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22.(改编)(7分)根据以下素材,完成探索任务。
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园ABCD,如图1所示是果园的平面图,其中AB=200m,BC=300m。准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为2xm,左右两条纵向道路的宽度都为xm,中间部分种植水果,出于货车通行等因素的考虑,道路宽度x不超过12m,且不小于5m。
素材2
如图2所示,该农户发现某一种草莓销售前景比较不错,经市场调查,草莓培育一年即可产果,若每平方米的草莓销售平均利润为100元,每月可销售5000m²的草莓。受天气原因,农户为了快速将草莓出手,决定降价,若每平方米草莓平均利润下调4元,每月可多销售500m²草莓,果园每月的承包费为2万元。
(1)【任务一】解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响。
①请直接写出纵向道路宽度x的取值范围；
②若中间种植的面积是44800m²,则路面设置的宽度是否符合要求？
(2)【任务二】解决果园种植的预期利润问题(总利润=销售利润－承包费)。
若农户预期一个月的总利润为55.2万元,则从让利购买草莓的客户角度考虑,每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
某农户承包了一块长方形果园ABCD,如图1所示是果园的平面图,其中AB=200m,BC=300m。准备在它的四周铺设道路,上下两条横向道路的宽度都为2xm,左右两条纵向道路的宽度都为xm,中间部分种植水果,出于货车通行等因素的考虑,道路宽度x不超过12m,且不小于5m。
素材2
如图2所示,该农户发现某一种草莓销售前景比较不错,经市场调查,草莓培育一年即可产果,若每平方米的草莓销售平均利润为100元,每月可销售5000m²的草莓。受天气原因,农户为了快速将草莓出手,决定降价,若每平方米草莓平均利润下调4元,每月可多销售500m²草莓,果园每月的承包费为2万元。
(1)【任务一】解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响。
①请直接写出纵向道路宽度x的取值范围；
②若中间种植的面积是44800m²,则路面设置的宽度是否符合要求？
(2)【任务二】解决果园种植的预期利润问题(总利润=销售利润－承包费)。
若农户预期一个月的总利润为55.2万元,则从让利购买草莓的客户角度考虑,每平方米草莓平均利润应该降价多少元？
答案
22.(1)①$5\le x\le12$;②由题意可得$(300-2x)(200-2× 2x)=44800$,解得$x=10$或$x=190$(舍去),因为$5\le x\le12$,所以路面设置的宽度符合要求。
(2)设每平方米草莓平均利润下调y元。由题意可得$(100-y)(5000+500× \frac{y}{4})-20000=552000$,解得$y=12$或$y=48$,因为从让利购买草莓的客户角度考虑,所以$y=48$,所以每平方米草莓平均利润应该降价48元。
(2)设每平方米草莓平均利润下调y元。由题意可得$(100-y)(5000+500× \frac{y}{4})-20000=552000$,解得$y=12$或$y=48$,因为从让利购买草莓的客户角度考虑,所以$y=48$,所以每平方米草莓平均利润应该降价48元。
解析
【分析】
首先，任务一①根据题目直接给出的道路宽度限制条件，可直接确定x的取值范围；任务一②需先明确中间种植区域的长和宽：左右纵向道路各宽x m，故中间区域的横向长度为果园AB边长度减去2x；上下横向道路各宽2x m，故中间区域的纵向长度为果园BC边长度减去2×2x，再结合种植面积列一元二次方程求解，最后判断解是否在取值范围内。任务二需设降价金额为y元，根据“每降4元多售500m²”表示出销量，再根据总利润=销售利润-承包费的关系列方程，结合“让利客户”的要求选择合适的解。
【解析】
(1)①由题目已知“道路宽度x不超过12m，且不小于5m”，直接得纵向道路宽度x的取值范围为$5\le x\le12$；
②中间种植区域的长为$(300 - 2×2x)=(300 - 4x)m$，宽为$(200 - 2x)m$，根据种植面积为44800m²，列方程：
$(300 - 4x)(200 - 2x)=44800$
展开整理得：$x² - 175x + 1900=0$，因式分解得$(x - 10)(x - 190)=0$，解得$x=10$或$x=190$（$x=190$不符合实际，舍去）。
因为$5\le10\le12$，所以路面设置的宽度符合要求。
(2)设每平方米草莓平均利润下调y元，根据题意，销量为$5000 + 500×\frac{y}{4}=5000 + 125y$ m²，总利润为销售利润减去每月承包费20000元，已知总利润为552000元，列方程：
$(100 - y)(5000 + 125y) - 20000=552000$
整理得：$y² - 60y + 576=0$，因式分解得$(y - 12)(y - 48)=0$，解得$y=12$或$y=48$。
从让利购买草莓的客户角度考虑，应选择降价更多的解，故$y=48$。
【答案】
(1)①$5\le x\le12$；②符合要求；(2)48元
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、利润问题
【点评】
本题结合实际场景，考查一元二次方程在几何面积和销售利润问题中的应用，解题关键是正确表示各量间的关系，需结合实际意义对解进行取舍，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.5
首先，任务一①根据题目直接给出的道路宽度限制条件，可直接确定x的取值范围；任务一②需先明确中间种植区域的长和宽：左右纵向道路各宽x m，故中间区域的横向长度为果园AB边长度减去2x；上下横向道路各宽2x m，故中间区域的纵向长度为果园BC边长度减去2×2x，再结合种植面积列一元二次方程求解，最后判断解是否在取值范围内。任务二需设降价金额为y元，根据“每降4元多售500m²”表示出销量，再根据总利润=销售利润-承包费的关系列方程，结合“让利客户”的要求选择合适的解。
【解析】
(1)①由题目已知“道路宽度x不超过12m，且不小于5m”，直接得纵向道路宽度x的取值范围为$5\le x\le12$；
②中间种植区域的长为$(300 - 2×2x)=(300 - 4x)m$，宽为$(200 - 2x)m$，根据种植面积为44800m²，列方程：
$(300 - 4x)(200 - 2x)=44800$
展开整理得：$x² - 175x + 1900=0$，因式分解得$(x - 10)(x - 190)=0$，解得$x=10$或$x=190$（$x=190$不符合实际，舍去）。
因为$5\le10\le12$，所以路面设置的宽度符合要求。
(2)设每平方米草莓平均利润下调y元，根据题意，销量为$5000 + 500×\frac{y}{4}=5000 + 125y$ m²，总利润为销售利润减去每月承包费20000元，已知总利润为552000元，列方程：
$(100 - y)(5000 + 125y) - 20000=552000$
整理得：$y² - 60y + 576=0$，因式分解得$(y - 12)(y - 48)=0$，解得$y=12$或$y=48$。
从让利购买草莓的客户角度考虑，应选择降价更多的解，故$y=48$。
【答案】
(1)①$5\le x\le12$；②符合要求；(2)48元
【知识点】
一元二次方程应用、长方形面积计算、利润问题
【点评】
本题结合实际场景，考查一元二次方程在几何面积和销售利润问题中的应用，解题关键是正确表示各量间的关系，需结合实际意义对解进行取舍，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.5
