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7.(真题·台州椒江)如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$。$D$是斜边$AB$上的一点，过点$D$作$DE⊥ AC$，垂足为$E$，过点$E$作$EF// AB$，交$BC$于点$F$。设$CF=x$，$AD=y$，则$y$关于$x$的函数关系式为 ………………………………（
A.$y=4-x$
B.$y=4-2x$
C.$y=2-x$
D.$y=2-2x$
B
）A.$y=4-x$
B.$y=4-2x$
C.$y=2-x$
D.$y=2-2x$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决本题，首先利用含30°角的直角三角形性质求出Rt△ABC的边长；再结合EF//AB，得到△CEF的角度关系，用x表示出CE，进而得到AE；最后在Rt△ADE中，利用∠A=30°的余弦关系建立y与x的等式，化简得到函数关系式。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$。根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”，得$BC=\frac{1}{2}AB=2$；由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 因为$EF// AB$，所以$∠ CEF=∠ A=30°$，又$∠ C=90°$，故$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ CEF=30°$，$CF=x$，则$CE=CF·\cot30°=x·\sqrt{3}=\sqrt{3}x$。
3. 因此$AE=AC-CE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x=\sqrt{3}(2-x)$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE⊥AC$，$∠ A=30°$，根据余弦定义$\cos A=\frac{AE}{AD}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}(2-x)}{y}$，两边约去$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2-x}{y}$，交叉相乘化简得$y=4-2x$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质、平行线性质、三角函数
【点评】
本题结合直角三角形的性质和平行线的性质，通过角度关系推导线段长度，关键是利用30°角的直角三角形的边的关系建立等式，逐步推导函数关系式，需掌握相关几何性质和三角函数的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先利用含30°角的直角三角形性质求出Rt△ABC的边长；再结合EF//AB，得到△CEF的角度关系，用x表示出CE，进而得到AE；最后在Rt△ADE中，利用∠A=30°的余弦关系建立y与x的等式，化简得到函数关系式。
【解析】
1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=4$。根据“30°角所对直角边等于斜边的一半”，得$BC=\frac{1}{2}AB=2$；由勾股定理，$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
2. 因为$EF// AB$，所以$∠ CEF=∠ A=30°$，又$∠ C=90°$，故$\mathrm{Rt}△ CEF$中，$∠ CEF=30°$，$CF=x$，则$CE=CF·\cot30°=x·\sqrt{3}=\sqrt{3}x$。
3. 因此$AE=AC-CE=2\sqrt{3}-\sqrt{3}x=\sqrt{3}(2-x)$。
4. 在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE⊥AC$，$∠ A=30°$，根据余弦定义$\cos A=\frac{AE}{AD}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，代入得：$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}(2-x)}{y}$，两边约去$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}=\frac{2-x}{y}$，交叉相乘化简得$y=4-2x$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质、平行线性质、三角函数
【点评】
本题结合直角三角形的性质和平行线的性质，通过角度关系推导线段长度，关键是利用30°角的直角三角形的边的关系建立等式，逐步推导函数关系式，需掌握相关几何性质和三角函数的应用。
【难度系数】
0.5
8.(真题·宁波市南三县)如图，$□ ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，$∠ ADC=60°$，$∠ BAD$的平分线交$BC$于点$E$，连结$OE$。
若$∠ CAE=30°$，则下列结论：①$AB=\dfrac{1}{2}BC$；②$OE⊥ AC$；③$OB=OC$，正确的有 …………………………（
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
若$∠ CAE=30°$，则下列结论：①$AB=\dfrac{1}{2}BC$；②$OE⊥ AC$；③$OB=OC$，正确的有 …………………………（
A
）A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
8.A
解析
【分析】
要判断三个结论是否正确，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义，逐步推导角的度数，再利用等边三角形、直角三角形的性质分析各线段关系：首先根据平行四边形邻角互补求出∠BAD，结合角平分线得到∠BAE，再由平行线内错角相等判定△ABE为等边三角形；再结合已知∠CAE=30°，推出∠BAC=90°，利用直角三角形30°角的性质判断AB与BC的关系；再结合平行四边形对角线互相平分，分析OE与AC的位置关系，最后比较OB与OC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD + ∠ADC = 180°，O是AC、BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
已知∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-60°=120°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=120°÷2=60°。
又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=60°（内错角相等），
∴在△ABE中，∠BAE=∠AEB=60°，故△ABE是等边三角形，得AB=BE=AE。
已知∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE + ∠CAE=60°+30°=90°，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=∠ADC=60°（平行四边形对角相等），
∴∠ACB=30°，根据直角三角形中30°角对边是斜边的一半，得AB=½BC，故①正确。
∵AB=BE=½BC，
∴E是BC中点，又O是AC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AB，又
∵AB⊥AC（∠BAC=90°），
∴OE⊥AC，故②正确。
在Rt△ABC中，AC=√(BC² - AB²)=√((2AB)² - AB²)=√3 AB，
平行四边形中，BD² + AC²=2(AB² + BC²)，代入BC=2AB、AC=√3 AB，
得BD²=2(AB² +4AB²) - 3AB²=7AB²，
∴BD=√7 AB，
∵O是BD中点，
∴OB=½BD=(√7/2)AB，OC=½AC=(√3/2)AB，显然OB≠OC，故③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、等边三角形判定、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线、特殊三角形的相关知识，需逐步推导角度和线段关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是常见的几何综合题。
【难度系数】
0.5
要判断三个结论是否正确，需结合平行四边形的性质、角平分线的定义，逐步推导角的度数，再利用等边三角形、直角三角形的性质分析各线段关系：首先根据平行四边形邻角互补求出∠BAD，结合角平分线得到∠BAE，再由平行线内错角相等判定△ABE为等边三角形；再结合已知∠CAE=30°，推出∠BAC=90°，利用直角三角形30°角的性质判断AB与BC的关系；再结合平行四边形对角线互相平分，分析OE与AC的位置关系，最后比较OB与OC的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠BAD + ∠ADC = 180°，O是AC、BD的中点（平行四边形对角线互相平分）。
已知∠ADC=60°，
∴∠BAD=180°-60°=120°。
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=120°÷2=60°。
又
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB=60°（内错角相等），
∴在△ABE中，∠BAE=∠AEB=60°，故△ABE是等边三角形，得AB=BE=AE。
已知∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠BAE + ∠CAE=60°+30°=90°，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，∠ABC=∠ADC=60°（平行四边形对角相等），
∴∠ACB=30°，根据直角三角形中30°角对边是斜边的一半，得AB=½BC，故①正确。
∵AB=BE=½BC，
∴E是BC中点，又O是AC中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AB，又
∵AB⊥AC（∠BAC=90°），
∴OE⊥AC，故②正确。
在Rt△ABC中，AC=√(BC² - AB²)=√((2AB)² - AB²)=√3 AB，
平行四边形中，BD² + AC²=2(AB² + BC²)，代入BC=2AB、AC=√3 AB，
得BD²=2(AB² +4AB²) - 3AB²=7AB²，
∴BD=√7 AB，
∵O是BD中点，
∴OB=½BD=(√7/2)AB，OC=½AC=(√3/2)AB，显然OB≠OC，故③错误。
综上，正确的是①②，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形性质、等边三角形判定、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、角平分线、特殊三角形的相关知识，需逐步推导角度和线段关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求，是常见的几何综合题。
【难度系数】
0.5
9.(真题·杭州上城)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=60°,AB=2,H,G分别是边DC,BC上的动点,连结AH,HG,E为AH的中点,F为GH的中点,连结EF,则EF的最小值为（
A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
C
）A.1
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
9.C 解析:连结AG,因为E为AH的中点,F为GH的中点,所以EF=1/2 AG,所以当AG取最小值时,EF最小,当AG⊥BC时,AG最小。因为∠B=60°,AG⊥BC,所以∠BAG=30°,所以BG=1/2 AB=1,所以AG=√(AB²-BG²)=√(2²-1²)=√3,所以EF=1/2 AG=√3/2,所以EF的最小值为√3/2,故选:C。
解析
【分析】
要解决EF的最小值问题，首先利用三角形中位线定理将EF转化为AG的一半，因此EF的最小值等价于AG的最小值；再根据“垂线段最短”，确定AG的最小值是点A到BC的垂线段长度，最后结合直角三角形的性质计算AG的长度，进而求出EF的最小值。
【解析】
连接AG，
∵E为AH的中点，F为GH的中点，
∴根据三角形中位线定理，EF是△AGH的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$ AG，
∴当AG取最小值时，EF取得最小值。
根据“垂线段最短”，当AG⊥BC时，AG最小，此时AG是点A到BC的垂线段。
在Rt△ABG中，∠B=60°，AB=2，
∴∠BAG = 90° - 60° = 30°，
∴BG = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$×2 = 1，
由勾股定理得：AG = $\sqrt{AB^2 - BG^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$，
∴EF = $\frac{1}{2}$ AG = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即EF的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，直角三角形性质
【点评】
本题通过三角形中位线定理转化所求线段，结合垂线段最短确定最小值位置，再用直角三角形性质计算长度，是几何求线段最小值的典型题型，需掌握中位线的转化作用和垂线段最短的应用。
【难度系数】
0.5
要解决EF的最小值问题，首先利用三角形中位线定理将EF转化为AG的一半，因此EF的最小值等价于AG的最小值；再根据“垂线段最短”，确定AG的最小值是点A到BC的垂线段长度，最后结合直角三角形的性质计算AG的长度，进而求出EF的最小值。
【解析】
连接AG，
∵E为AH的中点，F为GH的中点，
∴根据三角形中位线定理，EF是△AGH的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$ AG，
∴当AG取最小值时，EF取得最小值。
根据“垂线段最短”，当AG⊥BC时，AG最小，此时AG是点A到BC的垂线段。
在Rt△ABG中，∠B=60°，AB=2，
∴∠BAG = 90° - 60° = 30°，
∴BG = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}$×2 = 1，
由勾股定理得：AG = $\sqrt{AB^2 - BG^2}$ = $\sqrt{2^2 - 1^2}$ = $\sqrt{3}$，
∴EF = $\frac{1}{2}$ AG = $\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即EF的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理，垂线段最短，直角三角形性质
【点评】
本题通过三角形中位线定理转化所求线段，结合垂线段最短确定最小值位置，再用直角三角形性质计算长度，是几何求线段最小值的典型题型，需掌握中位线的转化作用和垂线段最短的应用。
【难度系数】
0.5
10.(真题·绍兴嵊州)如图,平行四边形ABCD中,AB＞BC,∠DAB=45°,O是对角线AC的中点,点E在边CD上,连结OE,若CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的$\frac{1}{4}$,则要计算OE的长度,只需要知道 …………………………（
A.平行四边形的周长
B.边AB的长
C.边BC的长
D.对角线AC的长
C
）A.平行四边形的周长
B.边AB的长
C.边BC的长
D.对角线AC的长
答案
10.C 解析:取CD的中点F,连结OF,作OG⊥CD,因为平行四边形ABCD,所以AD=BC,AB//CD,所以∠BAD+∠ADC=180°,所以∠D=135°,设AD=BC=a,CD=b,则四边形ABCD的周长=2(a+b),CF=1/2 CD=1/2 b,因为CE的长度恰好是平行四边形ABCD周长的1/4,所以CE=1/2(a+b),所以EF=CE-CF=1/2 a,因为O是对角线AC的中点,F是CD的中点,所以OF为△ADC的中位线,所以OF//AD,OF=1/2 AD=1/2 a,所以∠OFD=180°-∠D=45°,因为OG⊥CD,所以△OGF为等腰直角三角形,所以FG=OG=√2/2 OF=√2/4 a,所以EG=EF-FG=1/2 a - √2/4 a = (2-√2)/4 a,在Rt△OEG中,OE=√(OG²+EG²)=√(2/16 a² + (6-4√2)/16 a²)=√(2-√2)/2 a,故只需要知道边BC或AD的长,即可求出OE的长;故答案为:C。
解析
【分析】要解决本题，需结合平行四边形的性质，通过构造辅助线（取CD中点F、作OG⊥CD），利用三角形中位线定理和直角三角形的性质，将OE的长度用某一边的长度表示，从而确定所需的已知量。首先设BC=a，CD=b，根据CE是周长的1/4得出CE的表达式，再结合中位线得到OF的长度，进而用a表示OE，最终判断所需的边。
【解析】
1. 取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD于G。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AB//CD，∠DAB+∠ADC=180°。已知∠DAB=45°，故∠ADC=135°，则∠OFD=180°-∠ADC=45°。
3. 设BC=AD=a，CD=AB=b，平行四边形周长为2(a+b)，由题意得CE=1/4×2(a+b)=1/2(a+b)。
4. 因为F是CD中点，所以CF=1/2 CD=1/2 b，因此EF=CE - CF=1/2(a+b)-1/2b=1/2a。
5. 又O是AC中点，F是CD中点，所以OF是△ADC的中位线，故OF//AD，OF=1/2 AD=1/2a。
6. 在Rt△OGF中，∠OFG=45°，所以OG=OF·sin45°=(1/2a)×√2/2=√2a/4，FG=OF·cos45°=√2a/4。
7. 则EG=EF - FG=1/2a - √2a/4=(2a - √2a)/4。
8. 在Rt△OEG中，OE=√(OG² + EG²)，代入计算：
OG²=(√2a/4)²=2a²/16=a²/8，
EG²=((2a - √2a)/4)²=(6a² -4√2a²)/16=(3a² -2√2a²)/8，
所以OG² + EG²=(a²/8)+(3a² -2√2a²)/8=(4a² -2√2a²)/8=(2a² -√2a²)/4，
故OE=√[(2 -√2)a²/4]=a×√(2 -√2)/2，可见OE仅与a（即BC的长）有关，因此只需知道边BC的长即可求出OE。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线、直角三角形性质
【点评】本题综合运用平行四边形、三角形中位线及直角三角形的相关知识，通过构造辅助线将未知线段OE转化为与已知边相关的表达式，考查学生的几何推理能力和参数思想，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】0.4
【解析】
1. 取CD的中点F，连接OF，作OG⊥CD于G。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD=BC，AB//CD，∠DAB+∠ADC=180°。已知∠DAB=45°，故∠ADC=135°，则∠OFD=180°-∠ADC=45°。
3. 设BC=AD=a，CD=AB=b，平行四边形周长为2(a+b)，由题意得CE=1/4×2(a+b)=1/2(a+b)。
4. 因为F是CD中点，所以CF=1/2 CD=1/2 b，因此EF=CE - CF=1/2(a+b)-1/2b=1/2a。
5. 又O是AC中点，F是CD中点，所以OF是△ADC的中位线，故OF//AD，OF=1/2 AD=1/2a。
6. 在Rt△OGF中，∠OFG=45°，所以OG=OF·sin45°=(1/2a)×√2/2=√2a/4，FG=OF·cos45°=√2a/4。
7. 则EG=EF - FG=1/2a - √2a/4=(2a - √2a)/4。
8. 在Rt△OEG中，OE=√(OG² + EG²)，代入计算：
OG²=(√2a/4)²=2a²/16=a²/8，
EG²=((2a - √2a)/4)²=(6a² -4√2a²)/16=(3a² -2√2a²)/8，
所以OG² + EG²=(a²/8)+(3a² -2√2a²)/8=(4a² -2√2a²)/8=(2a² -√2a²)/4，
故OE=√[(2 -√2)a²/4]=a×√(2 -√2)/2，可见OE仅与a（即BC的长）有关，因此只需知道边BC的长即可求出OE。
【答案】C
【知识点】平行四边形性质、三角形中位线、直角三角形性质
【点评】本题综合运用平行四边形、三角形中位线及直角三角形的相关知识，通过构造辅助线将未知线段OE转化为与已知边相关的表达式，考查学生的几何推理能力和参数思想，是一道中等难度的几何题。
【难度系数】0.4
11.(真题·金华永康)如图,在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板。如果光线与纸板右下方所成的∠1为$80°$,那么光线与纸板左上方所成的∠2的度数为
80
°。答案
11.80
解析
【分析】
要解决这个问题，需先观察图形特征：平行光线互相平行，插入的纸板对边也平行，因此∠1和∠2是两条平行线被纸板的边所截形成的内错角。根据平行线的性质，内错角相等，所以只需利用已知的∠1度数，即可求出∠2的度数。
【解析】
由题意可知，平行光线互相平行，纸板的对边平行，因此∠1与∠2是内错角。根据“两直线平行，内错角相等”的平行线性质，可得∠2 = ∠1。已知∠1 = 80°，所以∠2 = 80°。
【答案】
80
【知识点】
平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，核心是识别内错角并运用平行线的性质，解题思路清晰，属于基础题，主要考查学生对平行线基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先观察图形特征：平行光线互相平行，插入的纸板对边也平行，因此∠1和∠2是两条平行线被纸板的边所截形成的内错角。根据平行线的性质，内错角相等，所以只需利用已知的∠1度数，即可求出∠2的度数。
【解析】
由题意可知，平行光线互相平行，纸板的对边平行，因此∠1与∠2是内错角。根据“两直线平行，内错角相等”的平行线性质，可得∠2 = ∠1。已知∠1 = 80°，所以∠2 = 80°。
【答案】
80
【知识点】
平行线的性质（内错角相等）
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，核心是识别内错角并运用平行线的性质，解题思路清晰，属于基础题，主要考查学生对平行线基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.7
