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例1 在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的$(n-1)$个内角的和为β。若$β = α + 540°$，则$n=$。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】首先，回忆n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$；其次，明确∠A的外角α与∠A的关系：α是∠A的邻补角，故$∠A=180°-α$；再根据题意，n边形内角和等于∠A加上与∠A不相邻的内角和β，结合已知$β=α+540°$，代入后可消去未知的α，建立关于n的方程求解。
【解析】解：n边形的内角和为$(n-2)×180°$。
因为∠A的外角为α，所以$∠A = 180° - α$。
又因为n边形内角和 = ∠A + β，且已知$β = α + 540°$，代入得：
$(n-2)×180° = (180° - α) + (α + 540°)$
化简右边：$180° - α + α + 540° = 720°$
因此$(n-2)×180° = 720°$，解得$n - 2 = 4$，即$n = 6$。
【答案】6
【知识点】多边形内角和、多边形外角性质
【点评】本题考查多边形内角和公式的应用，核心是利用内角与外角的邻补关系，将已知条件转化为关于n的方程，消去未知量简化计算，属于基础题型。
【难度系数】0.5
【解析】解：n边形的内角和为$(n-2)×180°$。
因为∠A的外角为α，所以$∠A = 180° - α$。
又因为n边形内角和 = ∠A + β，且已知$β = α + 540°$，代入得：
$(n-2)×180° = (180° - α) + (α + 540°)$
化简右边：$180° - α + α + 540° = 720°$
因此$(n-2)×180° = 720°$，解得$n - 2 = 4$，即$n = 6$。
【答案】6
【知识点】多边形内角和、多边形外角性质
【点评】本题考查多边形内角和公式的应用，核心是利用内角与外角的邻补关系，将已知条件转化为关于n的方程，消去未知量简化计算，属于基础题型。
【难度系数】0.5
练1-1 已知n边形的内角和为$900°$,则n的值是 （）
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
B
解析
【分析】
本题已知n边形的内角和，求边数n，需利用多边形内角和公式解题。思路是先回忆n边形内角和公式，再根据题目给出的内角和数值列出关于n的方程，通过解方程求出n的值，最后对应选项选出答案。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形内角和 = (n - 2)×180°，已知该n边形内角和为900°，据此列方程：
(n - 2)×180° = 900°
解方程得：
n - 2 = 900°÷180° = 5
n = 5 + 2 = 7，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用，属于简单的代数计算题型，只要牢记公式并正确解方程就能得出结果，是多边形相关知识的基础题。
【难度系数】
0.9
本题已知n边形的内角和，求边数n，需利用多边形内角和公式解题。思路是先回忆n边形内角和公式，再根据题目给出的内角和数值列出关于n的方程，通过解方程求出n的值，最后对应选项选出答案。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形内角和 = (n - 2)×180°，已知该n边形内角和为900°，据此列方程：
(n - 2)×180° = 900°
解方程得：
n - 2 = 900°÷180° = 5
n = 5 + 2 = 7，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形内角和公式的基础应用，属于简单的代数计算题型，只要牢记公式并正确解方程就能得出结果，是多边形相关知识的基础题。
【难度系数】
0.9
练 1-2 若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是。
答案
解：设该多边形的边数为$n$。
多边形的内角和公式为$(n-2)·180°$，任意多边形的外角和为$360°$。
根据题意列方程：
$(n-2)×180° = 2×360°$
解得：
$n-2 = 4$
$n = 6$
该多边形的边数是$\boldsymbol{6}$。
多边形的内角和公式为$(n-2)·180°$，任意多边形的外角和为$360°$。
根据题意列方程：
$(n-2)×180° = 2×360°$
解得：
$n-2 = 4$
$n = 6$
该多边形的边数是$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】首先，需明确多边形的两个核心性质：多边形内角和公式为$(n-2)·180°$（$n$为边数），任意多边形的外角和固定为$360°$。题目中给出“内角和是外角和的两倍”这一等量关系，因此设该多边形的边数为$n$，通过代入公式列方程即可求解$n$的值。
【解析】设该多边形的边数为$n$。
1. 依据多边形内角和公式，内角和为$(n-2)·180°$，任意多边形外角和为$360°$；
2. 根据题意“内角和是外角和的两倍”，列方程：$(n-2)×180° = 2×360°$；
3. 解方程：计算右边得$2×360°=720°$，则$n-2 = 720°÷180°=4$，解得$n=6$。
【答案】6
【知识点】多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】本题是多边形相关的基础应用题，核心考查对内角和公式与外角和性质的掌握，解题关键是准确运用公式建立等量关系，属于巩固基础的常规题型。
【难度系数】0.8
【解析】设该多边形的边数为$n$。
1. 依据多边形内角和公式，内角和为$(n-2)·180°$，任意多边形外角和为$360°$；
2. 根据题意“内角和是外角和的两倍”，列方程：$(n-2)×180° = 2×360°$；
3. 解方程：计算右边得$2×360°=720°$，则$n-2 = 720°÷180°=4$，解得$n=6$。
【答案】6
【知识点】多边形内角和公式、多边形外角和定理
【点评】本题是多边形相关的基础应用题，核心考查对内角和公式与外角和性质的掌握，解题关键是准确运用公式建立等量关系，属于巩固基础的常规题型。
【难度系数】0.8
练2-1 如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC。若$AB=2,∠ACB=30°$,则BD的长是 （）
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{7}$
A.$2\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{7}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{7}$
答案
B
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质和直角三角形的相关知识：首先利用平行四边形对角线互相平分，将求BD转化为求BO；再通过直角三角形中30°角的性质和勾股定理，逐步计算出所需线段长度，最终得到BD的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴ AO = ½AC，BO = ½BD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ AB⊥AC，
∴ △ABC是直角三角形，∠BAC = 90°。
在Rt△ABC中，∠ACB = 30°，AB = 2，
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得BC = 2AB = 4。
由勾股定理，AC = √(BC² - AB²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3。
∴ AO = ½AC = ½×2√3 = √3。
在Rt△ABO中，∠BAO = 90°，AB = 2，AO = √3，
由勾股定理，BO = √(AB² + AO²) = √(2² + (√3)²) = √(4 + 3) = √7。
∴ BD = 2BO = 2×√7 = 2√7。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的对角线性质与直角三角形的核心定理，解题关键是通过平行四边形的性质简化计算目标，再结合直角三角形的30°角性质和勾股定理逐步推导，逻辑清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质和直角三角形的相关知识：首先利用平行四边形对角线互相平分，将求BD转化为求BO；再通过直角三角形中30°角的性质和勾股定理，逐步计算出所需线段长度，最终得到BD的长。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴ AO = ½AC，BO = ½BD（平行四边形的对角线互相平分）。
∵ AB⊥AC，
∴ △ABC是直角三角形，∠BAC = 90°。
在Rt△ABC中，∠ACB = 30°，AB = 2，
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得BC = 2AB = 4。
由勾股定理，AC = √(BC² - AB²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3。
∴ AO = ½AC = ½×2√3 = √3。
在Rt△ABO中，∠BAO = 90°，AB = 2，AO = √3，
由勾股定理，BO = √(AB² + AO²) = √(2² + (√3)²) = √(4 + 3) = √7。
∴ BD = 2BO = 2×√7 = 2√7。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的对角线性质与直角三角形的核心定理，解题关键是通过平行四边形的性质简化计算目标，再结合直角三角形的30°角性质和勾股定理逐步推导，逻辑清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.5
