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23. 先仔细看(1)题，再解答(2)题.
(1)$a$为何值时，方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{a}{x-3}$会产生增根？
解:方程两边同时乘$(x-3)$，
得$x=2(x-3)+a$,①
因为$x=3$是原方程的增根，
但却是方程①的根，
所以将$x=3$代入①，得$3=2×(3-3)+a$,
所以$a=3$.
(2)当$m$为何值时，方程$\frac{y}{y-1}-\frac{m^2}{y^2-y}=\frac{y-1}{y}$会产生增根？
(1)$a$为何值时，方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{a}{x-3}$会产生增根？
解:方程两边同时乘$(x-3)$，
得$x=2(x-3)+a$,①
因为$x=3$是原方程的增根，
但却是方程①的根，
所以将$x=3$代入①，得$3=2×(3-3)+a$,
所以$a=3$.
(2)当$m$为何值时，方程$\frac{y}{y-1}-\frac{m^2}{y^2-y}=\frac{y-1}{y}$会产生增根？
答案
23.方程两边同时乘以 $y(y-1)$,得
$y^2-m^2=(y-1)^2$,即 $m^2=2y-1$.
所以若增根为 $0$,则 $m$ 不存在;
若增根为 $1$,则 $m^2=1$,解得 $m=\pm1$.
$y^2-m^2=(y-1)^2$,即 $m^2=2y-1$.
所以若增根为 $0$,则 $m$ 不存在;
若增根为 $1$,则 $m^2=1$,解得 $m=\pm1$.
解析
【分析】
要解决分式方程增根问题，首先明确增根的两个特征：①增根会让原分式方程的分母为0；②增根是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步先找原方程的最简公分母，确定所有可能的增根；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把可能的增根分别代入整式方程求m，结合平方的非负性判断解是否存在即可。
【解析】
原方程分母$y^2-y=y(y-1)$，因此最简公分母为$y(y-1)$。
方程两边同时乘以$y(y-1)$，约去分母得：
$y^2 - m^2 = (y-1)^2$
展开并整理上式：
$y^2 - m^2 = y^2 - 2y + 1$，消去$y^2$后得$m^2=2y-1$。
令最简公分母$y(y-1)=0$，解得原方程可能的增根为$y=0$或$y=1$：
1. 若增根为$y=0$，代入$m^2=2y-1$得$m^2=-1$，由于实数的平方不可能为负，此时m不存在；
2. 若增根为$y=1$，代入$m^2=2y-1$得$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
当$m=\pm1$时，方程会产生增根。
【知识点】
分式方程增根、解分式方程、平方的非负性
【点评】
本题重点考察对分式方程增根概念的应用，解题时要先找出所有可能的增根，逐一代入计算，不能遗漏可能的增根，同时要注意结合平方的非负性排除不存在的解，避免错解。
【难度系数】
0.6
要解决分式方程增根问题，首先明确增根的两个特征：①增根会让原分式方程的分母为0；②增根是去分母后得到的整式方程的根。解题思路分三步：第一步先找原方程的最简公分母，确定所有可能的增根；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把可能的增根分别代入整式方程求m，结合平方的非负性判断解是否存在即可。
【解析】
原方程分母$y^2-y=y(y-1)$，因此最简公分母为$y(y-1)$。
方程两边同时乘以$y(y-1)$，约去分母得：
$y^2 - m^2 = (y-1)^2$
展开并整理上式：
$y^2 - m^2 = y^2 - 2y + 1$，消去$y^2$后得$m^2=2y-1$。
令最简公分母$y(y-1)=0$，解得原方程可能的增根为$y=0$或$y=1$：
1. 若增根为$y=0$，代入$m^2=2y-1$得$m^2=-1$，由于实数的平方不可能为负，此时m不存在；
2. 若增根为$y=1$，代入$m^2=2y-1$得$m^2=1$，解得$m=\pm1$。
【答案】
当$m=\pm1$时，方程会产生增根。
【知识点】
分式方程增根、解分式方程、平方的非负性
【点评】
本题重点考察对分式方程增根概念的应用，解题时要先找出所有可能的增根，逐一代入计算，不能遗漏可能的增根，同时要注意结合平方的非负性排除不存在的解，避免错解。
【难度系数】
0.6
24.某商店购进A，B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元.用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同.
(1)求纪念品A，B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A，B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B的数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
(1)求纪念品A，B的单价分别是多少元？
(2)商店计划购买纪念品A，B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B的数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？
答案
24.(1)设 $A$ 种纪念品的单价为 $x$ 元,则 $B$ 种纪念品的单价为 $(x-10)$ 元,
根据题意,得 $\frac{600}{x}=\frac{400}{x-10}$,解得 $x=30$,
经检验,$x=30$ 是原方程的解,
$\therefore B$ 种纪念品的单价为 $x-10=20$.
故纪念品 $A,B$ 的单价分别是 $30$ 元和 $20$ 元.
(2)设 $A$ 种纪念品购进 $a$ 件,总费用为 $y$ 元,
则 $y=30a+20(400-a)=10a+8\ 000$.
又 $\begin{cases} a≥2(400-a),\\ 10a+8\ 000≤11\ 000, \end{cases}$
解得 $\frac{800}{3}≤a≤300$.
$\because 10＞0$,$\therefore y$ 随 $a$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $a=267$ 时,购买这两种纪念品的总费用最少.
故 $A$ 种纪念品购进 $267$ 件,$B$ 种纪念品购进 $400-267=133$(件),购进两种纪念品总费用最少.
根据题意,得 $\frac{600}{x}=\frac{400}{x-10}$,解得 $x=30$,
经检验,$x=30$ 是原方程的解,
$\therefore B$ 种纪念品的单价为 $x-10=20$.
故纪念品 $A,B$ 的单价分别是 $30$ 元和 $20$ 元.
(2)设 $A$ 种纪念品购进 $a$ 件,总费用为 $y$ 元,
则 $y=30a+20(400-a)=10a+8\ 000$.
又 $\begin{cases} a≥2(400-a),\\ 10a+8\ 000≤11\ 000, \end{cases}$
解得 $\frac{800}{3}≤a≤300$.
$\because 10＞0$,$\therefore y$ 随 $a$ 的增大而增大,
$\therefore$ 当 $a=267$ 时,购买这两种纪念品的总费用最少.
故 $A$ 种纪念品购进 $267$ 件,$B$ 种纪念品购进 $400-267=133$(件),购进两种纪念品总费用最少.
解析
【分析】
(1) 本问属于分式方程的实际应用，解题核心是找到等量关系。已知A单价比B高10元，设A单价为x元即可表示出B的单价，再根据“600元购进A的数量=400元购进B的数量”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根的合理性。
(2) 本问是结合不等式组的一次函数最值问题，先设购进A的数量为a件，可表示出B的数量和总费用关于a的函数关系式；再根据“A的数量不少于B的2倍、总费用不超过11000元”列不等式组求出a的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合a为正整数的要求，找到使总费用最小的a值即可。
【解析】
(1) 设$A$种纪念品的单价为$x$元，则$B$种纪念品的单价为$(x-10)$元，
根据题意，得 $\frac{600}{x}=\frac{400}{x-10}$，
交叉相乘化简得$600(x-10)=400x$，解得 $x=30$，
经检验，$x=30$ 是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore B$ 种纪念品的单价为 $x-10=30-10=20$元。
(2) 设 $A$ 种纪念品购进 $a$ 件，总费用为 $y$ 元，则B种纪念品购进$(400-a)$件，
则总费用$y=30a+20(400-a)=10a+8000$，
根据题意列不等式组$\begin{cases} a≥2(400-a)\\ 10a+8000≤11000 \end{cases}$，
解第一个不等式得$a≥\frac{800}{3}$，解第二个不等式得$a≤300$，
∴$a$的取值范围为$\frac{800}{3}≤a≤300$，且$a$为正整数，
$\because 10＞0$，$\therefore y$ 随 $a$ 的增大而增大，
$\therefore$ 当 $a$取最小正整数267时，总费用最少，
此时B种纪念品购进数量为$400-267=133$件。
【答案】
(1) 纪念品A的单价是30元，纪念品B的单价是20元；
(2) 购进A种纪念品267件，B种纪念品133件时总费用最少。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题是常见的采购优化类应用题，综合考查了分式方程、不等式组和一次函数的相关知识，解题时要注意找准等量关系和不等关系，不要忽略分式方程验根、实际问题中自变量取整数的要求，是中考高频考查的综合题型。
【难度系数】
0.65
(1) 本问属于分式方程的实际应用，解题核心是找到等量关系。已知A单价比B高10元，设A单价为x元即可表示出B的单价，再根据“600元购进A的数量=400元购进B的数量”列分式方程求解，注意分式方程必须检验根的合理性。
(2) 本问是结合不等式组的一次函数最值问题，先设购进A的数量为a件，可表示出B的数量和总费用关于a的函数关系式；再根据“A的数量不少于B的2倍、总费用不超过11000元”列不等式组求出a的取值范围；最后根据一次函数的增减性，结合a为正整数的要求，找到使总费用最小的a值即可。
【解析】
(1) 设$A$种纪念品的单价为$x$元，则$B$种纪念品的单价为$(x-10)$元，
根据题意，得 $\frac{600}{x}=\frac{400}{x-10}$，
交叉相乘化简得$600(x-10)=400x$，解得 $x=30$，
经检验，$x=30$ 是原方程的解，且符合实际意义，
$\therefore B$ 种纪念品的单价为 $x-10=30-10=20$元。
(2) 设 $A$ 种纪念品购进 $a$ 件，总费用为 $y$ 元，则B种纪念品购进$(400-a)$件，
则总费用$y=30a+20(400-a)=10a+8000$，
根据题意列不等式组$\begin{cases} a≥2(400-a)\\ 10a+8000≤11000 \end{cases}$，
解第一个不等式得$a≥\frac{800}{3}$，解第二个不等式得$a≤300$，
∴$a$的取值范围为$\frac{800}{3}≤a≤300$，且$a$为正整数，
$\because 10＞0$，$\therefore y$ 随 $a$ 的增大而增大，
$\therefore$ 当 $a$取最小正整数267时，总费用最少，
此时B种纪念品购进数量为$400-267=133$件。
【答案】
(1) 纪念品A的单价是30元，纪念品B的单价是20元；
(2) 购进A种纪念品267件，B种纪念品133件时总费用最少。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的实际应用
【点评】
本题是常见的采购优化类应用题，综合考查了分式方程、不等式组和一次函数的相关知识，解题时要注意找准等量关系和不等关系，不要忽略分式方程验根、实际问题中自变量取整数的要求，是中考高频考查的综合题型。
【难度系数】
0.65
25. 书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购买若干本，按每本10元出售，很快售完。第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了20%，他用1500元所购买的数量比第一次多10本。
(1)求第一次购买的图书每本进价多少元。
(2)第二次购买的图书，按每本10元售出200本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部售出，要使这两次销售的总利润不低于2100元，每本至多降价多少元？(利润=销售收入-进价)
(1)求第一次购买的图书每本进价多少元。
(2)第二次购买的图书，按每本10元售出200本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部售出，要使这两次销售的总利润不低于2100元，每本至多降价多少元？(利润=销售收入-进价)
答案
25.(1)设第一次购买的图书每本进价 $x$ 元,则第二次购买的图书每本进价 $1.2x$ 元,
根据题意,得 $\frac{1\ 500}{1.2x}-\frac{1\ 200}{x}=10$,
解得 $x=5$,
经检验,$x=5$ 是原分式方程的解,且符合题意.
故第一次购买的图书每本进价 $5$ 元.
(2)第一次购进数量为 $1\ 200÷5=240$(本),第二次购进数量为 $240+10=250$(本).
设每本降价 $y$ 元,根据题意,得
$240×10+200×10+(250-200)×(10-y)-1\ 200-1\ 500≥2\ 100$,解得 $y≤2$.
故每本至多降价 $2$ 元.
根据题意,得 $\frac{1\ 500}{1.2x}-\frac{1\ 200}{x}=10$,
解得 $x=5$,
经检验,$x=5$ 是原分式方程的解,且符合题意.
故第一次购买的图书每本进价 $5$ 元.
(2)第一次购进数量为 $1\ 200÷5=240$(本),第二次购进数量为 $240+10=250$(本).
设每本降价 $y$ 元,根据题意,得
$240×10+200×10+(250-200)×(10-y)-1\ 200-1\ 500≥2\ 100$,解得 $y≤2$.
故每本至多降价 $2$ 元.
解析
【分析】
(1) 第一问是分式方程的实际应用，解题核心是找到两次购书数量的等量关系：第二次购书数量 - 第一次购书数量 = 10本。设第一次每本进价为x元，根据第二次进价比第一次提高20%可得第二次每本进价为1.2x元，再用“总价÷单价=数量”分别表示两次的购书数量，即可列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际题意。
(2) 第二问是一元一次不等式的实际应用，核心不等关系为：两次销售总利润 ≥ 2100元。先根据第一问的进价算出两次的购书数量，再设每本降价y元，分别表示出两次的销售收入，结合“利润=销售收入-总进价”列不等式求解，即可得到降价的最大值。
【解析】
(1) 设第一次购买的图书每本进价$x$元，则第二次购买的图书每本进价$1.2x$元，
根据题意，得 $\frac{1500}{1.2x}-\frac{1200}{x}=10$，
解得 $x=5$，
经检验，$x=5$ 是原分式方程的解，且符合题意。
故第一次购买的图书每本进价5元。
(2) 第一次购进数量为 $1200÷5=240$（本），第二次购进数量为 $240+10=250$（本）。
设每本降价$y$元，根据题意，得
$240×10+200×10+(250-200)×(10-y)-1200-1500≥2100$，
解得 $y≤2$。
故每本至多降价2元。
【答案】
(1) 5元；(2) 2元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的方程与不等式结合的实际应用题型，解题关键是从题干中提取准确的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意分式方程必须检验解的合理性，这类题是考试高频题型，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问是分式方程的实际应用，解题核心是找到两次购书数量的等量关系：第二次购书数量 - 第一次购书数量 = 10本。设第一次每本进价为x元，根据第二次进价比第一次提高20%可得第二次每本进价为1.2x元，再用“总价÷单价=数量”分别表示两次的购书数量，即可列方程求解，注意分式方程需要检验根是否符合实际题意。
(2) 第二问是一元一次不等式的实际应用，核心不等关系为：两次销售总利润 ≥ 2100元。先根据第一问的进价算出两次的购书数量，再设每本降价y元，分别表示出两次的销售收入，结合“利润=销售收入-总进价”列不等式求解，即可得到降价的最大值。
【解析】
(1) 设第一次购买的图书每本进价$x$元，则第二次购买的图书每本进价$1.2x$元，
根据题意，得 $\frac{1500}{1.2x}-\frac{1200}{x}=10$，
解得 $x=5$，
经检验，$x=5$ 是原分式方程的解，且符合题意。
故第一次购买的图书每本进价5元。
(2) 第一次购进数量为 $1200÷5=240$（本），第二次购进数量为 $240+10=250$（本）。
设每本降价$y$元，根据题意，得
$240×10+200×10+(250-200)×(10-y)-1200-1500≥2100$，
解得 $y≤2$。
故每本至多降价2元。
【答案】
(1) 5元；(2) 2元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次不等式的应用，销售利润计算
【点评】
本题是典型的方程与不等式结合的实际应用题型，解题关键是从题干中提取准确的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，同时要注意分式方程必须检验解的合理性，这类题是考试高频题型，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
