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23.(9分)如图1所示,在正方形ABCD中,点E在AB的延长线上,连结CE,过点A作AF⊥CE于点F,分别交对角线BD和边BC于点G,H。
(1)求证:BE=BH。
(2)如图2所示,连结CG,EG,已知BD=2,设BH=x,AE=y。
①求y关于x的函数表达式;
②当$x=2-\sqrt{2}$时,求四边形BECG的面积。
(1)求证:BE=BH。
(2)如图2所示,连结CG,EG,已知BD=2,设BH=x,AE=y。
①求y关于x的函数表达式;
②当$x=2-\sqrt{2}$时,求四边形BECG的面积。
答案
23.(1)证明:在正方形ABCD中,$AB=BC$,$∠ ABC=90°$,所以$∠ CBE=∠ ABC=90°$,所以$∠ BCE+∠ BEC=90°$。因为$AF⊥ CE$,所以$∠ BAH+∠ BEC=90°$,所以$∠ BAH=∠ BCE$,所以$△ BAH ≌ △ BCE$(ASA),所以$BE=BH$。
(2)①因为四边形ABCD是正方形,所以$AD=AB$,$∠ DAB=90°$,$∠ CBD=45°$。因为$BD=2$,所以$AD=AB=\sqrt{2}$。因为$AE=AB+BE$,所以$y=\sqrt{2}+x$;②如图,连结AC交BD于点O,因为四边形ABCD是正方形,所以$AC=BD=2$。$AC⊥ BD$,$OC=\frac{1}{2} AC=1$,当$x=2-\sqrt{2}$时,$y=\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=2$,所以$AE=AC=2$。因为$AF⊥ CE$,所以$∠ CAF=∠ EAF=\frac{1}{2} ∠ BAC=22.5°$,所以$∠ BGH=45°+22.5°=67.5°$,$∠ BHG=90°-22.5°=67.5°$,所以$∠ BGH=∠ BHG$,所以$BG=BH=2-\sqrt{2}$,所以四边形BECG的面积$=S_{△ BCG}+S_{△ CBE}=\frac{1}{2} · BG · OC +\frac{1}{2} BE · CB=\frac{1}{2}(2-\sqrt{2})× 1 +\frac{1}{2}× \sqrt{2} ×(2-\sqrt{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
本题为正方形的几何综合题，第(1)问要证线段相等，可通过证明三角形全等实现：利用正方形的直角性质和垂直关系推导角相等，找到△BAH与△BCE全等的条件；第(2)问①中，先由正方形对角线长度求出边长，结合BE=BH=x，通过线段和建立函数关系；②中，代入x求AE，再利用正方形对角线性质和角的关系求出BG，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和计算。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CBE=∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ BCE+∠ BEC=90°$。
$\because AF⊥ CE$，$\therefore ∠ AFE=90°$，$\therefore ∠ BAH+∠ BEC=90°$，$\therefore ∠ BAH=∠ BCE$。
在$△ BAH$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ BAH=∠ BCE \\AB=BC \\∠ ABH=∠ CBE=90°\end{cases}$
$\therefore △ BAH≌△ BCE(\mathrm{ASA})$，$\therefore BE=BH$。
(2) ① 解：$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ DAB=90°$，对角线$BD=2$，$\therefore AB=\sqrt{BD^2÷2}=\sqrt{4÷2}=\sqrt{2}$。
由(1)知$BE=BH=x$，又$AE=AB+BE$，$\therefore y=\sqrt{2}+x$。
② 解：当$x=2-\sqrt{2}$时，代入$y=\sqrt{2}+x$得$y=\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2$，即$AE=2$。
$\because$正方形中$AC=BD=2$，$\therefore AE=AC=2$。
$\because AF⊥ CE$，$\therefore AF$平分$∠ CAE$，$∠ CAE=45°$，$\therefore ∠ EAF=22.5°$。
$\because ∠ ABD=45°$，$\therefore ∠ BGH=45°+22.5°=67.5°$，$∠ BHG=90°-22.5°=67.5°$，$\therefore ∠ BGH=∠ BHG$，$\therefore BG=BH=2-\sqrt{2}$。
四边形BECG的面积$=S_{△ BCG}+S_{△ CBE}$：
$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}× BG× OC=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}× BE× CB=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$，
$\therefore$总面积$=\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】23.(1)证明见上述解析；(2)①$y=\sqrt{2}+x$；②$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、函数表达式、三角形面积计算
【点评】本题综合考查正方形性质、全等三角形、函数及面积计算，需结合几何推理和代数运算，难度适中，能较好考查学生的几何综合能力。
【难度系数】0.6
本题为正方形的几何综合题，第(1)问要证线段相等，可通过证明三角形全等实现：利用正方形的直角性质和垂直关系推导角相等，找到△BAH与△BCE全等的条件；第(2)问①中，先由正方形对角线长度求出边长，结合BE=BH=x，通过线段和建立函数关系；②中，代入x求AE，再利用正方形对角线性质和角的关系求出BG，将四边形面积拆分为两个三角形面积之和计算。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，$AB=BC$，$∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ CBE=∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ BCE+∠ BEC=90°$。
$\because AF⊥ CE$，$\therefore ∠ AFE=90°$，$\therefore ∠ BAH+∠ BEC=90°$，$\therefore ∠ BAH=∠ BCE$。
在$△ BAH$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ BAH=∠ BCE \\AB=BC \\∠ ABH=∠ CBE=90°\end{cases}$
$\therefore △ BAH≌△ BCE(\mathrm{ASA})$，$\therefore BE=BH$。
(2) ① 解：$\because$四边形ABCD是正方形，$\therefore ∠ DAB=90°$，对角线$BD=2$，$\therefore AB=\sqrt{BD^2÷2}=\sqrt{4÷2}=\sqrt{2}$。
由(1)知$BE=BH=x$，又$AE=AB+BE$，$\therefore y=\sqrt{2}+x$。
② 解：当$x=2-\sqrt{2}$时，代入$y=\sqrt{2}+x$得$y=\sqrt{2}+(2-\sqrt{2})=2$，即$AE=2$。
$\because$正方形中$AC=BD=2$，$\therefore AE=AC=2$。
$\because AF⊥ CE$，$\therefore AF$平分$∠ CAE$，$∠ CAE=45°$，$\therefore ∠ EAF=22.5°$。
$\because ∠ ABD=45°$，$\therefore ∠ BGH=45°+22.5°=67.5°$，$∠ BHG=90°-22.5°=67.5°$，$\therefore ∠ BGH=∠ BHG$，$\therefore BG=BH=2-\sqrt{2}$。
四边形BECG的面积$=S_{△ BCG}+S_{△ CBE}$：
$S_{△ BCG}=\frac{1}{2}× BG× OC=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×1=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$，
$S_{△ CBE}=\frac{1}{2}× BE× CB=\frac{1}{2}×(2-\sqrt{2})×\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}-2}{2}$，
$\therefore$总面积$=\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】23.(1)证明见上述解析；(2)①$y=\sqrt{2}+x$；②$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【知识点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质、函数表达式、三角形面积计算
【点评】本题综合考查正方形性质、全等三角形、函数及面积计算，需结合几何推理和代数运算，难度适中，能较好考查学生的几何综合能力。
【难度系数】0.6
