练 4-1 如图所示,在$□ ABCD$中,点$E,F$在对角线$BD$上,且$BE=DF$,求证:
(1)$AE=CF$;
(2)四边形$AECF$是平行四边形。

证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AB = CD, \\∠ABE = ∠CDF, \\BE = DF,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（SAS），
∴ AE = CF。
(2) 由△ABE ≌ △CDF可得∠AEB = ∠CFD，
∴ 180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD，即∠AEF = ∠CFE，
∴ AE // CF。
又∵ AE = CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。

【分析】
要证明(1)中AE=CF，可利用平行四边形的性质得到边和角的等量关系，结合已知BE=DF，通过SAS判定△ABE与△CDF全等，从而得到AE=CF；要证明(2)中四边形AECF是平行四边形，可由(1)的全等推出角的关系，得到AE与CF平行，再结合已证的AE=CF，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”完成判定。
【解析】
证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB = CD，AB // CD，
∴ ∠ABE = ∠CDF。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l} AB = CD, \\∠ABE = ∠CDF, \\BE = DF,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CDF（SAS），
∴ AE = CF。
(2) 由△ABE ≌ △CDF可得∠AEB = ∠CFD，
∴ 180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD，即∠AEF = ∠CFE，
∴ AE // CF。
又
∵ AE = CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形。
【答案】
证明见上述解析。
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、平行四边形判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心是利用平行四边形的性质结合全等三角形实现边、角的转化，进而完成平行四边形的判定，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】
0.7

练4-2 如图,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的角平分线AE交CD于点F,交BC延长线于点E。
(1)求证:BE=CD;
(2)若BF恰好平分∠ABE,连结AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形。

证明：
(1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD，
∴ ∠DAE=∠E，
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠E，
∴ AB=BE，
又∵ AB=CD，
∴ BE=CD。
(2)
由(1)得AB=BE，△ABE为等腰三角形，
∵ BF平分∠ABE，
∴ AF=EF，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//CE，AD=BC，
∴ ∠DAF=∠CEF，
在△ADF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠CEF \\AF=EF \\∠AFD=∠EFC\end{array} $
∴ △ADF ≌ △ECF (ASA)，
∴ AD=CE，
又∵ AD//CE，
∴ 四边形ACED是平行四边形。

【分析】
要解决这道几何证明题，需结合平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定来推导。第(1)问中，利用平行四边形对边相等的性质，结合角平分线与平行线的内错角相等，推导出等腰三角形，进而证明BE=CD；第(2)问中，利用等腰三角形三线合一得到线段相等，再通过全等三角形证明AD=CE，结合AD与CE平行，从而证明四边形ACED是平行四边形。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD，
∴ ∠DAE=∠E（两直线平行，内错角相等），
∵ AE平分∠BAD，
∴ ∠BAE=∠DAE，
∴ ∠BAE=∠E，
∴ AB=BE（等角对等边），
又
∵ AB=CD，
∴ BE=CD。
(2) 证明：
由(1)得AB=BE，即△ABE为等腰三角形，
∵ BF平分∠ABE，
∴ AF=EF（等腰三角形三线合一），
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//CE，AD=BC，
∴ ∠DAF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△ADF和△ECF中，
$\{\begin{array}{l}∠DAF=∠CEF \\AF=EF \\∠AFD=∠EFC\end{array} $
∴ △ADF ≌ △ECF（ASA），
∴ AD=CE，
又
∵ AD//CE，
∴ 四边形ACED是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) BE=CD得证；(2) 四边形ACED是平行四边形得证。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形、全等三角形的核心知识点，解题关键是利用角平分线和平行线的性质推导等角，进而得到等边或全等关系，难度适中，需学生熟练掌握几何定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.6