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21.(真题·杭州拱墅)如图,在平行四边形 ABCD 中,BC＞AB,以点 C 为圆心,CD 为半径作弧,交边 BC 于点 E,连结 AE。
(1)求证:$∠ ADE=∠ CDE$。
(2)若 $AE⊥ BC,CE=5,BE=3$,求 $ED$ 的长。
第 21 题图
(1)求证:$∠ ADE=∠ CDE$。
(2)若 $AE⊥ BC,CE=5,BE=3$,求 $ED$ 的长。
第 21 题图
答案
21.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD//BC,所以∠ADE=∠CED,由作法可知,CD=CE,所以∠CDE=∠CED,所以∠ADE=∠CDE。
(2)因为CE=5,BE=3,所以BC=CE+BE=8,CD=CE=5,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC=8,AB=CD=5,AD//BC,因为AE⊥BC,所以∠AEB=∠DAE=90°,所以在Rt△ABE中,AE=√(AB²-BE²)=√(5²-3²)=4,所以在Rt△AED中,DE=√(AE²+AD²)=√(4²+8²)=4√5,所以ED的长为4√5。
(2)因为CE=5,BE=3,所以BC=CE+BE=8,CD=CE=5,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC=8,AB=CD=5,AD//BC,因为AE⊥BC,所以∠AEB=∠DAE=90°,所以在Rt△ABE中,AE=√(AB²-BE²)=√(5²-3²)=4,所以在Rt△AED中,DE=√(AE²+AD²)=√(4²+8²)=4√5,所以ED的长为4√5。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是证明角相等，需利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质推导；第(2)问是求线段长度，需结合平行四边形的边长关系、勾股定理计算。
第(1)问思路：先根据平行四边形对边平行，得到内错角∠ADE=∠CED，再由作图得CD=CE，利用等腰三角形等边对等角得∠CDE=∠CED，通过等量代换证明结论。
第(2)问思路：先由已知BE、CE算出BC，再利用平行四边形对边相等得到AD、AB、CD的长度，结合AE⊥BC，在Rt△ABE中用勾股定理算出AE，再根据AD//BC得∠DAE为直角，在Rt△AED中用勾股定理算出ED的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADE=∠CED。
由作法可知，CD=CE，
∴ △CDE是等腰三角形，∠CDE=∠CED，
∴ ∠ADE=∠CDE。
(2) 解：
∵ CE=5，BE=3，
∴ BC=BE+CE=3+5=8，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=8，AB=CD=CE=5，AD//BC，
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=∠DAE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB² - BE²)=√(5² - 3²)=√(25-9)=4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
DE=√(AE² + AD²)=√(4² + 8²)=√(16+64)=√80=4√5。
【答案】
4√5
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形的对边平行且相等的性质，结合等腰三角形等边对等角的关系推导角相等，再通过直角三角形的勾股定理计算线段长度，需注意直角的推导和边长的转换，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问是证明角相等，需利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质推导；第(2)问是求线段长度，需结合平行四边形的边长关系、勾股定理计算。
第(1)问思路：先根据平行四边形对边平行，得到内错角∠ADE=∠CED，再由作图得CD=CE，利用等腰三角形等边对等角得∠CDE=∠CED，通过等量代换证明结论。
第(2)问思路：先由已知BE、CE算出BC，再利用平行四边形对边相等得到AD、AB、CD的长度，结合AE⊥BC，在Rt△ABE中用勾股定理算出AE，再根据AD//BC得∠DAE为直角，在Rt△AED中用勾股定理算出ED的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADE=∠CED。
由作法可知，CD=CE，
∴ △CDE是等腰三角形，∠CDE=∠CED，
∴ ∠ADE=∠CDE。
(2) 解：
∵ CE=5，BE=3，
∴ BC=BE+CE=3+5=8，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=8，AB=CD=CE=5，AD//BC，
∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=∠DAE=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE=√(AB² - BE²)=√(5² - 3²)=√(25-9)=4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
DE=√(AE² + AD²)=√(4² + 8²)=√(16+64)=√80=4√5。
【答案】
4√5
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形的对边平行且相等的性质，结合等腰三角形等边对等角的关系推导角相等，再通过直角三角形的勾股定理计算线段长度，需注意直角的推导和边长的转换，属于中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
22.(真题·宁波市南三县)如图 1,已知线段 AB,BC,用无刻度的直尺和圆规作$□ ABCD$。以下是小颖的作法:如图 2,先作$∠ABC$的平分线 BM,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交BM于点 E,连结 AE 并延长,再以点 A 为圆心,BC 长为半径画弧,交射线 AE 于点 D,连结 AD,CD,则四边形 ABCD 为平行四边形。
(1)小颖的作法是否正确? 若正确,请给出证明。
(2)在图1中作一个与小颖不同方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明)。
(3)如图 3,在小颖的作法的条件下,连结 EC,若$∠BAD+∠BCE=180°,AB=4,BC=6$,求四边形 ABCD 的面积。
(1)小颖的作法是否正确? 若正确,请给出证明。
(2)在图1中作一个与小颖不同方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明)。
(3)如图 3,在小颖的作法的条件下,连结 EC,若$∠BAD+∠BCE=180°,AB=4,BC=6$,求四边形 ABCD 的面积。
答案
22.(1)小颖的作法正确。理由如下:由作图知:BM平分∠ABC,所以∠ABM=∠CBM,因为AE=AB,所以∠ABM=∠AEB,即∠AEB=∠CBM,所以AD//BC,因为AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2)如图1。解析:如图,以点C为圆心,AB为半径画圆弧,以点A为圆心,BC为半径画圆弧,两圆弧交于点D。根据作法可知AB=CD,AD=BC,由两组对边相等的四边形即可判定ABCD是平行四边形。
(3)如图2,过点A作AF⊥BC,过点E作EG⊥BC,由(1)知AE=AB=4,因为AD//BC,所以∠BAD+∠ABC=180°,因为∠BAD+∠BCE=180°,所以∠ABC=∠BCE,因为AF⊥BC,EG⊥BC,所以AF=EG,AF//EG,FG=AE=4,∠AFB=∠EGC,又因为∠ABC=∠BCE,所以△AFB≌△EGC,所以BF=CG,因为BC=6,所以BF=CG=1,所以由勾股定理得,AF=√(AB²-BF²)=√(4²-1²)=√15,所以S四边形ABCD=BC·AF=6√15。
解析
【分析】
本题分为三小问，(1)需根据作图步骤，利用角平分线、等腰三角形性质及平行四边形判定定理证明作法正确性；(2)需利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的方法作图；(3)需结合平行四边形性质、角度关系、全等三角形及勾股定理求高，进而计算平行四边形面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
由作图知，BM平分∠ABC，故∠ABE=∠CBE。
又因为以A为圆心AB长为半径画弧交BM于E，所以AE=AB，△ABE为等腰三角形，因此∠ABE=∠AEB。
由此可得∠AEB=∠CBE，根据“内错角相等，两直线平行”，得AD//BC。
再由作图知AD=BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故四边形ABCD是平行四边形，作法正确。
(2) 作图方法：以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，保留作图痕迹即可得到平行四边形ABCD（如图1）。
(3) 求四边形ABCD的面积：
过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G。
由(1)知AD//BC，故∠BAD + ∠ABC = 180°，又已知∠BAD + ∠BCE = 180°，因此∠ABC=∠BCE。
因为AD//BC，AE=AB=4，AD=BC=6，且AF⊥BC，EG⊥BC，所以AF//EG，四边形AFGE是矩形，故FG=AE=4，AF=EG。
在△AFB和△EGC中：∠AFB=∠EGC=90°，∠ABC=∠BCE，AF=EG，所以△AFB≌△EGC（AAS），得BF=CG。
已知BC=6，FG=4，故BF=(BC - FG)/2=(6-4)/2=1。
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=√(AB² - BF²)=√(4² -1²)=√15。
平行四边形ABCD的面积=底×高=BC×AF=6×√15=6√15。
【答案】
(1) 作法正确，证明如上；
(2) 作图见上述解析（保留作图痕迹）；
(3) 6√15
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的多种判定方法，以及几何定理的综合应用，需要学生掌握作图原理、角度关系推导及面积计算，具有一定综合性。
【难度系数】
0.5
本题分为三小问，(1)需根据作图步骤，利用角平分线、等腰三角形性质及平行四边形判定定理证明作法正确性；(2)需利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的方法作图；(3)需结合平行四边形性质、角度关系、全等三角形及勾股定理求高，进而计算平行四边形面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
由作图知，BM平分∠ABC，故∠ABE=∠CBE。
又因为以A为圆心AB长为半径画弧交BM于E，所以AE=AB，△ABE为等腰三角形，因此∠ABE=∠AEB。
由此可得∠AEB=∠CBE，根据“内错角相等，两直线平行”，得AD//BC。
再由作图知AD=BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，故四边形ABCD是平行四边形，作法正确。
(2) 作图方法：以点A为圆心，BC长为半径画弧；以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接AD、CD，保留作图痕迹即可得到平行四边形ABCD（如图1）。
(3) 求四边形ABCD的面积：
过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G。
由(1)知AD//BC，故∠BAD + ∠ABC = 180°，又已知∠BAD + ∠BCE = 180°，因此∠ABC=∠BCE。
因为AD//BC，AE=AB=4，AD=BC=6，且AF⊥BC，EG⊥BC，所以AF//EG，四边形AFGE是矩形，故FG=AE=4，AF=EG。
在△AFB和△EGC中：∠AFB=∠EGC=90°，∠ABC=∠BCE，AF=EG，所以△AFB≌△EGC（AAS），得BF=CG。
已知BC=6，FG=4，故BF=(BC - FG)/2=(6-4)/2=1。
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=√(AB² - BF²)=√(4² -1²)=√15。
平行四边形ABCD的面积=底×高=BC×AF=6×√15=6√15。
【答案】
(1) 作法正确，证明如上；
(2) 作图见上述解析（保留作图痕迹）；
(3) 6√15
【知识点】
平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的多种判定方法，以及几何定理的综合应用，需要学生掌握作图原理、角度关系推导及面积计算，具有一定综合性。
【难度系数】
0.5
