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20.(7分)尺规作图:在矩形ABCD中,要求用直尺和圆规作菱形AECF,使点E,F分别在边AB,CD上。
小明:如图1所示,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2所示,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由(注:若全选,按第一种作答评分)。
小明:如图1所示,作AB的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。
小刚:如图2所示,连结AC,作AC的中垂线分别交AB,CD于点E,F,连结AF,CE。请选择一位同学的作法,判断是否正确,并说明理由(注:若全选,按第一种作答评分)。
答案
20.选择小刚的作法,作法正确。理由如下:设直线 EF 交 AC 于点 O,因为直线 EF 为线段 AC 的垂直平分线,所以$AE=CE$,$AF=CF$,$OA=OC$。因为四边形 ABCD 为矩形,所以$AB// CD$,所以$∠ EAO=∠ FCO$,$∠ AEO=∠ CFO$,所以$△ AOE ≌ △ COF$(AAS),所以$CF=AE$,所以$AE=CE=AF=CF$,所以四边形 AECF 为菱形,故小刚的作法正确。
选择小明的作法,作法不正确。理由如下:因为直线 EF 为线段 AB 的垂直平分线,所以$AE=BE$,因为四边形 ABCD 为矩形,所以$∠ ABC=90°$,在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,斜边长大于直角边长,即$EC＞BE$,所以$EC＞AE$,所以四边形 AECF 不可能为菱形,故小明的作法不正确。
选择小明的作法,作法不正确。理由如下:因为直线 EF 为线段 AB 的垂直平分线,所以$AE=BE$,因为四边形 ABCD 为矩形,所以$∠ ABC=90°$,在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,斜边长大于直角边长,即$EC＞BE$,所以$EC＞AE$,所以四边形 AECF 不可能为菱形,故小明的作法不正确。
解析
【分析】要判断两位同学的作法是否正确，需结合菱形的判定定理，利用线段垂直平分线的性质、矩形的性质进行推理。对于小刚的作法，利用AC的中垂线性质得到线段相等，再结合矩形对边平行证明三角形全等，进而推导四边相等，判定菱形；对于小明的作法，利用AB的中垂线性质和直角三角形斜边大于直角边的性质，推导无法满足菱形四边相等的条件，从而判断作法错误。
【解析】选择小刚的作法，作法正确。理由如下：设直线EF交AC于点O，因为直线EF是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得AE=CE，AF=CF，OA=OC。又因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，故∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，所以△AOE≌△COF（AAS），因此CF=AE，所以AE=CE=CF=AF，即四边形AECF的四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可知四边形AECF为菱形，故小刚的作法正确。
若选择小明的作法，作法不正确。理由如下：因为直线EF是线段AB的垂直平分线，所以AE=BE。又因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，在Rt△BCE中，根据直角三角形斜边大于直角边，得EC＞BE，所以EC＞AE，因此四边形AECF的四条边不可能相等，故小明的作法不正确。
【答案】选择小刚的作法，作法正确；选择小明的作法，作法不正确。
【知识点】菱形的判定、垂直平分线的性质、矩形的性质
【点评】本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需要熟练运用线段垂直平分线的性质、矩形的性质和菱形的判定定理，注重逻辑推理能力的考查，是一道基础几何综合题。
【难度系数】0.5
【解析】选择小刚的作法，作法正确。理由如下：设直线EF交AC于点O，因为直线EF是线段AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得AE=CE，AF=CF，OA=OC。又因为四边形ABCD是矩形，所以AB//CD，故∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，所以△AOE≌△COF（AAS），因此CF=AE，所以AE=CE=CF=AF，即四边形AECF的四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可知四边形AECF为菱形，故小刚的作法正确。
若选择小明的作法，作法不正确。理由如下：因为直线EF是线段AB的垂直平分线，所以AE=BE。又因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°，在Rt△BCE中，根据直角三角形斜边大于直角边，得EC＞BE，所以EC＞AE，因此四边形AECF的四条边不可能相等，故小明的作法不正确。
【答案】选择小刚的作法，作法正确；选择小明的作法，作法不正确。
【知识点】菱形的判定、垂直平分线的性质、矩形的性质
【点评】本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需要熟练运用线段垂直平分线的性质、矩形的性质和菱形的判定定理，注重逻辑推理能力的考查，是一道基础几何综合题。
【难度系数】0.5
21.(7分)已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。
(1)若方程的一个根为2,求$\frac{2b+c}{a}$的值。
(2)当$b-ac=1$时,求证:方程有两个实数根。
(1)若方程的一个根为2,求$\frac{2b+c}{a}$的值。
(2)当$b-ac=1$时,求证:方程有两个实数根。
答案
21.(1)把$x=2$代入,得$4a+2b+c=0$,则$2b+c=-4a$,因此$\frac{2b+c}{a}=\frac{-4a}{a}=-4$。
(2)证明:因为$b-ac=1$,所以$ac=b-1$,所以$b^2-4ac=b^2-4(b-1)=b^2-4b+4=(b-2)^2\ge0$,所以方程有两个实数根。
(2)证明:因为$b-ac=1$,所以$ac=b-1$,所以$b^2-4ac=b^2-4(b-1)=b^2-4b+4=(b-2)^2\ge0$,所以方程有两个实数根。
解析
【分析】
第(1)问根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到a、b、c的关系式，通过等式变形即可求出目标分式的值；第(2)问要证明方程有两个实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，结合已知条件b-ac=1，将ac用含b的式子替换后代入判别式，化简后判断其非负性即可。
【解析】
(1) 把x=2代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，得：
$4a + 2b + c = 0$，
移项可得：$2b + c = -4a$，
因为$a≠0$，所以$\frac{2b+c}{a} = \frac{-4a}{a} = -4$。
(2) 证明：已知$b - ac = 1$，则$ac = b - 1$，
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
将$ac = b - 1$代入得：
$\Delta = b^2 - 4(b - 1) = b^2 - 4b + 4 = (b - 2)^2$，
因为任何数的平方都非负，即$(b - 2)^2 ≥ 0$，所以$\Delta ≥ 0$，
故方程有两个实数根。
【答案】
(1) -4；(2) 方程有两个实数根，证明见解析。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，解题思路清晰，步骤明确，属于基础题型，主要考察学生对根的定义和判别式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
第(1)问根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到a、b、c的关系式，通过等式变形即可求出目标分式的值；第(2)问要证明方程有两个实数根，需利用一元二次方程根的判别式Δ=b²-4ac，结合已知条件b-ac=1，将ac用含b的式子替换后代入判别式，化简后判断其非负性即可。
【解析】
(1) 把x=2代入一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，得：
$4a + 2b + c = 0$，
移项可得：$2b + c = -4a$，
因为$a≠0$，所以$\frac{2b+c}{a} = \frac{-4a}{a} = -4$。
(2) 证明：已知$b - ac = 1$，则$ac = b - 1$，
一元二次方程根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，
将$ac = b - 1$代入得：
$\Delta = b^2 - 4(b - 1) = b^2 - 4b + 4 = (b - 2)^2$，
因为任何数的平方都非负，即$(b - 2)^2 ≥ 0$，所以$\Delta ≥ 0$，
故方程有两个实数根。
【答案】
(1) -4；(2) 方程有两个实数根，证明见解析。
【知识点】
一元二次方程根的定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，解题思路清晰，步骤明确，属于基础题型，主要考察学生对根的定义和判别式的掌握情况。
【难度系数】
0.6
