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三、解答题(共52分)
17.(8分)(1)计算:$\sqrt{6}×\sqrt{2}-\sqrt{6}÷\sqrt{2}$。
(2)解方程:$3x^2+6x=0$。
17.(8分)(1)计算:$\sqrt{6}×\sqrt{2}-\sqrt{6}÷\sqrt{2}$。
(2)解方程:$3x^2+6x=0$。
答案
17.(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
(2)$3x(x+2)=0$,$x=0$或$x+2=0$,则$x_1=0$,$x_2=-2$。
(2)$3x(x+2)=0$,$x=0$或$x+2=0$,则$x_1=0$,$x_2=-2$。
解析
【分析】
本题包含两小题，第(1)小题是二次根式的混合运算，需运用二次根式的乘除法则分别计算后合并同类二次根式；第(2)小题是一元二次方程，采用因式分解法，通过提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再求解。
【解析】
(1) 根据二次根式乘除法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），计算得：
原式$=\sqrt{6×2}-\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
(2) 对一元二次方程左边提取公因式$3x$，得：
$3x(x+2)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$3x=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
【答案】
17.(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；(2)$3x(x+2)=0$，$x=0$或$x+2=0$，则$x_1=0$，$x_2=-2$。
【知识点】
二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查初中数学基础运算，涵盖二次根式的乘除法则和一元二次方程的因式分解解法，属于核心基础题型，学生需熟练掌握相关法则与方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题包含两小题，第(1)小题是二次根式的混合运算，需运用二次根式的乘除法则分别计算后合并同类二次根式；第(2)小题是一元二次方程，采用因式分解法，通过提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再求解。
【解析】
(1) 根据二次根式乘除法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），计算得：
原式$=\sqrt{6×2}-\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
(2) 对一元二次方程左边提取公因式$3x$，得：
$3x(x+2)=0$，
根据“若两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”，可得：
$3x=0$或$x+2=0$，
解得$x_1=0$，$x_2=-2$。
【答案】
17.(1)原式$=2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；(2)$3x(x+2)=0$，$x=0$或$x+2=0$，则$x_1=0$，$x_2=-2$。
【知识点】
二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查初中数学基础运算，涵盖二次根式的乘除法则和一元二次方程的因式分解解法，属于核心基础题型，学生需熟练掌握相关法则与方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
18.(7 分)如图,AC 为四边形 ABCD 的对角线,已知 $AB // CD$,$∠ ACB=∠ CAD$。
(1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形。
(2)E,F 分别为 AB,AC 的中点,连结 EF。若 $AD=6$,求 EF的长。
(1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形。
(2)E,F 分别为 AB,AC 的中点,连结 EF。若 $AD=6$,求 EF的长。
答案
18.(1)证明:因为$∠ ACB=∠ CAD$,所以$AD// BC$。因为$AB// CD$,所以四边形 ABCD 是平行四边形。
(2)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以$BC=AD=6$。因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 EF 是$△ ABC$的中位线,所以$EF=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
(2)因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以$BC=AD=6$。因为 E,F 分别为 AB,AC 的中点,所以 EF 是$△ ABC$的中位线,所以$EF=\frac{1}{2} BC=\frac{1}{2} × 6=3$。
解析
【分析】
要解决本题，分两小问逐步推导：（1）证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，需再证AD//BC，利用∠ACB=∠CAD这一条件，结合“内错角相等，两直线平行”推出AD//BC，根据平行四边形定义完成证明；（2）求EF的长度，由平行四边形对边相等得BC=AD，再根据E、F是AB、AC中点，确定EF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理计算EF的长。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠ACB=∠CAD（已知），
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ AB//CD（已知），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=6（平行四边形的对边相等）。
∵ E，F分别为AB，AC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=½BC=½×6=3（三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半）。
【答案】
（1）四边形ABCD是平行四边形；（2）EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的判定，三角形中位线定理，平行线的判定
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理的基础应用，属于常规几何题，熟练掌握相关定理即可解答。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两小问逐步推导：（1）证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB//CD，需再证AD//BC，利用∠ACB=∠CAD这一条件，结合“内错角相等，两直线平行”推出AD//BC，根据平行四边形定义完成证明；（2）求EF的长度，由平行四边形对边相等得BC=AD，再根据E、F是AB、AC中点，确定EF是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理计算EF的长。
【解析】
（1）证明：
∵ ∠ACB=∠CAD（已知），
∴ AD//BC（内错角相等，两直线平行）。
又
∵ AB//CD（已知），
∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
（2）解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC=AD=6（平行四边形的对边相等）。
∵ E，F分别为AB，AC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，
∴ EF=½BC=½×6=3（三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半）。
【答案】
（1）四边形ABCD是平行四边形；（2）EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的判定，三角形中位线定理，平行线的判定
【点评】
本题考查平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理的基础应用，属于常规几何题，熟练掌握相关定理即可解答。
【难度系数】
0.6
19.(7分)某校举行班容班貌评比活动,以班级为单位,评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目,三个班级各项目得分见下表。
单位:分
(1)已知A,B两班的平均分分别是91分、92分,通过计算指出三个班级中哪个班级的平均分最高。
(2)若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按$2:2:1$的比例计算总成绩,此时A,B班的总成绩分别为90.6分和92.6分,求C班的总成绩,并根据总成绩从高到低给出班级排名。
单位:分
(1)已知A,B两班的平均分分别是91分、92分,通过计算指出三个班级中哪个班级的平均分最高。
(2)若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按$2:2:1$的比例计算总成绩,此时A,B班的总成绩分别为90.6分和92.6分,求C班的总成绩,并根据总成绩从高到低给出班级排名。
答案
19.(1)C班的平均分为$\frac{89+94+96}{3}=93$(分)。因为$93＞92＞91$,所以C班的平均分最高。
(2)C班的总成绩为$\frac{89× 2+94× 2+96× 1}{2+2+1}=92.4$(分),因为$92.6＞92.4＞90.6$,所以根据总成绩从高到低给出班级排名顺序为B班、C班、A班。
(2)C班的总成绩为$\frac{89× 2+94× 2+96× 1}{2+2+1}=92.4$(分),因为$92.6＞92.4＞90.6$,所以根据总成绩从高到低给出班级排名顺序为B班、C班、A班。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需计算C班的平均分，再与已知的A、B班平均分比较，找出最高的；第(2)问需按给定比例计算C班的加权总成绩，再结合已知的A、B班总成绩进行排名。解题关键是明确平均分是算术平均数，加权总成绩需按权重计算。
【解析】
(1) 计算C班的平均分：
C班三个项目得分分别为89分、94分、96分，根据算术平均数公式，C班平均分为：
$\frac{89 + 94 + 96}{3} = \frac{279}{3} = 93$（分）
已知A班平均分91分，B班平均分92分，比较得$93＞92＞91$，因此C班的平均分最高。
(2) 计算C班的加权总成绩：
权重比例为$2:2:1$，总权重为$2+2+1=5$，根据加权平均数公式，C班总成绩为：
$\frac{89×2 + 94×2 + 96×1}{5} = \frac{178 + 188 + 96}{5} = \frac{462}{5} = 92.4$（分）
已知A班总成绩90.6分，B班总成绩92.6分，比较得$92.6＞92.4＞90.6$，因此班级排名从高到低为B班、C班、A班。
【答案】
(1) C班的平均分最高；(2) C班的总成绩为92.4分，班级排名为B班、C班、A班。
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题是统计中平均数的基础应用题，分别考查算术平均数和加权平均数的计算，需准确掌握公式，注意加权平均数的权重处理，难度较低，属于必得分题型。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，第(1)问需计算C班的平均分，再与已知的A、B班平均分比较，找出最高的；第(2)问需按给定比例计算C班的加权总成绩，再结合已知的A、B班总成绩进行排名。解题关键是明确平均分是算术平均数，加权总成绩需按权重计算。
【解析】
(1) 计算C班的平均分：
C班三个项目得分分别为89分、94分、96分，根据算术平均数公式，C班平均分为：
$\frac{89 + 94 + 96}{3} = \frac{279}{3} = 93$（分）
已知A班平均分91分，B班平均分92分，比较得$93＞92＞91$，因此C班的平均分最高。
(2) 计算C班的加权总成绩：
权重比例为$2:2:1$，总权重为$2+2+1=5$，根据加权平均数公式，C班总成绩为：
$\frac{89×2 + 94×2 + 96×1}{5} = \frac{178 + 188 + 96}{5} = \frac{462}{5} = 92.4$（分）
已知A班总成绩90.6分，B班总成绩92.6分，比较得$92.6＞92.4＞90.6$，因此班级排名从高到低为B班、C班、A班。
【答案】
(1) C班的平均分最高；(2) C班的总成绩为92.4分，班级排名为B班、C班、A班。
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题是统计中平均数的基础应用题，分别考查算术平均数和加权平均数的计算，需准确掌握公式，注意加权平均数的权重处理，难度较低，属于必得分题型。
【难度系数】
0.7
