练 2-2 如图,在$□ ABCD$中,$∠ ABC$的平分线交$AD$的延长线于点$E$,若$CD=5$,$ED=1$,则$BC$的长为
$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$

A.4
B.5
C.6
D.7

A

【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的性质与角平分线的特点推导边的关系：先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD//BC、AD=BC、AB=CD；再由BE是∠ABC的平分线，结合平行线的内错角相等，推出∠ABE=∠E，得到等腰三角形ABE，进而得出AB=AE；最后通过AE与AD、ED的关系计算AD的长度，即可得到BC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，AB=CD=5。
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC。
又
∵AD//BC，
∴∠E=∠EBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ABE=∠E，
∴AB=AE（等角对等边）。
已知ED=1，且AE=AD + ED，
又
∵AD=BC，AB=AE=5，
∴AD=AE - ED=5 - 1=4，
∴BC=AD=4。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质，角平分线性质，等腰三角形判定
【点评】
本题是平行四边形与角平分线结合的基础题，核心是利用平行线和角平分线构造等腰三角形，转化边的关系，解题思路清晰，属于学生易掌握的基础题型。
【难度系数】
0.7

例3 如图,已知$□ ABCD$的一组邻边AB,BC。利用尺规作图的方式作$□ ABCD$,在下列四个作图中,作法与理论依据都正确的有
$\boldsymbol{(\quad)}$



A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

【分析】
要判断四个作法是否正确，需结合平行四边形的判定定理，逐一验证每个作法的理论依据是否符合平行四边形的判定规则。平行四边形的常用判定定理包括：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形。已知邻边AB、BC，需根据这些定理判断每个作法能否得到平行四边形ABCD。
【解析】
逐一分析四个作法：
1. 作法1：以A为圆心、BC长为半径画弧，以C为圆心、AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD。此时AD=BC，CD=AB，依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，正确。
2. 作法2：分别过点A作BC的平行线，过点C作AB的平行线，两线交于点D。此时AB//CD，AD//BC，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，正确。
3. 作法3：作AC的中点O，连接BO并延长至D，使OD=BO，连接AD、CD。此时OA=OC，OB=OD，依据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可判定ABCD是平行四边形，正确。
4. 作法4：若作法为仅截取线段未保证平行关系，则不符合平行四边形判定，错误。综上，正确的作法有3个。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定、尺规作图
【点评】
本题结合尺规作图考查平行四边形的判定，需熟练掌握平行四边形的各类判定定理，逐一分析每个作法的逻辑依据，属于几何基础题型，需注意细节判断。
【难度系数】
0.5

练3 四边形ABCD对角线交于点O,下列条件能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （）

A.$OA=OB,OC=OD$
B.$AB=BC,CD=DA$
C.$AB// CD,∠ ABC=∠ ADC$
D.$∠ BAD=∠ ABC,∠ BCD=∠ ADC$

C

【分析】要判定四边形ABCD为平行四边形，需结合平行四边形的判定定理（如两组对边分别平行、一组对边平行且相等、两组对角分别相等等），逐个分析选项：
1. 选项A：仅给出OA=OB、OC=OD，只能推出对角线AC=BD，无法证明对边平行或相等，不能判定为平行四边形（如等腰梯形对角线也相等）；
2. 选项B：AB=BC、CD=DA是两组邻边相等，属于筝形的特征，无法判定为平行四边形；
3. 选项C：由AB//CD可得同旁内角互补，结合已知条件可推出另一组对边平行，符合平行四边形定义；
4. 选项D：该条件可推出四边形可能为等腰梯形，无法判定为平行四边形。
【解析】逐一分析各选项：
选项A：OA=OB，OC=OD，仅能得到AC=BD，对角线相等的四边形不一定是平行四边形（如等腰梯形），故A错误；
选项B：AB=BC，CD=DA，说明两组邻边分别相等，是筝形的性质，不是平行四边形的判定条件，故B错误；
选项C：因为AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠ABC + ∠BCD=180°，又已知∠ABC=∠ADC，所以∠ADC + ∠BCD=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，得AD//BC，因此四边形ABCD两组对边分别平行，符合平行四边形的定义，故C正确；
选项D：由∠BAD=∠ABC，∠BCD=∠ADC，结合四边形内角和为360°，可推出该四边形可能是等腰梯形（等腰梯形同一底上的角相等），无法判定为平行四边形，故D错误。
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定、平行线的性质
【点评】本题考查平行四边形的判定，需熟练掌握平行四边形的定义及判定定理，注意区分易混淆四边形（如筝形、等腰梯形）的特征，通过推导排除错误选项，属于基础题型。
【难度系数】0.6

例4 如图1,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AB,CD$上,满足$DE// BF$。
(1)求证:四边形$BFDE$是平行四边形;
(2)如图2,连结$EF$,若$AD=13,AE=14,DE=DF=15$,求$EF$的长。

(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$，即$EB// DF$，
又∵ $DE// BF$，
∴ 四边形$BFDE$是平行四边形。
---
(2) 解：
过点$D$作$DG⊥ AB$于点$G$，设$EG=x$。
∵ $AE=14$，∴ $AG=AE-EG=14-x$。
在$\mathrm{Rt}△ ADG$中，$DG^2=AD^2-AG^2$，
在$\mathrm{Rt}△ EDG$中，$DG^2=DE^2-EG^2$，
∴ $AD^2-AG^2=DE^2-EG^2$，
代入$AD=13$，$DE=15$得：
$13^2-(14-x)^2=15^2-x^2$
解得$x=9$，即$EG=9$。
∴ $DG=\sqrt{DE^2-EG^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12$。
由(1)知四边形$BFDE$是平行四边形，
∴ $EB=DF=15$。
过点$F$作$FH⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$H$，
∵ $AB// CD$，∴ $FH=DG=12$，且$DG// FH$，
∴ 四边形$DGFH$是矩形，得$GH=DF=15$，
∴ $EH=GH-EG=15-9=6$。
在$\mathrm{Rt}△ EFH$中：
$EF=\sqrt{EH^2+FH^2}=\sqrt{6^2+12^2}=6\sqrt{5}$
最终$EF$的长为$6\sqrt{5}$。

【分析】
第(1)问要证明四边形BFDE是平行四边形，已知ABCD是平行四边形，可得AB//CD，即EB//DF，结合题目给出的DE//BF，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可完成证明；第(2)问求EF的长，需通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理先求出相关线段长度，再结合平行四边形的性质，再次构造直角三角形计算EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，即EB//DF，
又
∵ DE//BF，
∴ 四边形BFDE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
(2) 解：过点D作DG⊥AB于点G，设EG=x。
∵ AE=14，
∴ AG=AE - EG=14 - x。
在Rt△ADG中，DG² = AD² - AG²，
在Rt△EDG中，DG² = DE² - EG²，
∴ AD² - AG² = DE² - EG²，
代入AD=13，DE=15得：
13² - (14 - x)² = 15² - x²，
计算得：169 - (196 - 28x + x²) = 225 - x²，
整理得：-27 + 28x = 225，
解得x=9，即EG=9。
∴ DG = √(DE² - EG²) = √(15² - 9²) = 12。
由(1)知四边形BFDE是平行四边形，
∴ EB=DF=15。
过点F作FH⊥AB，交AB的延长线于点H，
∵ AB//CD，DG⊥AB，FH⊥AB，
∴ DG//FH，又DF//AB，
∴ 四边形DGFH是矩形，故GH=DF=15，
∴ EH=GH - EG=15 - 9=6。
在Rt△EFH中，EF=√(EH² + FH²)=√(6² + 12²)=6√5。
【答案】
6√5
【知识点】
平行四边形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题分两小问，第(1)问直接利用平行四边形判定定理，基础易证；第(2)问需构造直角三角形，结合勾股定理和平行四边形性质求解，关键是辅助线的添加，考查几何逻辑推理与计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6