例3 如图,在梯形ABCD中,E,F分别是腰AB,DC的中点,G,H是所在线段上的任意一点。请分别验证下面两个图形中涂色部分的面积是梯形面积的一半。

左图验证：
连接EF，
E、F分别是腰AB、DC的中点，EF平行于AD、BC，设梯形ABCD的高为h，
EF将原梯形分为上下两个小梯形AEFD、EBCF，两个小梯形的高都为$h÷2$。
$S_{△ EFG}=S_{\mathrm{梯形}AEFD}÷2$
$S_{△ EFH}=S_{\mathrm{梯形}EBCF}÷2$
涂色部分面积$=S_{△ EFG}+S_{△ EFH}=(S_{\mathrm{梯形}AEFD}+S_{\mathrm{梯形}EBCF})÷2=S_{\mathrm{梯形}ABCD}÷2$
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右图验证：
连接EF，
E、F分别是腰AB、DC的中点，EF平行于AD、BC，G到AD的垂直距离为$h÷2$，G到BC的垂直距离为$h÷2$。
$S_{△ AGD}=AD×(h÷2)÷2$
$S_{△ BGC}=BC×(h÷2)÷2$
涂色部分面积$=S_{△ AGD}+S_{△ BGC}=(AD+BC)× h÷4$
$S_{\mathrm{梯形}ABCD}=(AD+BC)× h÷2$
涂色部分面积$=S_{\mathrm{梯形}ABCD}÷2$
答：两个图形中涂色部分的面积都是梯形面积的一半。

我的思考
如图，连接GH，根据单腰中点的推导，易知三角形EHG的面积是梯形ABHG面积的（），三角形FHG的面积是梯形GHCD面积的（），所以涂色部分的面积是梯形ABCD面积的（）。
如图，将G点移动到与E点重合，根据单腰中点的推导，易知原图中涂色部分的面积 = 三角形AGD的面积 + 三角形BGC的面积 =（）的面积 +（）的面积 = 三角形DEC的面积 = 梯形ABCD面积的（）。

【我的思考】一半 一半 一半 三角形$AED$ 三角形$BEC$ 一半

梯形双腰中点和上底、下底上任意一点形成的四边形的面积是梯形面积的()；梯形双腰中点形成的线段(中线)与上底或下底平行，中线上一点与梯形四个顶点形成的两个三角形的面积和是梯形面积的()。

【我的总结】一半 一半

1. 下面各梯形(图中除点A,B,C,D以外,其余位于边上的点均为所在边的中点,梯形腰的中点连线与梯形的上、下底都平行)中,涂色部分的面积正好占整个梯形面积一半的有()个。


A.1
B.2
C.3
D.4

1. D
提示:题图①:在梯形ABCD中,点E,F分别是AD,BC的中点,所以梯形EDFB的面积是梯形ABCD面积的一半;
题图②:在梯形AGHD中,点E,J分别是AD,GH的中点,所以梯形AEJG的面积是梯形ADHG面积的一半,同理可知,梯形JHCF的面积是梯形GHCB面积的一半,所以梯形AEJG的面积+梯形JHCF的面积=梯形ADHG面积的一半+梯形GHCB面积的一半=梯形ADCB面积的一半;
题图③:连接BD,因为点E,H分别是AD,CD的中点,所以三角形BED是三角形BAD面积的一半,三角形DBH是三角形DBC面积的一半,所以四边形EDHB的面积是梯形ABCD的一半;
题图④:点E,G,F,H分别是梯形ABCD四边的中点,根据梯形双腰中点和上底、下底上任意一点形成的四边形的面积是梯形面积的一半,所以四边形EGFH的面积是梯形ABCD面积的一半,所以涂色部分面积是梯形ABCD面积的一半。
故选D。

2. 如图,在梯形ABCD中,E,F分别是腰AB,CD的中点,$S_{1}$和$S_{2}$的大小分别是8和18。求梯形ABCD的面积。

2. $(8+18)×2×2=104$
提示:点E,F分别是AB,CD的中点,AB,CD是梯形ABCD的腰,根据梯形双腰中点形成的线(中线)与上底或下底平行,中线上一点与梯形四个顶点形成的两个三角形的面积和是梯形面积的一半。涂色部分面积是梯形ABCD面积的一半,所以未涂色部分的面积也是梯形ABCD面积的一半,因为$S_1=S_3,S_2=S_4$,所以梯形ABCD面积的一半为$(8+18)×2$,所以梯形ABCD的面积是$(8+18)×2×2=104$。