23. 如图,在四边形 ABCD 中,$AD// BC,AE⊥BC$于点 E,$CF⊥AB$于点 F,AE 与 CF 相交于点 G,连结 GD,已知$∠1=∠2$,$∠3=∠4$。
(1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形。
(2)若$AG=3,DG=5$,求 GE 的长。
(3)若 F 是 AB 的中点,连结 EF,求证:$DG⊥EF$。

23.(1)证明:因为∠1=∠AGF,∠1=∠2,所以∠2=∠AGF,又因为∠3=∠4,所以∠DCG=∠AFG,因为CF⊥AB,所以∠AFG=90°,所以∠DCG=∠AFG=90°,所以CF⊥CD,所以AB//CD,又AD//BC,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2)如图1,过点C作CH⊥DG,因为∠1=∠2,∠AEC=∠CHG=90°,CG=CG,所以△CGE≌△CGH,所以EG=GH,同理可证△ABE≌△DCH,所以AE=DH,设EG=x,则EG=GH=x,AE=3+x,DH=5-x,由DH=AE,得3+x=5-x,解得:x=1,所以GE的值为1。
(3)如图2,连结EF,AC,由(2)知:△CGE≌△CGH,所以EC=CH,△ABE≌△DCH,所以EB=CH,EB=EC,所以E为BC中点,又F是AB中点,所以EF是△ABC的中位线,所以EF//AC,因为F是AB中点,CF⊥AB,所以CF是AB的垂直平分线,所以AC=BC。因为E是BC中点,AE⊥BC,所以AC=AB,所以AB=BC=AC,△ABC为等边三角形,因为AB=CD,BC=AD,AB=BC=AC,所以△ADC也是等边三角形,所以∠B=60°,∠3=30°,又四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=∠B=60°,又因为∠4=∠3=30°,DA=DC,所以DG平分∠ADC,所以DG⊥AC,A,H,C在同一条直线上,因为EF//AC,所以DG⊥EF。

【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：
(1) 要证四边形ABCD是平行四边形，已知AD//BC，只需再证AB//CD。利用已知∠1=∠2，结合CF⊥AB的直角条件，可推出AB与CD都垂直于CF，故AB//CD，结合AD//BC即可得证。
(2) 求GE的长，通过构造辅助线：过C作CH⊥DG，利用角相等和公共边证△CGE≌△CGH，得GE=GH；再证△ABE≌△DCH，得AE=DH。设GE为未知数，根据AE与DH的等量关系列方程求解。
(3) 要证DG⊥EF，先由F是AB中点且CF⊥AB，得CF是AB的垂直平分线，推出AC=BC；再由E是BC中点且AE⊥BC，推出AB=AC，进而得到△ABC和△ADC为等边三角形，DG平分∠ADC且垂直于AC；结合EF是△ABC的中位线（EF//AC），即可得DG⊥EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1与∠AGF是对顶角，
∴ ∠1=∠AGF，
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2=∠AGF，
∵ CF⊥AB，
∴ ∠AFG=90°，
∵ ∠3=∠4，
∴ ∠DCG=∠AFG=90°，即CF⊥CD，
∴ AB//CD，
又
∵ AD//BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
(2) 解：
如图1，过点C作CH⊥DG于点H，
∵ ∠1=∠2，∠AEC=∠CHG=90°，CG=CG，
∴ △CGE≌△CGH（AAS），
∴ EG=GH，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，∠B=∠CDH，
又
∵ AE⊥BC，CH⊥DG，
∴ ∠AEB=∠CHD=90°，
∴ △ABE≌△DCH（AAS），
∴ AE=DH，
设EG=x，则AE=AG+EG=3+x，DH=DG-GH=5-x，
由AE=DH得：3+x=5-x，解得x=1，即GE=1。
(3) 证明：
如图2，连结EF、AC，
由(2)知△CGE≌△CGH，得CE=CH；由△ABE≌△DCH，得EB=CH，
∴ EB=EC，即E为BC中点，
∵ F是AB中点，
∴ EF是△ABC的中位线，故EF//AC，
∵ F是AB中点且CF⊥AB，
∴ CF是AB的垂直平分线，得AC=BC，
∵ E是BC中点且AE⊥BC，
∴ AE是BC的垂直平分线，得AB=AC，
∴ AB=BC=AC，△ABC为等边三角形，同理△ADC也为等边三角形，
∵ ∠3=∠4，
∴ DG平分∠ADC，等边三角形中角平分线垂直于对边，故DG⊥AC，
∵ EF//AC，
∴ DG⊥EF。
【答案】
(1) 四边形ABCD是平行四边形；
(2) GE的长为1；
(3) DG⊥EF；


【知识点】
平行四边形判定，全等三角形性质，等边三角形判定
【点评】
本题是平行四边形的综合几何题，结合全等三角形、垂直平分线、中位线等知识点，需通过构造辅助线推导边与角的关系，对学生的几何逻辑推理能力要求较高，能有效考查综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.3

24. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为平行四边形,O 为坐标原点,$A(2,2\sqrt{3}),C(-8,0)$,将平行四边形 OABC 绕点 A 逆时针旋转得到平行四边形 ADEF,点 D 在 AO 的延长线上,点 F 落在 x 轴正半轴上。

(1)证明:$△ AOF$是等边三角形。
(2)平行四边形 OABC 绕点 A 逆时针旋转$α$度$(0≤α≤180)$。AB 的对应线段为$A'B'$,点 C 的对应点为$C'$。
①直线$A'B'$与 y 轴交于点 P,若$△ AOP$为等腰三角形,求点 P 的坐标;
②对角线 AC 在旋转过程中设点$C'$坐标为$(m,n)$,当点$C'$到 x 轴的距离大于或等于$2\sqrt{3}$时,求 m 的范围。

24.(1)证明:如图1,过点A作AH⊥x轴于点H,因为A(2,2√3),所以OH=2,AH=2√3,所以AO=√(OH²+AH²)=4,由旋转的性质可得:AO=AF=4,所以OF=2OH=4,所以AO=AF=OF,所以△AOF是等边三角形。
(2)①设P(0,a),因为△AOP是等腰三角形,当AP=OP时,(2-0)²+(2√3 -a)²=a²,解得:a=4√3/3,所以P(0,4√3/3);当AO=OP时,OP=AO=4,所以P(0,-4)或(0,4);当AP=OA时,根据等腰三角形的性质可得a=2√3×2=4√3,所以P(0,4√3)。故△AOP为等腰三角形时,点P的坐标为(0,4√3/3)或(0,-4)或(0,4)或(0,4√3)。
②旋转过程中点C的对应点为C',C(-8,0),当点C'开始旋转,至C'在第三象限内到x轴的距离等于2√3时,如图2,作AH⊥x轴于点H,C'G⊥x轴于点G,交AB于点E,因为AH=2√3,HO=2,C'G=GE=2√3,所以CH=2+8=10,AC'=AC=√(10²+(2√3)²)=4√7,C'E=4√3,所以AE=√(AC'²-C'E²)=√((4√7)²-(4√3)²)=8,所以OG=8-2=6,此时m=-6;当点C'旋转到第四象限,C'到x轴的距离等于2√3时,如图3,同理可得:AE=8,所以m=OG=2+8=10;所以满足条件的m的取值范围是-6≤m≤10;当点C'旋转到第一象限,C'到x轴的距离等于2√3时,如图4,此时AC'=AC=4√7,所以m=OG=2+4√7;当点C'旋转180°时,因为C,C'关于点A对称,{ (m-8)/2=2, (n+0)/2=2√3, 解得{ m=12, n=4√3, 所以C'(12,4√3),故此时满足条件的m的取值范围是12≤m≤2+4√7;综上所述,当点C'到x轴的距离大于或等于2√3时,m的取值范围是-6≤m≤10或12≤m≤2+4√7。

【分析】
1. 第(1)问：要证明△AOF是等边三角形，需先通过坐标构造直角三角形，用勾股定理计算AO的长度；再结合旋转性质得AO=AF，利用平行四边形性质求OF的长度，最终证明三边相等，得出等边三角形。
2. 第(2)问①：△AOP为等腰三角形，需分三种情况讨论：AP=OP、AO=OP、AP=AO，设P(0,a)，利用两点间距离公式列方程求解，注意结合旋转角度范围排除不合理解。
3. 第(2)问②：点C'到x轴的距离为|n|，要求|n|≥2√3，需分析旋转过程中C'在不同象限的位置，利用旋转性质AC'=AC，结合勾股定理、坐标关系计算对应m的范围，需分类讨论C'在第三、四、一象限及旋转180°后的情况，避免漏解。
【解析】
(1) 证明：如图1，过点A作AH⊥x轴于点H，
∵A(2,2√3)，
∴OH=2，AH=2√3，
在Rt△AOH中，AO=√(OH²+AH²)=√(2²+(2√3)²)=4，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB//OC，AB=OC=8，
由旋转的性质得：AO=AF=4，
又
∵AH⊥OF，OH=2，
∴OF=2OH=4，
∴AO=AF=OF=4，故△AOF是等边三角形。
(2) ①设P(0,a)，A(2,2√3)，O(0,0)，
分三种情况讨论：
当AP=OP时：(2-0)²+(2√3 -a)²=a²，
展开得：4 + 12 -4√3 a +a² =a²，
化简得：16 -4√3 a=0，解得a=4√3/3，故P(0,4√3/3)；
当AO=OP时：OP=AO=4，即|a|=4，
∴a=4或a=-4，故P(0,4)或P(0,-4)；
当AP=AO时：AP=4，即(2-0)²+(2√3 -a)²=16，
展开得：4 +12 -4√3 a +a²=16，
化简得：a² -4√3 a=0，解得a=0（舍去，P与O重合）或a=4√3，故P(0,4√3)；
综上，P的坐标为(0,4√3/3)或(0,-4)或(0,4)或(0,4√3)。
② 先求AC的长度：C(-8,0)，A(2,2√3)，
AC=√[(2 - (-8))² + (2√3 -0)²]=√(10² + (2√3)²)=4√7，
点C'到x轴的距离为|n|，要求|n|≥2√3，分情况：
当C'在第三、四象限时，对应m范围：-6≤m≤10；
当C'在第一象限及旋转180°后，对应m范围：12≤m≤2+4√7；
综上，m的取值范围是-6≤m≤10或12≤m≤2+4√7。
【答案】
24.(1)证明：如图1，过点A作AH⊥x轴于点H，因为A(2,2√3)，所以OH=2，AH=2√3，所以AO=√(OH²+AH²)=4，由旋转的性质可得：AO=AF=4，所以OF=2OH=4，所以AO=AF=OF，所以△AOF是等边三角形。
(2)①设P(0,a)，因为△AOP是等腰三角形，当AP=OP时，(2-0)²+(2√3 -a)²=a²，解得:a=4√3/3，所以P(0,4√3/3);当AO=OP时，OP=AO=4，所以P(0,-4)或(0,4);当AP=OA时，根据等腰三角形的性质可得a=2√3×2=4√3，所以P(0,4√3)。故△AOP为等腰三角形时，点P的坐标为(0,4√3/3)或(0,-4)或(0,4)或(0,4√3)。
②旋转过程中点C的对应点为C',C(-8,0),当点C'开始旋转,至C'在第三象限内到x轴的距离等于2√3时,如图2,作AH⊥x轴于点H,C'G⊥x轴于点G,交AB于点E,因为AH=2√3,HO=2,C'G=GE=2√3,所以CH=2+8=10,AC'=AC=√(10²+(2√3)²)=4√7,C'E=4√3,所以AE=√(AC'²-C'E²)=√((4√7)²-(4√3)²)=8,所以OG=8-2=6,此时m=-6;当点C'旋转到第四象限,C'到x轴的距离等于2√3时,如图3,同理可得:AE=8,所以m=OG=2+8=10;所以满足条件的m的取值范围是-6≤m≤10;当点C'旋转到第一象限,C'到x轴的距离等于2√3时,如图4,此时AC'=AC=4√7,所以m=OG=2+4√7;当点C'旋转180°时,因为C,C'关于点A对称,{ (m-8)/2=2, (n+0)/2=2√3, 解得{ m=12, n=4√3, 所以C'(12,4√3),故此时满足条件的m的取值范围是12≤m≤2+4√7;综上所述,当点C'到x轴的距离大于或等于2√3时,m的取值范围是-6≤m≤10或12≤m≤2+4√7。
【知识点】
平行四边形性质、旋转性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是几何与平面坐标结合的综合题，考查平行四边形、旋转、等腰三角形的性质，需运用勾股定理、两点间距离公式求解，涉及分类讨论思想，对学生的综合分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3