}{3}=\sqrt{3x}$，
$\dfrac{1}{2}\sqrt{12x}=\dfrac{1}{2}×2\sqrt{3x}=\sqrt{3x}$，
$\dfrac{3}{4}x\sqrt{\dfrac{4}{3x}}=\dfrac{3}{4}x×\dfrac{2}{\sqrt{3x}}=\dfrac{\sqrt{3x}}{2}$，
合并同类二次根式得：
原式$=\sqrt{3x}+\sqrt{3x}+\dfrac{\sqrt{3x}}{2}=\dfrac{5\sqrt{3x}}{2}$。
(2) 要使$\dfrac{5\sqrt{3x}}{2}$为整数，且$x＞0$，取$x=12$代入：
周长$=\dfrac{5\sqrt{3×12}}{2}=\dfrac{5×6}{2}=15$，符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1) $\dfrac{5\sqrt{3x}}{2}$；
(2) 当$x=12$时，周长为15（答案不唯一）。
【知识点】
二次根式化简；二次根式加减运算；三角形周长计算
【点评】
本题主要考查二次根式的化简与加减运算，解题核心是先将二次根式化为最简形式再合并同类项，第二问为开放性问题，取值时需注意保证二次根式有意义，同时满足三角形三边关系即可。
【难度系数】
0.7

23. 已知$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，$\sqrt{ab}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，求$a+b$的值.

23.$a+b$的值为$5+2\sqrt{3}.$

【分析】
本题要求$a+b$的值，观察已知条件给出了$\sqrt{a}+\sqrt{b}$的和与$\sqrt{ab}$的值，可联想到完全平方公式的变形：$a+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-2\sqrt{ab}$，只需先计算$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$，再代入已知的$\sqrt{ab}$的值，通过二次根式的运算即可求出结果。解题时先利用完全平方公式对所求式子进行变形，再整体代入已知数值计算是核心思路。
【解析】
根据完全平方公式可得：
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}·\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$
对式子变形得：
$a + b = (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{ab}$
已知$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$，先计算其平方：
$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2×\sqrt{3}×\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$
又已知$\sqrt{ab}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，则$2\sqrt{ab}=2×(\sqrt{6}-\sqrt{3})=2\sqrt{6}-2\sqrt{3}$
将上述结果代入变形后的式子：
$a + b = (5 + 2\sqrt{6}) - (2\sqrt{6} - 2\sqrt{3}) = 5 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} = 5 + 2\sqrt{3}$
【答案】
$5+2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算的典型题型，解题核心是灵活运用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为含已知条件的形式，再整体代入计算即可，解题时需注意二次根式混合运算的符号问题。
【难度系数】
0.7

24. 新考法 规律探究 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$；…
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：$a_n=$；
(2)求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_n$。

24.(1)$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2)原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+2-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
$=\sqrt{n+1}-1.$

【分析】
(1) 先观察前4个等式的结构：左边分子均为1，分母是两个相邻正整数的算术平方根的和，第k个等式的分母为$\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$；右边是这两个算术平方根的差，较大的根式在前。通过分母有理化可验证规律成立，由此可推出第n个等式。
(2) 求和时，将每个$a_n$拆分为$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$的形式代入，相邻两项的同类二次根式可相互抵消，仅剩余首尾两项，即可快速算出总和。
【解析】
(1) 观察已知等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}$
第2个等式：$a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
第3个等式：$a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$
……
类推得第n个等式，对左边分母有理化：
$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2) 将每个$a_i$的拆分结果代入求和式：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})+\dots+(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$
观察发现$\sqrt{2}$与$-\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$与$-\sqrt{3}$……$\sqrt{n}$与$-\sqrt{n}$均相互抵消，仅剩首尾两项：
原式$=\sqrt{n+1}-1$
【答案】
(1)$\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
(2)$\sqrt{n+1}-1$
【知识点】
分母有理化，规律探究，裂项相消求和
【点评】
本题是二次根式与规律探究结合的典型题型，解题核心是先通过观察已知等式归纳出通用通项公式，再利用裂项抵消的技巧简化求和运算，能很好地考查观察归纳能力和二次根式运算能力。
【难度系数】
0.7