18.(真题·嘉兴)如图,在$△ ABC$中,DE是一条中位线,连结BE,过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F。
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形。
(2)若$BF=4$,求BC的长。

18.(1)证明:因为DE是△ABC的中位线,所以DE//BC,又因为BE//DF,所以四边形BEDF是平行四边形。
(2)因为四边形BEDF是平行四边形,BF=4,所以DE=BF=4,因为DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE=8。

【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用平行四边形的判定定理结合三角形中位线的性质完成证明；第(2)问利用平行四边形的性质和三角形中位线定理计算线段长度。首先，三角形中位线平行于第三边，可得到DE与BC平行，结合已知的DF与BE平行，能证明四边形BEDF是平行四边形；再利用平行四边形对边相等得到DE的长度，最后根据中位线与第三边的关系求出BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC（三角形中位线平行于第三边），
又
∵ 点F在CB的延长线上，
∴ DE//BF，
已知DF//BE，
∴ 四边形BEDF的两组对边分别平行，根据平行四边形的判定定理，可得四边形BEDF是平行四边形。
(2) 解：由(1)知四边形BEDF是平行四边形，
∴ DE = BF（平行四边形对边相等），
∵ BF = 4，
∴ DE = 4，
又
∵ DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理，三角形的中位线等于第三边的一半，即DE = ½ BC，
∴ BC = 2DE = 2×4 = 8。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) BC的长为8。
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题综合考查三角形中位线定理和平行四边形的判定与性质，属于基础题型，需熟练掌握相关定理，理清图形中线段的平行、相等关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.5

19.(真题·舟山定海)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线BD上,且$BE=DF$。
(1)求证:$AE=CF$。
(2)求证:四边形AECF是平行四边形。

19.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=CD,AB//CD。所以∠ABE=∠CDF。在△ABE和△CDF中,
{AB=CD,
∠ABE=∠CDF,
BE=DF,
所以△ABE≌△CDF(SAS),所以AE=CF。
(2)证明:因为△ABE≌△CDF,所以∠AEB=∠CFD,所以∠AEF=∠CFE,所以AE//CF,因为AE=CF,所以四边形AECF是平行四边形。

【分析】
要解决这道题，第一问需证明AE=CF，结合平行四边形的性质可得到边和角的关系，结合已知BE=DF，用SAS证明三角形全等即可；第二问需证明四边形AECF是平行四边形，可利用第一问全等得到的角关系推出AE平行CF，再结合已证的AE=CF，根据平行四边形判定定理完成证明。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∴ ∠ABE=∠CDF（两直线平行，内错角相等）。
在△ABE和△CDF中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD \\∠ABE=∠CDF \\BE=DF\end{array} $
∴ △ABE≌△CDF（SAS），
∴ AE=CF（全等三角形对应边相等）。
(2) 证明：
由(1)中△ABE≌△CDF，得∠AEB=∠CFD，
∵ ∠AEB + ∠AEF = 180°，∠CFD + ∠CFE = 180°，
∴ ∠AEF=∠CFE（等角的补角相等），
∴ AE//CF（内错角相等，两直线平行），
又
∵ 已证AE=CF，
∴ 四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【答案】
(1) AE=CF，证明成立；(2) 四边形AECF是平行四边形，证明成立。
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定、平行四边形判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定定理，解题关键是利用平行四边形的性质推导边和角的关系，结合全等三角形完成后续证明，属于常规题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6

20.(真题·温州苍南)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的四边形称为格点四边形,在$6×6$的正方形方格纸中,点$A,B,O$均为格点(如图所示),按下列要求画格点四边形。

(1)请在图1中画一个平行四边形$ABCD$,使点$O$在它的一边上,且不与顶点重合。
(2)请在图2中画一个平行四边形$ABCD$,使点$O$在它的对角线上。

20.(1)画法不唯一,如图1。
(2)画法不唯一,如图2。

【分析】
本题为格点中平行四边形的作图题，需依据平行四边形的性质（对边平行且相等、对角线互相平分）进行作图。
(1) 要求点O在平行四边形的一边上且不与顶点重合，需结合格点的位置，确定A、B两点后，找到合适的C、D格点，使四边形ABCD满足平行四边形的判定，同时O落在某条边的中间位置，不与顶点重合；
(2) 要求点O在平行四边形的对角线上，利用平行四边形对角线互相平分的性质，找到格点D，使对角线经过O点，同时保证四边形ABCD是平行四边形。
【解析】
(1) 在图1中，根据格点的坐标特征，选取格点C、D，使得AB与CD平行且相等，AD与BC平行且相等，形成平行四边形ABCD，此时点O在平行四边形的某条边上，且不与顶点重合，画法不唯一；
(2) 在图2中，利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定格点D，使对角线BD经过点O，同时保证AB平行于CD、AD平行于BC，形成平行四边形ABCD，此时点O在对角线上，画法不唯一。
【答案】
20.(1) 画法不唯一，如图1；(2) 画法不唯一，如图2。
【知识点】
平行四边形的性质、格点作图
【点评】
本题考查格点中平行四边形的作图，核心是运用平行四边形的性质确定顶点位置，结合格点的特点完成作图，属于基础几何作图题，难度适中。
【难度系数】
0.5