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1. $\sqrt{8} × \sqrt{2}$等于(
A.$\sqrt{10}$
B.4
C.$\sqrt{6}$
D.2
B
).A.$\sqrt{10}$
B.4
C.$\sqrt{6}$
D.2
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：两个非负的二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。我们可以用两种思路解题：第一种是先利用法则将两个二次根式的被开方数相乘，再对得到的结果开平方；第二种是先把$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再和$\sqrt{2}$相乘，最终计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
方法1：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0, b≥0)$，
可得$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$。
方法2：先化简二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
则$\sqrt{8} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = 2 × 2 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式乘法法则的应用，两种解题思路都较为简便，计算时注意结果需为最简形式即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次根式的乘法运算法则：两个非负的二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。我们可以用两种思路解题：第一种是先利用法则将两个二次根式的被开方数相乘，再对得到的结果开平方；第二种是先把$\sqrt{8}$化简为最简二次根式，再和$\sqrt{2}$相乘，最终计算出结果后匹配选项即可。
【解析】
方法1：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a≥0, b≥0)$，
可得$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16} = 4$。
方法2：先化简二次根式，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
则$\sqrt{8} × \sqrt{2} = 2\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2 × (\sqrt{2} × \sqrt{2}) = 2 × 2 = 4$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法法则；二次根式化简
【点评】
本题是二次根式运算的基础题，核心考查二次根式乘法法则的应用，两种解题思路都较为简便，计算时注意结果需为最简形式即可。
【难度系数】
0.9
2.若$\sqrt{2x-1}+\sqrt{1-2x}+1$在实数范围内有意义，则$x$满足的条件是（
A.$x≥ \frac{1}{2}$
B.$x≤ \frac{1}{2}$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x≠ \frac{1}{2}$
C
）.A.$x≥ \frac{1}{2}$
B.$x≤ \frac{1}{2}$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x≠ \frac{1}{2}$
答案
2.C
解析
【分析】
要使含二次根式的式子在实数范围内有意义，需满足所有二次根式的被开方数都是非负数。本题包含$\sqrt{2x-1}$和$\sqrt{1-2x}$两个二次根式，因此我们需要分别列出两个被开方数大于等于0的不等式，组成不等式组，求解不等式组的公共解即可得到x满足的条件。
【解析】
要使原式在实数范围内有意义，需两个二次根式的被开方数同时为非负数，列不等式组如下：
$\begin{cases}2x-1≥0 ①\\1-2x≥0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x≥1$，解得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式②：移项得$2x≤1$，解得$x≤\frac{1}{2}$；
同时满足两个不等式的解只有$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，当两个被开方数互为相反数时，只有二者同时为0才能满足限制条件，解题时注意不要漏看任意一个二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
要使含二次根式的式子在实数范围内有意义，需满足所有二次根式的被开方数都是非负数。本题包含$\sqrt{2x-1}$和$\sqrt{1-2x}$两个二次根式，因此我们需要分别列出两个被开方数大于等于0的不等式，组成不等式组，求解不等式组的公共解即可得到x满足的条件。
【解析】
要使原式在实数范围内有意义，需两个二次根式的被开方数同时为非负数，列不等式组如下：
$\begin{cases}2x-1≥0 ①\\1-2x≥0 ②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x≥1$，解得$x≥\frac{1}{2}$；
解不等式②：移项得$2x≤1$，解得$x≤\frac{1}{2}$；
同时满足两个不等式的解只有$x=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次根式性质的基础应用题型，解题关键是牢记二次根式的被开方数必须为非负数，当两个被开方数互为相反数时，只有二者同时为0才能满足限制条件，解题时注意不要漏看任意一个二次根式的要求。
【难度系数】
0.8
3. 下列式子为最简二次根式的是(
A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
A
).A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^2}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先回忆最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来逐一验证每个选项是否同时符合这两个条件，不符合条件的直接排除，最终筛选出正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的定义：同时满足“被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式，叫做最简二次根式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{5}$的被开方数是5，属于整数且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
B选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
C选项：$\sqrt{a^2}$的被开方数$a^2$是能开得尽方的因式，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此不是最简二次根式。
D选项：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$的被开方数含有分母$a$，化简可得$\dfrac{\sqrt{a}}{a}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，属于基础题型，牢记判定的两个核心条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆最简二次根式的两个判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来逐一验证每个选项是否同时符合这两个条件，不符合条件的直接排除，最终筛选出正确答案。
【解析】
首先明确最简二次根式的定义：同时满足“被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”的二次根式，叫做最简二次根式。
对各选项逐一分析：
A选项：$\sqrt{5}$的被开方数是5，属于整数且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式。
B选项：$\sqrt{12}$的被开方数12可拆分为$4×3$，其中4是能开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），因此$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式。
C选项：$\sqrt{a^2}$的被开方数$a^2$是能开得尽方的因式，$\sqrt{a^2}=|a|$，因此不是最简二次根式。
D选项：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$的被开方数含有分母$a$，化简可得$\dfrac{\sqrt{a}}{a}$，因此不是最简二次根式。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
最简二次根式判定，二次根式化简
【点评】
本题考查最简二次根式的判断，属于基础题型，牢记判定的两个核心条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 下列运算正确的是(
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C.$2÷\sqrt{2}=1$
D.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
B
).A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{10}$
C.$2÷\sqrt{2}=1$
D.$\sqrt{(-5)^2}=-5$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查二次根式的运算与性质相关知识，解题时需逐个分析每个选项，结合对应规则判断对错即可。思考路径：首先明确二次根式的加减要求是同类二次根式才能合并，乘除运算遵循根号内外分别运算的规则，算术平方根的结果一定为非负数，依次对四个选项验证就可以得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不相同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A选项错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$，计算正确，B选项符合要求；
C选项：计算$2÷\sqrt{2}$，可将分子分母同乘$\sqrt{2}$有理化：$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠1$，C选项错误；
D选项：$\sqrt{(-5)^2}$表示求$(-5)^2$的算术平方根，先计算$(-5)^2=25$，再得$\sqrt{25}=5$，算术平方根结果非负，不可能等于$-5$，D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式的基础类题目，重点考查对二次根式运算法则和性质的理解掌握，牢记运算规则和算术平方根的非负性，就能快速规避常见错误，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的运算与性质相关知识，解题时需逐个分析每个选项，结合对应规则判断对错即可。思考路径：首先明确二次根式的加减要求是同类二次根式才能合并，乘除运算遵循根号内外分别运算的规则，算术平方根的结果一定为非负数，依次对四个选项验证就可以得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不相同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，因此$\sqrt{2}+\sqrt{3}≠\sqrt{5}$，A选项错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0，b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$，计算正确，B选项符合要求；
C选项：计算$2÷\sqrt{2}$，可将分子分母同乘$\sqrt{2}$有理化：$\frac{2×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}≠1$，C选项错误；
D选项：$\sqrt{(-5)^2}$表示求$(-5)^2$的算术平方根，先计算$(-5)^2=25$，再得$\sqrt{25}=5$，算术平方根结果非负，不可能等于$-5$，D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算；二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式的基础类题目，重点考查对二次根式运算法则和性质的理解掌握，牢记运算规则和算术平方根的非负性，就能快速规避常见错误，选出正确答案。
【难度系数】
0.8
5. 若$\sqrt{9 - 6a + a^2} = 3 - a$，则$a$与3的大小关系是(
A.$a ＜ 3$
B.$a ≤ 3$
C.$a ＞ 3$
D.$a ≥ 3$
B
).A.$a ＜ 3$
B.$a ≤ 3$
C.$a ＞ 3$
D.$a ≥ 3$
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先观察根号内的多项式，可变形为完全平方形式，再结合二次根式的性质将原式化简为绝对值形式，最后根据绝对值的代数意义列不等式求解a的取值范围，即可判断a与3的大小关系。
【解析】
首先对根号内的式子因式分解：
$\sqrt{9 - 6a + a^2} = \sqrt{(a - 3)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 3)^2} = |a - 3|$
已知原式等于$3 - a$，因此$|a - 3| = 3 - a = -(a - 3)$。
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，因此可得：
$a - 3 ≤ 0$
移项得$a ≤ 3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，易错点是容易遗漏$a=3$的情况，需注意绝对值等于其相反数时，包含绝对值内的式子等于0的情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察根号内的多项式，可变形为完全平方形式，再结合二次根式的性质将原式化简为绝对值形式，最后根据绝对值的代数意义列不等式求解a的取值范围，即可判断a与3的大小关系。
【解析】
首先对根号内的式子因式分解：
$\sqrt{9 - 6a + a^2} = \sqrt{(a - 3)^2}$
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得：
$\sqrt{(a - 3)^2} = |a - 3|$
已知原式等于$3 - a$，因此$|a - 3| = 3 - a = -(a - 3)$。
根据绝对值的性质：若$|x|=-x$，则$x≤0$，因此可得：
$a - 3 ≤ 0$
移项得$a ≤ 3$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，易错点是容易遗漏$a=3$的情况，需注意绝对值等于其相反数时，包含绝对值内的式子等于0的情况。
【难度系数】
0.7
6.已知二次根式$\sqrt{2a-4}$与$\sqrt{2}$是同类二次根式，则$a$的值可以是（
A.5
B.6
C.7
D.8
B
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路为：将四个选项的a值分别代入$\sqrt{2a-4}$，把得到的二次根式化为最简形式，判断其被开方数是否等于2，符合要求的即为正确答案。
【解析】
根据同类二次根式的定义，逐一验证选项：
选项A：当$a=5$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×5-4}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
选项B：当$a=6$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×6-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，符合要求；
选项C：当$a=7$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×7-4}=\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
选项D：当$a=8$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×8-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题的易错点是容易直接令原式的被开方数相等求解，忽略了需要先将二次根式化为最简形式再判断的要求，牢记定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需明确同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，就属于同类二次根式。解题思路为：将四个选项的a值分别代入$\sqrt{2a-4}$，把得到的二次根式化为最简形式，判断其被开方数是否等于2，符合要求的即为正确答案。
【解析】
根据同类二次根式的定义，逐一验证选项：
选项A：当$a=5$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×5-4}=\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$是最简二次根式，被开方数为6，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
选项B：当$a=6$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×6-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，化简后被开方数为2，与$\sqrt{2}$是同类二次根式，符合要求；
选项C：当$a=7$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×7-4}=\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$是最简二次根式，被开方数为10，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式；
选项D：当$a=8$时，$\sqrt{2a-4}=\sqrt{2×8-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，化简后被开方数为3，与$\sqrt{2}$的被开方数2不同，不是同类二次根式。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式的定义；二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，解题的易错点是容易直接令原式的被开方数相等求解，忽略了需要先将二次根式化为最简形式再判断的要求，牢记定义即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
7.已知$\sqrt{20n}$是整数，则满足条件的最小正整数n为（
A.2
B.3
C.4
D.5
D
）.A.2
B.3
C.4
D.5
答案
7.D
解析
【分析】
解题时首先明确：若二次根式的计算结果是整数，则其被开方数一定是能开尽方的完全平方数。我们可以先将被开方数20n化简、分解质因数，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，判断需要补充的最小质因数，就能得到最小的正整数n。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=2\sqrt{5n}$
已知$\sqrt{20n}$是整数，且2是整数，因此$\sqrt{5n}$必须是整数，即$5n$是完全平方数。
要使n为最小正整数，$5n$应为最小的符合条件的完全平方数，因为5是质数，所以$5n$最小为$5^2=25$，此时$n=25÷5=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式模块的基础常考题，核心考点是二次根式为整数的条件，解题时先化简二次根式再分析被开方数的特征即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确：若二次根式的计算结果是整数，则其被开方数一定是能开尽方的完全平方数。我们可以先将被开方数20n化简、分解质因数，再根据完全平方数的质因数指数均为偶数的特征，判断需要补充的最小质因数，就能得到最小的正整数n。
【解析】
先对二次根式进行化简：
$\sqrt{20n}=\sqrt{4×5n}=2\sqrt{5n}$
已知$\sqrt{20n}$是整数，且2是整数，因此$\sqrt{5n}$必须是整数，即$5n$是完全平方数。
要使n为最小正整数，$5n$应为最小的符合条件的完全平方数，因为5是质数，所以$5n$最小为$5^2=25$，此时$n=25÷5=5$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的化简、完全平方数的性质
【点评】
本题是二次根式模块的基础常考题，核心考点是二次根式为整数的条件，解题时先化简二次根式再分析被开方数的特征即可快速得到答案。
【难度系数】
0.7
8. 实数 $ a,b $ 在数轴上的对应位置如图所示，则 $ \sqrt{(a-b)^2} - (b - a - 2) $ 的化简结果是(
A.2
B.$ 2a - 2 $
C.$ 2 - 2b $
D.$ -2 $
A
).A.2
B.$ 2a - 2 $
C.$ 2 - 2b $
D.$ -2 $
答案
8.A
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a、b的取值范围，判断出$a-b$的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式中的根号转化为绝对值形式；接着根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$-3 ＜ a ＜ -2$，$0 ＜ b ＜ 1$，
$\therefore a ＜ b$，即$a-b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$。
$\because a-b＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，
$\therefore |a-b|=b-a$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b-a)-(b-a-2)\\&=b-a-b+a+2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题结合数轴考查二次根式和绝对值的化简运算，解题核心是先通过数轴判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值和括号，注意去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a、b的取值范围，判断出$a-b$的正负性；再根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式中的根号转化为绝对值形式；接着根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后去括号合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
由数轴可得：$-3 ＜ a ＜ -2$，$0 ＜ b ＜ 1$，
$\therefore a ＜ b$，即$a-b ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$。
$\because a-b＜0$，负数的绝对值等于它的相反数，
$\therefore |a-b|=b-a$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(b-a)-(b-a-2)\\&=b-a-b+a+2\\&=2\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用，二次根式的性质，绝对值化简
【点评】
本题结合数轴考查二次根式和绝对值的化简运算，解题核心是先通过数轴判断绝对值内式子的正负，再正确去绝对值和括号，注意去括号时若括号前为负号，括号内每一项都要变号。
【难度系数】
0.7
9. 新考法 满足结论的条件开放 写出一个无理数，使它与$\sqrt{2}$的积为有理数：
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
。答案
9.$\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足两个核心要求：①所求的数是无理数；②该数与$\sqrt{2}$的乘积为有理数。我们可以结合二次根式的乘法规律思考：两个相同的非负二次根式相乘，结果是去掉根号的有理数，即$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a$（$a≥0$），因此可先尝试取和$\sqrt{2}$相同的二次根式，验证是否满足两个条件即可，也可在$\sqrt{2}$的基础上乘任意非零有理数，得到更多符合要求的无理数。
【解析】
我们选取$\sqrt{2}$作为所求的数，验证如下：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，满足“无理数”的要求；
2. 计算它与$\sqrt{2}$的积：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$，2是整数，属于有理数，满足乘积为有理数的要求。
除此之外，形如$k\sqrt{2}$（$k$为非零有理数）的数均符合要求，例如$2\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$等，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1.无理数的概念 2.二次根式的乘法运算
【点评】
本题是条件开放型试题，解题时要同时兼顾两个限制条件，避免忽略“无理数”的要求误写2这类有理数作为答案，只要掌握无理数的定义和二次根式的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需同时满足两个核心要求：①所求的数是无理数；②该数与$\sqrt{2}$的乘积为有理数。我们可以结合二次根式的乘法规律思考：两个相同的非负二次根式相乘，结果是去掉根号的有理数，即$\sqrt{a}·\sqrt{a}=a$（$a≥0$），因此可先尝试取和$\sqrt{2}$相同的二次根式，验证是否满足两个条件即可，也可在$\sqrt{2}$的基础上乘任意非零有理数，得到更多符合要求的无理数。
【解析】
我们选取$\sqrt{2}$作为所求的数，验证如下：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数，满足“无理数”的要求；
2. 计算它与$\sqrt{2}$的积：$\sqrt{2} × \sqrt{2} = 2$，2是整数，属于有理数，满足乘积为有理数的要求。
除此之外，形如$k\sqrt{2}$（$k$为非零有理数）的数均符合要求，例如$2\sqrt{2}$、$\sqrt{8}$等，答案不唯一。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1.无理数的概念 2.二次根式的乘法运算
【点评】
本题是条件开放型试题，解题时要同时兼顾两个限制条件，避免忽略“无理数”的要求误写2这类有理数作为答案，只要掌握无理数的定义和二次根式的基本运算就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
10. 计算$\sqrt{(1-π)^2}$的结果是
$π-1$
。答案
10.$π-1$
解析
【分析】
解题时首先观察算式形式，属于“一个数的平方的算术平方根”类计算，优先联想到二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接去掉根号得到底数本身；接下来要化简绝对值，需先判断绝对值内$1-π$的正负，已知$π\approx3.14$，明显大于1，因此$1-π$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，即可算出最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(1-π)^2}=|1-π|$
$\because π\approx3.14＞1$，$\therefore 1-π＜0$
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|1-π|=-(1-π)=π-1$
【答案】
$π-1$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对二次根式非负性的理解和绝对值化简规则的运用，易错点是忽略$\sqrt{a^2}$的非负性，直接去掉根号得到错误结果$1-π$，解题关键是先判断底数的正负，再结合绝对值性质计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察算式形式，属于“一个数的平方的算术平方根”类计算，优先联想到二次根式的核心性质$\sqrt{a^2}=|a|$，不能直接去掉根号得到底数本身；接下来要化简绝对值，需先判断绝对值内$1-π$的正负，已知$π\approx3.14$，明显大于1，因此$1-π$是负数；最后根据负数的绝对值等于它的相反数，即可算出最终结果。
【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
$\sqrt{(1-π)^2}=|1-π|$
$\because π\approx3.14＞1$，$\therefore 1-π＜0$
根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，因此：
$|1-π|=-(1-π)=π-1$
【答案】
$π-1$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对二次根式非负性的理解和绝对值化简规则的运用，易错点是忽略$\sqrt{a^2}$的非负性，直接去掉根号得到错误结果$1-π$，解题关键是先判断底数的正负，再结合绝对值性质计算。
【难度系数】
0.8
11. 当$x=$
3
时，最简二次根式$\sqrt{x+4}$与$\sqrt{2x+1}$是同类二次根式。答案
11.3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确同类二次根式的判定规则：几个最简二次根式是同类二次根式的核心条件是它们的被开方数完全相同。题目已经给出两个二次根式均为最简形式，因此只需要令两个被开方数相等列方程，求解后再验证所得x是否能让二次根式有意义即可。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{x+4}$与$\sqrt{2x+1}$是同类二次根式
∴ 两者的被开方数相等，可列方程：
$x+4=2x+1$
移项得：$x-2x=1-4$
合并同类项得：$-x=-3$
系数化为1得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x+4=3+4=7＞0$，$2x+1=2×3+1=7＞0$，两个二次根式都有意义且为最简形式，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 最简二次根式
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查同类最简二次根式的性质，解题时要注意养成验根的习惯，确保所得的x能使所有二次根式有意义，避免出现无意义的错误解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确同类二次根式的判定规则：几个最简二次根式是同类二次根式的核心条件是它们的被开方数完全相同。题目已经给出两个二次根式均为最简形式，因此只需要令两个被开方数相等列方程，求解后再验证所得x是否能让二次根式有意义即可。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{x+4}$与$\sqrt{2x+1}$是同类二次根式
∴ 两者的被开方数相等，可列方程：
$x+4=2x+1$
移项得：$x-2x=1-4$
合并同类项得：$-x=-3$
系数化为1得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x+4=3+4=7＞0$，$2x+1=2×3+1=7＞0$，两个二次根式都有意义且为最简形式，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 最简二次根式
3. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查同类最简二次根式的性质，解题时要注意养成验根的习惯，确保所得的x能使所有二次根式有意义，避免出现无意义的错误解。
【难度系数】
0.8
12. 已知 $ a = 3 + 2\sqrt{2} $，$ b = 3 - 2\sqrt{2} $，则 $ a^2b - ab^2 = $
$4\sqrt{2}$
答案
12.$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
本题要求代数式的值，若直接将a、b代入计算运算量较大，容易出错。首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式ab，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为ab(a-b)的形式，再分别计算ab和a-b的值，最后代入计算即可，计算ab时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
①计算$ab$的值：
已知$a=3+2\sqrt{2}$，$b=3-2\sqrt{2}$，由平方差公式得：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2 - (2\sqrt{2})^2=9 - 8=1$
②计算$a - b$的值：
$a - b=(3+2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
③将$ab=1$，$a - b=4\sqrt{2}$代入分解后的式子：
$ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式相关的代数式求值类题目，解题的关键是先对所求代数式因式分解简化运算，避免直接代入的繁琐计算，同时考查了对乘法公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
本题要求代数式的值，若直接将a、b代入计算运算量较大，容易出错。首先观察所求代数式的结构，发现两项都含有公因式ab，因此可以先通过提公因式法对代数式因式分解，将其转化为ab(a-b)的形式，再分别计算ab和a-b的值，最后代入计算即可，计算ab时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
①计算$ab$的值：
已知$a=3+2\sqrt{2}$，$b=3-2\sqrt{2}$，由平方差公式得：
$ab=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2 - (2\sqrt{2})^2=9 - 8=1$
②计算$a - b$的值：
$a - b=(3+2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2})=3+2\sqrt{2}-3+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
③将$ab=1$，$a - b=4\sqrt{2}$代入分解后的式子：
$ab(a - b)=1×4\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
提公因式法因式分解、平方差公式、二次根式运算
【点评】
本题是二次根式相关的代数式求值类题目，解题的关键是先对所求代数式因式分解简化运算，避免直接代入的繁琐计算，同时考查了对乘法公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
13. 不改变根式的大小，把$-x\sqrt{-x}$根号外的因式移到根号内是
$\sqrt{-x^3}$
。答案
13.$\sqrt{-x^3}$
解析
【分析】
要将根号外的因式移到根号内，首先需根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再判断根号外因式的正负性，只有非负的因式才能直接平方后移入根号内，最后结合二次根式的性质计算即可。第一步：由被开方数非负，得$-x≥0$，即$x≤0$，因此根号外的$-x$是非负数，符合移入根号内的符号要求；第二步：利用二次根式性质$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2· b}$（$a≥0,b≥0$），将$-x$平方后与根号内的$-x$相乘，化简即可得到结果。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数：
∵ $\sqrt{-x}$有意义，
∴ $-x≥0$，即$x≤0$，
∴ $-x≥0$，根号外的因式$-x$为非负数，可移入根号内。
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2· b}$，代入得：
$-x\sqrt{-x}=\sqrt{(-x)^2· (-x)}$
计算根号内的表达式：$(-x)^2· (-x)=x^2· (-x)=-x^3$，
∴ 原式化简为$\sqrt{-x^3}$。
【答案】
$\sqrt{-x^3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略先判断x的取值范围，错误将根号外的负号直接保留，导致结果出错。解题的核心是先根据被开方数的非负性确定字母的取值范围，明确根号外因式的符号后再进行变形计算。
【难度系数】
0.6
要将根号外的因式移到根号内，首先需根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再判断根号外因式的正负性，只有非负的因式才能直接平方后移入根号内，最后结合二次根式的性质计算即可。第一步：由被开方数非负，得$-x≥0$，即$x≤0$，因此根号外的$-x$是非负数，符合移入根号内的符号要求；第二步：利用二次根式性质$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2· b}$（$a≥0,b≥0$），将$-x$平方后与根号内的$-x$相乘，化简即可得到结果。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数：
∵ $\sqrt{-x}$有意义，
∴ $-x≥0$，即$x≤0$，
∴ $-x≥0$，根号外的因式$-x$为非负数，可移入根号内。
根据二次根式的性质：当$a≥0$时，$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2· b}$，代入得：
$-x\sqrt{-x}=\sqrt{(-x)^2· (-x)}$
计算根号内的表达式：$(-x)^2· (-x)=x^2· (-x)=-x^3$，
∴ 原式化简为$\sqrt{-x^3}$。
【答案】
$\sqrt{-x^3}$
【知识点】
1. 二次根式有意义的条件
2. 二次根式的性质
【点评】
本题是二次根式化简的常见题型，易错点是忽略先判断x的取值范围，错误将根号外的负号直接保留，导致结果出错。解题的核心是先根据被开方数的非负性确定字母的取值范围，明确根号外因式的符号后再进行变形计算。
【难度系数】
0.6
14.若$\sqrt{(x-2)(3-x)} = \sqrt{x-2} · \sqrt{3-x}$成立，则$x$的取值范围为
$2≤ x≤3$
。答案
14.$2≤ x≤3$
解析
【分析】
要确定x的取值范围，需依据二次根式有意义的条件和二次根式乘法法则的成立条件思考：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，其次等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。因此本题只需让等式右边两个二次根式的被开方数同时非负，解对应的不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，等式右边的两个二次根式需同时满足：
$\begin{cases}x-2≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$。
所以不等式组的解集为$2≤ x≤3$。
【答案】
$2≤ x≤3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心是明确二次根式乘法法则的适用前提，易错点是遗漏被开方数非负的限制条件，只要牢记二次根式的被开方数必须大于等于0，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
要确定x的取值范围，需依据二次根式有意义的条件和二次根式乘法法则的成立条件思考：首先，二次根式的被开方数必须是非负数，其次等式$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$。因此本题只需让等式右边两个二次根式的被开方数同时非负，解对应的不等式组即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，等式右边的两个二次根式需同时满足：
$\begin{cases}x-2≥0 \\3-x≥0\end{cases}$
解不等式$x-2≥0$，得$x≥2$；
解不等式$3-x≥0$，得$x≤3$。
所以不等式组的解集为$2≤ x≤3$。
【答案】
$2≤ x≤3$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式相关的基础题型，核心是明确二次根式乘法法则的适用前提，易错点是遗漏被开方数非负的限制条件，只要牢记二次根式的被开方数必须大于等于0，就能快速准确求解。
【难度系数】
0.8
15. 代数式 $3 - \sqrt{4 - x^2}$ 的最小值是
1
.答案
15.1
解析
【分析】
要求代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最小值，可结合减法运算的性质分析：被减数3固定时，减数$\sqrt{4 - x^2}$越大，整个代数式的结果越小，因此只需先求出$\sqrt{4 - x^2}$的最大值，再代入计算即可。根据二次根式的性质，被开方数具有非负性，即$4 - x^2 ≥ 0$，同时$x^2$本身也是非负数，由此可推出$4 - x^2$的最大值，进而得到$\sqrt{4 - x^2}$的最大值。
【解析】
解：由二次根式的被开方数非负可得：$4 - x^2 ≥ 0$，
又因为任意实数的平方非负，即$x^2 ≥ 0$，
所以$4 - x^2 ≤ 4$，
因此$\sqrt{4 - x^2} ≤ \sqrt{4} = 2$，即$\sqrt{4 - x^2}$的最大值为2。
当减数$\sqrt{4 - x^2}$取最大值2时，代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$取得最小值，最小值为$3 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次根式的非负性 2.代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式的典型应用题型，解题核心是将原式的最值问题转化为根号部分的最值问题，结合减法运算的规律和二次根式的性质即可快速求解，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.7
要求代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$的最小值，可结合减法运算的性质分析：被减数3固定时，减数$\sqrt{4 - x^2}$越大，整个代数式的结果越小，因此只需先求出$\sqrt{4 - x^2}$的最大值，再代入计算即可。根据二次根式的性质，被开方数具有非负性，即$4 - x^2 ≥ 0$，同时$x^2$本身也是非负数，由此可推出$4 - x^2$的最大值，进而得到$\sqrt{4 - x^2}$的最大值。
【解析】
解：由二次根式的被开方数非负可得：$4 - x^2 ≥ 0$，
又因为任意实数的平方非负，即$x^2 ≥ 0$，
所以$4 - x^2 ≤ 4$，
因此$\sqrt{4 - x^2} ≤ \sqrt{4} = 2$，即$\sqrt{4 - x^2}$的最大值为2。
当减数$\sqrt{4 - x^2}$取最大值2时，代数式$3 - \sqrt{4 - x^2}$取得最小值，最小值为$3 - 2 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
1.二次根式的非负性 2.代数式最值求解
【点评】
本题是二次根式的典型应用题型，解题核心是将原式的最值问题转化为根号部分的最值问题，结合减法运算的规律和二次根式的性质即可快速求解，属于常考的基础类题型。
【难度系数】
0.7
16. 三角形的三边长分别为$\sqrt{20}$ cm，$\sqrt{40}$ cm，$\sqrt{45}$ cm，则这个三角形的周长为
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
cm.答案
16.$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
解析
【分析】
要求三角形的周长，根据周长的定义，只需将三角形三边的长度相加即可。解题时首先列出三边求和的算式，再把每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
三角形的周长等于三边长之和，因此可列式：
$\begin{aligned}周长&=\sqrt{20}+\sqrt{40}+\sqrt{45}\\&=\sqrt{4×5}+\sqrt{4×10}+\sqrt{9×5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+3\sqrt{5}\\&=(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})+2\sqrt{10}\\&=5\sqrt{5}+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
【知识点】
三角形周长计算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时注意先化简再合并，避免出错。
【难度系数】
0.8
要求三角形的周长，根据周长的定义，只需将三角形三边的长度相加即可。解题时首先列出三边求和的算式，再把每个二次根式化为最简二次根式，最后合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
三角形的周长等于三边长之和，因此可列式：
$\begin{aligned}周长&=\sqrt{20}+\sqrt{40}+\sqrt{45}\\&=\sqrt{4×5}+\sqrt{4×10}+\sqrt{9×5}\\&=2\sqrt{5}+2\sqrt{10}+3\sqrt{5}\\&=(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})+2\sqrt{10}\\&=5\sqrt{5}+2\sqrt{10}\end{aligned}$
【答案】
$(5\sqrt{5}+2\sqrt{10})$
【知识点】
三角形周长计算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式的基础应用类题目，解题的核心是熟练掌握二次根式的化简方法以及同类二次根式的合并规则，计算时注意先化简再合并，避免出错。
【难度系数】
0.8
17.若已知$a,b$为实数，且$\sqrt{a-5}+2\sqrt{10-2a}=b+4$，则$a=$
5
，$b=$-4
.答案
17.5 -4
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需利用二次根式有意义的条件作为突破口：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于a的不等式组，求出a的取值范围，确定a的具体值；再将a的值代入原式，即可求出b的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}a-5≥0 \\10-2a≥0\end{cases}$
解不等式$a-5≥0$，得$a≥5$；
解不等式$10-2a≥0$，得$a≤5$。
所以$a=5$。
将$a=5$代入原式$\sqrt{a-5}+2\sqrt{10-2a}=b+4$，得：
$\sqrt{5-5}+2\sqrt{10-2×5}=b+4$
计算左边：$\sqrt{0}+2\sqrt{0}=0+0=0$
因此$0=b+4$，解得$b=-4$。
【答案】
5；-4
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心考查二次根式有意义的条件的应用，只要掌握“二次根式的被开方数为非负数”这一核心知识点，就能快速找到解题思路，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需利用二次根式有意义的条件作为突破口：二次根式的被开方数必须是非负数，据此列出关于a的不等式组，求出a的取值范围，确定a的具体值；再将a的值代入原式，即可求出b的值。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，可得：
$\begin{cases}a-5≥0 \\10-2a≥0\end{cases}$
解不等式$a-5≥0$，得$a≥5$；
解不等式$10-2a≥0$，得$a≤5$。
所以$a=5$。
将$a=5$代入原式$\sqrt{a-5}+2\sqrt{10-2a}=b+4$，得：
$\sqrt{5-5}+2\sqrt{10-2×5}=b+4$
计算左边：$\sqrt{0}+2\sqrt{0}=0+0=0$
因此$0=b+4$，解得$b=-4$。
【答案】
5；-4
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式组；代数式求值
【点评】
本题是二次根式部分的基础常考题，核心考查二次根式有意义的条件的应用，只要掌握“二次根式的被开方数为非负数”这一核心知识点，就能快速找到解题思路，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
18. 已知$\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}$，$\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}$，$\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}$，…，请你用含$n$的式子将其中蕴含的规律表示出来：
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2且n为整数)$
。答案
18.$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2且n为整数)$
解析
【分析】
解题时先分别观察已知的三个等式左右两边的结构特征，寻找各部分和序数的对应规律：①先看等式左边根号内的带分数：整数部分依次为2、3、4，对应第n个式子的整数部分为n；分数部分的分子和整数部分相等，即分子为n；分数部分的分母依次为3=2²-1、8=3²-1、15=4²-1，对应第n个式子的分母为n²-1，因此左边根号内的数可写为$n+\frac{n}{n^2-1}$。②再看等式右边：是整数乘根号下分数的形式，整数部分和左边的整数部分一致为n，根号内的分数和左边带分数的分数部分一致为$\frac{n}{n^2-1}$。最后结合二次根式的性质验证等式成立，同时确定n的取值范围为大于等于2的整数即可。
【解析】
观察已知等式：
当n=2时，$\sqrt{2+\frac{2}{2^2-1}}=\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{2^2-1}}$，成立；
当n=3时，$\sqrt{3+\frac{3}{3^2-1}}=\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{3^2-1}}$，成立；
当n=4时，$\sqrt{4+\frac{4}{4^2-1}}=\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{4^2-1}}$，成立；
对左边进行化简验证：
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}$
∵n≥2且n为整数，
∴$\sqrt{n^2}=n$
∴原式=$\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，和右边相等。
因此可归纳出对应的规律。
【答案】
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2且n为整数)$
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题需要学生先通过观察归纳出数字和序数的对应关系，再结合二次根式的运算性质验证规律的正确性，解题时容易遗漏n的取值范围，需格外注意。
【难度系数】
0.7
解题时先分别观察已知的三个等式左右两边的结构特征，寻找各部分和序数的对应规律：①先看等式左边根号内的带分数：整数部分依次为2、3、4，对应第n个式子的整数部分为n；分数部分的分子和整数部分相等，即分子为n；分数部分的分母依次为3=2²-1、8=3²-1、15=4²-1，对应第n个式子的分母为n²-1，因此左边根号内的数可写为$n+\frac{n}{n^2-1}$。②再看等式右边：是整数乘根号下分数的形式，整数部分和左边的整数部分一致为n，根号内的分数和左边带分数的分数部分一致为$\frac{n}{n^2-1}$。最后结合二次根式的性质验证等式成立，同时确定n的取值范围为大于等于2的整数即可。
【解析】
观察已知等式：
当n=2时，$\sqrt{2+\frac{2}{2^2-1}}=\sqrt{2\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{\frac{2}{2^2-1}}$，成立；
当n=3时，$\sqrt{3+\frac{3}{3^2-1}}=\sqrt{3\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{8}}=3\sqrt{\frac{3}{3^2-1}}$，成立；
当n=4时，$\sqrt{4+\frac{4}{4^2-1}}=\sqrt{4\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{15}}=4\sqrt{\frac{4}{4^2-1}}$，成立；
对左边进行化简验证：
$\sqrt{n+\frac{n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n(n^2-1)+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3-n+n}{n^2-1}}=\sqrt{\frac{n^3}{n^2-1}}$
∵n≥2且n为整数，
∴$\sqrt{n^2}=n$
∴原式=$\sqrt{n^2·\frac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\frac{n}{n^2-1}}$，和右边相等。
因此可归纳出对应的规律。
【答案】
$\sqrt{n+\dfrac{n}{n^2-1}}=n\sqrt{\dfrac{n}{n^2-1}}(n≥2且n为整数)$
【知识点】
二次根式的化简；数字规律探究
【点评】
本题需要学生先通过观察归纳出数字和序数的对应关系，再结合二次根式的运算性质验证规律的正确性，解题时容易遗漏n的取值范围，需格外注意。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 已知$|a - b + 1|$与$\sqrt{a + 2b + 4}$互为相反数，求$(a - b)^{2026}$的值。
19. 已知$|a - b + 1|$与$\sqrt{a + 2b + 4}$互为相反数，求$(a - b)^{2026}$的值。
答案
19.由题意，得$\begin{cases} a-b+1=0, \\ a+2b+4=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=-1, \end{cases}$
所以$(a-b)^{2026}=[-2-(-1)]^{2026}=(-1)^{2026}=1.$
所以$(a-b)^{2026}=[-2-(-1)]^{2026}=(-1)^{2026}=1.$
解析
【分析】
首先根据互为相反数的两个数和为0，可得到等式$\vert a - b + 1\vert + \sqrt{a + 2b + 4}=0$。我们知道绝对值和算术平方根都是非负数（即取值≥0），两个非负数相加和为0时，只能是这两个非负数各自都等于0，由此可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵$\vert a - b + 1\vert$与$\sqrt{a + 2b + 4}$互为相反数
∴$\vert a - b + 1\vert + \sqrt{a + 2b + 4}=0$
又
∵$\vert a - b + 1\vert≥0$，$\sqrt{a + 2b + 4}≥0$
∴可得方程组$\begin{cases} a-b+1=0 \\ a+2b+4=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3b+3=0$，解得$b=-1$
将$b=-1$代入$a-b+1=0$，得$a+1+1=0$，解得$a=-2$
把$a=-2$，$b=-1$代入$(a - b)^{2026}$得：
$(a - b)^{2026}=[-2-(-1)]^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的结论，结合方程组求解后代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先根据互为相反数的两个数和为0，可得到等式$\vert a - b + 1\vert + \sqrt{a + 2b + 4}=0$。我们知道绝对值和算术平方根都是非负数（即取值≥0），两个非负数相加和为0时，只能是这两个非负数各自都等于0，由此可列出关于a、b的二元一次方程组，解出a、b的值后代入所求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵$\vert a - b + 1\vert$与$\sqrt{a + 2b + 4}$互为相反数
∴$\vert a - b + 1\vert + \sqrt{a + 2b + 4}=0$
又
∵$\vert a - b + 1\vert≥0$，$\sqrt{a + 2b + 4}≥0$
∴可得方程组$\begin{cases} a-b+1=0 \\ a+2b+4=0 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$3b+3=0$，解得$b=-1$
将$b=-1$代入$a-b+1=0$，得$a+1+1=0$，解得$a=-2$
把$a=-2$，$b=-1$代入$(a - b)^{2026}$得：
$(a - b)^{2026}=[-2-(-1)]^{2026}=(-1)^{2026}=1$
【答案】
1
【知识点】
非负数的性质，解二元一次方程组，乘方运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查非负数性质的应用，解题关键是掌握“多个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的结论，结合方程组求解后代入计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
