例 40 有多少个因数？
我的解答

40有()个因数。

40的所有因数为1,2,4,5,8,10,20,40，共8个。

我的思考

分别列举出 $ 2^3 $ 的因数和 $ 5^1 $ 的因数。
$ 2^3 $ 的因数: $ 2^0,2^1,2^2,2^3 $,共$ (3+1) $个；
$ 5^1 $ 的因数: $ 5^0,5^1 $,共$ (1+1) $个。

根据上面的结果,40 的因数个数可以写成$ (\_\_\_\_\_\_ +1) × (\_\_\_\_\_\_ +1)= 4 × 2 = 8(\mathrm{个}) $。

40分解质因数为$40=2^3×5^1$，质因数2的指数是3，质因数5的指数是1，因此因数个数为$(3+1)×(1+1)=8$个。

我的验证

1. 验证12
12 = 2×2×3 = 2²×3
因数：1、2、3、4、6、12，共6个
(2+1)×(1+1) = 3×2 = 6
结果相等。
2. 验证18
18 = 2×3×3 = 2×3²
因数：1、2、3、6、9、18，共6个
(1+1)×(2+1) = 2×3 = 6
结果相等。
3. 验证30
30 = 2×3×5
因数：1、2、3、5、6、10、15、30，共8个
(1+1)×(1+1)×(1+1) = 2×2×2 = 8
结果相等。
答：一个大于0的自然数分解质因数后，将每个质因数的指数加1再相乘，所得的积就是这个数的因数总个数，验证成立。

(1)求 48 的因数个数逐个列举：
$48=2×2×2×2×3=2^{4}×3^{1}$
列表表示：

48 的因数个数为$(\quad +1)×(\quad +1)=(\quad )$(个)。
(2)求 216 的因数个数
逐个列举：
$216=\_\_\_\_\_\_ = (\quad )^{(\quad )}×(\quad )^{(\quad )}$
列表表示：
216 的因数个数为$(\quad +1)×(\quad +1)=(\quad )$(个)

(1)48的因数逐个列举为1,2,3,4,6,8,12,16,24,48，因数个数为$(4+1)×(1+1)=10$个。
(2)216的因数逐个列举为1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216，$216=2×2×2×3×3×3 = 2^3×3^3$，因数个数为$(3+1)×(3+1)=16$个。