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例5 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,
$AB=AC=4$,点$D$是$AC$上一点,连结$BD$,
点$F$是$BD$的中点,连结$AF$,作$AE⊥ BC$于
点$E$,连结$EF$,若$AF=\dfrac{5}{2}$,则$EF$的长为
$(\quad)$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
$AB=AC=4$,点$D$是$AC$上一点,连结$BD$,
点$F$是$BD$的中点,连结$AF$,作$AE⊥ BC$于
点$E$,连结$EF$,若$AF=\dfrac{5}{2}$,则$EF$的长为
$(\quad)$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D.$1$
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 利用直角三角形斜边中线的性质：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。结合△ABD是直角三角形，F是BD中点，可求出BD的长度；
2. 在Rt△ABD中，已知AB和BD，用勾股定理算出AD，进而得到DC的长度；
3. 由等腰直角三角形的性质，AE⊥BC时E是BC中点；
4. 观察EF，E是BC中点、F是BD中点，可知EF是△BCD的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 在Rt△ABD中，∠BAC=90°，F是BD中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$AF=\frac{1}{2}BD$。已知$AF=\frac{5}{2}$，因此$BD=2AF=2×\frac{5}{2}=5$；
2. 在Rt△ABD中，$AB=4$，$BD=5$，由勾股定理得：$AD=\sqrt{BD^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$；
3. 因为$AC=4$，所以$DC=AC - AD=4-3=1$；
4. △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点；
5. 又F是BD中点，故EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线、三角形中位线、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是利用直角三角形斜边中线求出BD，再通过中位线定理简化计算，整体思路清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 利用直角三角形斜边中线的性质：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。结合△ABD是直角三角形，F是BD中点，可求出BD的长度；
2. 在Rt△ABD中，已知AB和BD，用勾股定理算出AD，进而得到DC的长度；
3. 由等腰直角三角形的性质，AE⊥BC时E是BC中点；
4. 观察EF，E是BC中点、F是BD中点，可知EF是△BCD的中位线，根据中位线定理即可求出EF的长度。
【解析】
1. 在Rt△ABD中，∠BAC=90°，F是BD中点，根据直角三角形斜边中线定理，得$AF=\frac{1}{2}BD$。已知$AF=\frac{5}{2}$，因此$BD=2AF=2×\frac{5}{2}=5$；
2. 在Rt△ABD中，$AB=4$，$BD=5$，由勾股定理得：$AD=\sqrt{BD^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=3$；
3. 因为$AC=4$，所以$DC=AC - AD=4-3=1$；
4. △ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一，E是BC的中点；
5. 又F是BD中点，故EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线定理，$EF=\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线、三角形中位线、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形斜边中线定理、三角形中位线定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是利用直角三角形斜边中线求出BD，再通过中位线定理简化计算，整体思路清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
练5-1 如图,每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的三个顶点都在格点上,点D,E分别是边AB,AC与网格对角线的交点,连结DE,则DE的长为 （）
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{10}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{\sqrt{10}}{2}$
答案
D
解析
【分析】要计算DE的长度，可通过识别DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，即中位线长度等于对应底边长度的一半，结合勾股定理计算BC的长度，进而求出DE的长度。
【解析】设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，确定点B坐标为$(0,2)$，点C坐标为$(3,1)$。根据勾股定理，BC的长度为$\sqrt{(3-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$。由网格线的平行关系可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE的长度为BC长度的一半，即$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、勾股定理
【点评】本题结合网格图考查三角形中位线定理与勾股定理的应用，核心是识别DE为中位线，简化计算过程，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，确定点B坐标为$(0,2)$，点C坐标为$(3,1)$。根据勾股定理，BC的长度为$\sqrt{(3-0)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$。由网格线的平行关系可知，DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，DE的长度为BC长度的一半，即$DE = \frac{1}{2}BC = \frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】D
【知识点】三角形中位线定理、勾股定理
【点评】本题结合网格图考查三角形中位线定理与勾股定理的应用，核心是识别DE为中位线，简化计算过程，属于基础几何应用题型。
【难度系数】0.5
练 5-2 如图，$∠ BAC$ 的平分线交 $△ ABC$ 的中位线 $DE$ 于点 $F$。若 $AC=10,AB=6$，则 $EF$ 的长为 （）
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，需先利用三角形中位线的性质得到DE与AC的平行关系及线段长度，再结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推出等腰三角形得到DF的长度，最后通过线段和差计算EF的长度。
【解析】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ D为AB中点，E为BC中点，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠DAF=∠CAF。
又
∵ DE//AC，
∴ ∠DFA=∠CAF，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∴ △ADF为等腰三角形，即DF=AD=3。
∴ EF=DE-DF=5-3=2。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线与等腰三角形的性质，核心是利用平行线与角平分线构造等腰三角形，进而计算线段长度，是几何线段计算的基础题型，需掌握相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先利用三角形中位线的性质得到DE与AC的平行关系及线段长度，再结合角平分线定义和平行线的内错角相等，推出等腰三角形得到DF的长度，最后通过线段和差计算EF的长度。
【解析】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ D为AB中点，E为BC中点，
∴ DE//AC，且$DE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×10=5$，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠DAF=∠CAF。
又
∵ DE//AC，
∴ ∠DFA=∠CAF，
∴ ∠DAF=∠DFA，
∴ △ADF为等腰三角形，即DF=AD=3。
∴ EF=DE-DF=5-3=2。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查三角形中位线、角平分线与等腰三角形的性质，核心是利用平行线与角平分线构造等腰三角形，进而计算线段长度，是几何线段计算的基础题型，需掌握相关性质的综合应用。
【难度系数】
0.6
1.我国新能源汽车产业发展迅猛,取得了举世瞩目的成就,下列新能源汽车标志既是轴对称图形,又是中心对称图形的是()
答案
D
解析
【分析】
要判断图形既是轴对称图形又是中心对称图形，需明确两个核心定义：轴对称图形是沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合；中心对称图形是绕图形中心旋转180°后，能与原图形完全重合。逐一分析各选项标志是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
1. 选项A（蔚来标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
2. 选项B（小米标志）：既不存在一条直线使对折后两侧重合，旋转180°后也无法与原图形重合，既不是轴对称也不是中心对称图形，不符合要求。
3. 选项C（小鹏标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
4. 选项D（智己标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后，图形与原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题考查轴对称与中心对称图形的概念，需准确掌握两个图形的定义，逐一判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
要判断图形既是轴对称图形又是中心对称图形，需明确两个核心定义：轴对称图形是沿一条直线对折后，直线两侧部分能完全重合；中心对称图形是绕图形中心旋转180°后，能与原图形完全重合。逐一分析各选项标志是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
1. 选项A（蔚来标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
2. 选项B（小米标志）：既不存在一条直线使对折后两侧重合，旋转180°后也无法与原图形重合，既不是轴对称也不是中心对称图形，不符合要求。
3. 选项C（小鹏标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，图形与原图形不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
4. 选项D（智己标志）：沿竖直中线对折，左右两侧完全重合，是轴对称图形；绕中心旋转180°后，图形与原图形完全重合，是中心对称图形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
轴对称图形、中心对称图形
【点评】
本题考查轴对称与中心对称图形的概念，需准确掌握两个图形的定义，逐一判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.3
