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12.(真题·绍兴新昌)如图，$□ ABCD$的面积是32，点$E,G$在$AD$上，点$F,H$在$BC$上，且$EF// AB,GH// DC$，点$M,N$在$EF$上，点$P$在$GH$上，则阴影部分的面积是________。
答案
12.16
解析
【分析】
要解决这个问题，需先观察图形特征：平行四边形ABCD中，EF//AB，GH//DC，说明EF、GH将大平行四边形分割为多个小平行四边形。利用平行四边形的等积变换思路，可发现分散的阴影部分总面积等于平行四边形面积的一半，无需逐一计算各部分面积，简化解题过程。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，且EF//AB，GH//DC，因此AB//EF//GH//DC，AD//BC，图中被EF、GH分割出的图形均为平行四边形。
根据平行四边形的等积变换性质，图中所有阴影部分的面积之和等于平行四边形ABCD面积的一半。
已知平行四边形ABCD的面积是32，因此阴影部分的面积为 $ 32 ÷ 2 = 16 $。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换
【点评】
本题结合平行四边形的性质，通过等积变换简化计算，核心是发现阴影部分与平行四边形总面积的关系，无需复杂推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先观察图形特征：平行四边形ABCD中，EF//AB，GH//DC，说明EF、GH将大平行四边形分割为多个小平行四边形。利用平行四边形的等积变换思路，可发现分散的阴影部分总面积等于平行四边形面积的一半，无需逐一计算各部分面积，简化解题过程。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，且EF//AB，GH//DC，因此AB//EF//GH//DC，AD//BC，图中被EF、GH分割出的图形均为平行四边形。
根据平行四边形的等积变换性质，图中所有阴影部分的面积之和等于平行四边形ABCD面积的一半。
已知平行四边形ABCD的面积是32，因此阴影部分的面积为 $ 32 ÷ 2 = 16 $。
【答案】
16
【知识点】
平行四边形的性质，等积变换
【点评】
本题结合平行四边形的性质，通过等积变换简化计算，核心是发现阴影部分与平行四边形总面积的关系，无需复杂推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
13.(真题·杭州钱塘)如图,在$□ ABCD$中,BE平分$∠ ABC$交AD于点E。若$∠ AEB=32°$,则$∠ C$的度数是________。
答案
13.116°
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质与角平分线的定义推导角度。首先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，再结合角平分线算出∠ABC的度数，最后根据平行四边形邻角互补的性质求出∠C。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠ABC + ∠C = 180°（平行四边形邻角互补），
∴ ∠AEB = ∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
已知∠AEB=32°，因此∠EBC=32°。
又
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠EBC = 2×32°=64°，
∴ ∠C = 180° - ∠ABC = 180° - 64°=116°。
【答案】
116°
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义
【点评】
本题是平行四边形与角平分线的基础综合题，核心是利用平行线的内错角关系和角平分线的倍角关系，结合平行四边形邻角互补的性质求解，属于常规题型，需熟练掌握平行四边形的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质与角平分线的定义推导角度。首先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，再结合角平分线算出∠ABC的度数，最后根据平行四边形邻角互补的性质求出∠C。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠ABC + ∠C = 180°（平行四边形邻角互补），
∴ ∠AEB = ∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
已知∠AEB=32°，因此∠EBC=32°。
又
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABC = 2∠EBC = 2×32°=64°，
∴ ∠C = 180° - ∠ABC = 180° - 64°=116°。
【答案】
116°
【知识点】
平行四边形性质、角平分线定义
【点评】
本题是平行四边形与角平分线的基础综合题，核心是利用平行线的内错角关系和角平分线的倍角关系，结合平行四边形邻角互补的性质求解，属于常规题型，需熟练掌握平行四边形的基本性质。
【难度系数】
0.5
14.(真题·绍兴越城)一个多边形剪掉一个角后内角和为$360°$，则原多边形的边数为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
14.3或4或5
解析
【分析】首先利用多边形内角和公式求出剪掉一个角后多边形的边数；其次明确多边形剪掉一个角时，边数会出现三种变化情况（边数减少1、不变、增加1），据此反推原多边形的边数，避免漏解。
【解析】设剪掉一个角后所得多边形的边数为$ m $，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得：
$(m-2)×180° = 360°$，
解得$ m = 4 $，即剪掉一个角后是四边形。
接下来分析原多边形边数的三种情况：
1. 若沿相邻两个顶点剪掉一个角，原多边形边数比剪掉后的多1，此时原边数为$ 4 + 1 = 5 $；
2. 若沿一个顶点和对边上的点剪掉一个角，原多边形边数与剪掉后的相等，此时原边数为$ 4 $；
3. 若沿相邻两边上的非顶点剪掉一个角，原多边形边数比剪掉后的少1，此时原边数为$ 4 - 1 = 3 $。
综上，原多边形的边数为3或4或5。
【答案】3或4或5
【知识点】多边形内角和公式、多边形剪角的边数变化
【点评】本题核心是结合多边形内角和公式，掌握剪角后边数的三种变化，需全面考虑情况，防止漏解，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】设剪掉一个角后所得多边形的边数为$ m $，根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，可得：
$(m-2)×180° = 360°$，
解得$ m = 4 $，即剪掉一个角后是四边形。
接下来分析原多边形边数的三种情况：
1. 若沿相邻两个顶点剪掉一个角，原多边形边数比剪掉后的多1，此时原边数为$ 4 + 1 = 5 $；
2. 若沿一个顶点和对边上的点剪掉一个角，原多边形边数与剪掉后的相等，此时原边数为$ 4 $；
3. 若沿相邻两边上的非顶点剪掉一个角，原多边形边数比剪掉后的少1，此时原边数为$ 4 - 1 = 3 $。
综上，原多边形的边数为3或4或5。
【答案】3或4或5
【知识点】多边形内角和公式、多边形剪角的边数变化
【点评】本题核心是结合多边形内角和公式，掌握剪角后边数的三种变化，需全面考虑情况，防止漏解，属于基础应用题型。
【难度系数】0.5
15.(真题·宁波海曙)如图,在四边形ABCD中,BC=20cm,AD=8cm,AD//BC。点P,Q分别从A,C同时出发,点P以2cm/s的速度沿射线AD运动,点Q以1cm/s的速度由点C向点B运动,当点Q运动到点B时,两点均停止运动,设运动时间为ts,当t=
8/3或8
时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形。答案
15.8/3或8 解析:根据题意得:AP=2tcm,CQ=tcm,因为AD//BC,所以当PD=CQ时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形,分两种情况:当点P在线段AD上时,PD=(8-2t)cm,所以8-2t=t,解得:t=8/3,当点P在线段AD延长线上时,PD=(2t-8)cm,所以2t-8=t,解得:t=8,当t=8/3或t=8时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形,故答案为:8/3或8。
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知AD//BC，因此以P、Q、C、D为顶点的四边形中，PD与CQ平行，只需满足PD=CQ即可。由于点P沿射线AD运动，需分两种情况讨论：点P在线段AD上、点P在线段AD的延长线上，分别列方程求解，同时验证解的合理性（Q运动到B时停止，需保证t≤20）。
【解析】
根据题意，运动时间为t s时：
AP = 2t cm（点P速度2cm/s），CQ = t cm（点Q速度1cm/s）；
已知AD=8cm，AD//BC，故PD//CQ，要使四边形PDCQ为平行四边形，需PD=CQ，分两种情况：
1. 当点P在线段AD上时：
PD = AD - AP = (8 - 2t) cm，列方程：
8 - 2t = t
解得：t = 8/3，该值小于Q运动到B的时间（20÷1=20 s），符合题意；
2. 当点P在线段AD的延长线上时：
PD = AP - AD = (2t - 8) cm，列方程：
2t - 8 = t
解得：t = 8，该值小于20 s，符合题意。
综上，当t=8/3或t=8时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
【答案】
8/3或8
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题
【点评】
本题是动点型平行四边形问题，核心是利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形，需注意点P沿射线AD运动，存在两种位置情况，易因漏解出错，解题时要全面分类讨论，同时验证解的实际意义。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知AD//BC，因此以P、Q、C、D为顶点的四边形中，PD与CQ平行，只需满足PD=CQ即可。由于点P沿射线AD运动，需分两种情况讨论：点P在线段AD上、点P在线段AD的延长线上，分别列方程求解，同时验证解的合理性（Q运动到B时停止，需保证t≤20）。
【解析】
根据题意，运动时间为t s时：
AP = 2t cm（点P速度2cm/s），CQ = t cm（点Q速度1cm/s）；
已知AD=8cm，AD//BC，故PD//CQ，要使四边形PDCQ为平行四边形，需PD=CQ，分两种情况：
1. 当点P在线段AD上时：
PD = AD - AP = (8 - 2t) cm，列方程：
8 - 2t = t
解得：t = 8/3，该值小于Q运动到B的时间（20÷1=20 s），符合题意；
2. 当点P在线段AD的延长线上时：
PD = AP - AD = (2t - 8) cm，列方程：
2t - 8 = t
解得：t = 8，该值小于20 s，符合题意。
综上，当t=8/3或t=8时，以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形。
【答案】
8/3或8
【知识点】
平行四边形的判定；动点问题
【点评】
本题是动点型平行四边形问题，核心是利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形，需注意点P沿射线AD运动，存在两种位置情况，易因漏解出错，解题时要全面分类讨论，同时验证解的实际意义。
【难度系数】
0.6
16.(真题·宁波镇海)如图,在$□ ABCD$中,$AB=3$,$AD=5$,$∠ ABC=60°$,点$E,F$分别在线段$AD$,$BD$上,且$DE=DF$,连结$BE$,若$BE$平分$∠ AEF$,则$DE$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
16.7-√7 解析:如图,过点B作BH⊥DA交DA延长线于点H,过点B作BG//EF,交AH的延长线于点G,因为BE平分∠AEF,所以∠GEB=∠FEB,因为BG//EF,所以∠FEB=∠EBG,所以∠EBG=∠GEB,所以GB=GE,因为DE=DF,所以∠DEF=∠DFE,因为BG//EF,所以∠DGB=∠DBG,所以DG=DB,GE=BF=GB,因为∠ABC=60°,AB=3,所以∠BAH=60°,即∠ABH=30°。所以AH=1/2 AB=3/2,所以BH=√(AB²-AH²)=3√3/2,所以DH=AD+AH=5+3/2=13/2,所以Rt△BDH中,BD=√(BH²+DH²)=7,所以GH=DG-DH=7-13/2=1/2,所以在Rt△BGH中,GB=√(GH²+BH²)=√7,所以BF=GB=√7,所以DF=BD-BF=7-√7,所以DE=DF=7-√7,故答案为:7-√7。
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形性质、角平分线与平行线的性质，通过作辅助线构造等腰三角形，再用勾股定理计算线段长度。具体思路：1. 作BH⊥DA延长线，利用∠ABC=60°和AB=3，求出AH、BH；2. 计算DH，用勾股定理得BD；3. 作BG//EF，结合BE平分∠AEF推出等腰三角形，推导边的关系；4. 计算GB、BF，进而得DF，因DE=DF，求出DE。
【解析】
解：过点B作BH⊥DA交DA的延长线于点H，过点B作BG//EF，交AH的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAH=∠ABC=60°，
∵BH⊥AH，
∴∠ABH=30°，
∵AB=3，
∴AH=½AB=3/2，
由勾股定理得：BH=√(AB² - AH²)=√(3² - (3/2)²)= (3√3)/2，
∵AD=5，
∴DH=AD + AH=5 + 3/2=13/2，
在Rt△BDH中，BD=√(BH² + DH²)=√[( (3√3)/2 )² + (13/2)² ]=√[(27 + 169)/4 ]=7，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG//EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠GEB=∠EBG，
∴GB=GE，
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵BG//EF，
∴∠DGB=∠DFE，∠DBG=∠DEF，
∴∠DGB=∠DBG，
∴DG=DB=7，
∴GH=DG - DH=7 - 13/2=1/2，
在Rt△BGH中，GB=√(GH² + BH²)=√[(1/2)² + ( (3√3)/2 )² ]=√7，
易证BF=GB=√7，
∴DF=BD - BF=7 - √7，
又
∵DE=DF，
∴DE=7 - √7。
【答案】
7-√7
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过辅助线构造等腰三角形，结合角平分线、平行线的性质推导边的关系，再用勾股定理计算，对学生的辅助线构造和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，需结合平行四边形性质、角平分线与平行线的性质，通过作辅助线构造等腰三角形，再用勾股定理计算线段长度。具体思路：1. 作BH⊥DA延长线，利用∠ABC=60°和AB=3，求出AH、BH；2. 计算DH，用勾股定理得BD；3. 作BG//EF，结合BE平分∠AEF推出等腰三角形，推导边的关系；4. 计算GB、BF，进而得DF，因DE=DF，求出DE。
【解析】
解：过点B作BH⊥DA交DA的延长线于点H，过点B作BG//EF，交AH的延长线于点G。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BAH=∠ABC=60°，
∵BH⊥AH，
∴∠ABH=30°，
∵AB=3，
∴AH=½AB=3/2，
由勾股定理得：BH=√(AB² - AH²)=√(3² - (3/2)²)= (3√3)/2，
∵AD=5，
∴DH=AD + AH=5 + 3/2=13/2，
在Rt△BDH中，BD=√(BH² + DH²)=√[( (3√3)/2 )² + (13/2)² ]=√[(27 + 169)/4 ]=7，
∵BE平分∠AEF，
∴∠GEB=∠FEB，
∵BG//EF，
∴∠FEB=∠EBG，
∴∠GEB=∠EBG，
∴GB=GE，
∵DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∵BG//EF，
∴∠DGB=∠DFE，∠DBG=∠DEF，
∴∠DGB=∠DBG，
∴DG=DB=7，
∴GH=DG - DH=7 - 13/2=1/2，
在Rt△BGH中，GB=√(GH² + BH²)=√[(1/2)² + ( (3√3)/2 )² ]=√7，
易证BF=GB=√7，
∴DF=BD - BF=7 - √7，
又
∵DE=DF，
∴DE=7 - √7。
【答案】
7-√7
【知识点】
平行四边形性质、勾股定理、等腰三角形判定
【点评】
本题是几何综合题，核心是通过辅助线构造等腰三角形，结合角平分线、平行线的性质推导边的关系，再用勾股定理计算，对学生的辅助线构造和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
17.(真题·绍兴嵊州)如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AD$,$BC$上,且$∠ AEB=∠ CFD$。求证:四边形$BFDE$是平行四边形。
答案
17.证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠A=∠C,AB=CD,AD//BC,AD=BC,在△ABE和△CDF中,
{∠AEB=∠CFD,
∠A=∠C,
AB=CD,
所以△ABE≌△CDF(AAS),所以AE=CF,所以AD-AE=BC-CF,即DE=BF,又因为AD//BC,即DE//BF,所以四边形BFDE是平行四边形。
{∠AEB=∠CFD,
∠A=∠C,
AB=CD,
所以△ABE≌△CDF(AAS),所以AE=CF,所以AD-AE=BC-CF,即DE=BF,又因为AD//BC,即DE//BF,所以四边形BFDE是平行四边形。
解析
【分析】
要证明四边形BFDE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。已知四边形ABCD是平行四边形，具备对边平行且相等、对角相等的性质，结合已知∠AEB=∠CFD，可通过AAS证明△ABE≌△CDF，得到对应边AE=CF，再结合AD=BC推出DE=BF，同时由AD//BC得到DE//BF，从而满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴AD - AE = BC - CF，即DE=BF，
又
∵AD//BC，即DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，在△ABE和△CDF中，$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD\\∠A=∠C\\AB=CD\end{array} $，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，又
∵AD//BC，即DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与平行四边形的判定定理，解题关键是利用平行四边形的性质推导边和角的关系，通过全等三角形得到所需边相等，进而完成平行四边形的判定，注重基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明四边形BFDE是平行四边形，可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理。已知四边形ABCD是平行四边形，具备对边平行且相等、对角相等的性质，结合已知∠AEB=∠CFD，可通过AAS证明△ABE≌△CDF，得到对应边AE=CF，再结合AD=BC推出DE=BF，同时由AD//BC得到DE//BF，从而满足平行四边形的判定条件。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD \\∠A=∠C \\AB=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵AD=BC，
∴AD - AE = BC - CF，即DE=BF，
又
∵AD//BC，即DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，AD//BC，AD=BC，在△ABE和△CDF中，$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD\\∠A=∠C\\AB=CD\end{array} $，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，又
∵AD//BC，即DE//BF，
∴四边形BFDE是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，综合考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与平行四边形的判定定理，解题关键是利用平行四边形的性质推导边和角的关系，通过全等三角形得到所需边相等，进而完成平行四边形的判定，注重基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.6
