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17.(8分)计算:
(1)$2^2 - 2^0 + 2^{-1}$；
(2)$(a - 6)^2 - a(a - 6)$。
(1)$2^2 - 2^0 + 2^{-1}$；
(2)$(a - 6)^2 - a(a - 6)$。
答案
17.解:(1)原式$=4-1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{2}$。
(2)原式$=a^2-12a+36-a^2+6a=-6a+36$。
(2)原式$=a^2-12a+36-a^2+6a=-6a+36$。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问考查指数运算，需掌握乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则：非零数的0次幂为1，非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，先分别计算各项再进行加减运算；第(2)问考查整式化简，需运用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据指数运算法则计算各项：$2^2=4$，$2^0=1$，$2^{-1}=\dfrac{1}{2}$，
则原式$=4 - 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$；
(2) 先利用完全平方公式展开$(a - 6)^2$得$a^2 - 12a + 36$，再计算$a(a - 6)=a^2 - 6a$，
去括号得：$a^2 - 12a + 36 - a^2 + 6a$，
合并同类项：$(a^2 - a^2) + (-12a + 6a) + 36 = -6a + 36$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{2}$；(2) $-6a + 36$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的化简
【点评】
本题是代数基础计算题，核心考查指数运算和整式化简的基本法则，属于初中数学的必考点，只要掌握基本公式和运算法则，细心计算即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题包含两小问，第(1)问考查指数运算，需掌握乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则：非零数的0次幂为1，非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数，先分别计算各项再进行加减运算；第(2)问考查整式化简，需运用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 根据指数运算法则计算各项：$2^2=4$，$2^0=1$，$2^{-1}=\dfrac{1}{2}$，
则原式$=4 - 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}$；
(2) 先利用完全平方公式展开$(a - 6)^2$得$a^2 - 12a + 36$，再计算$a(a - 6)=a^2 - 6a$，
去括号得：$a^2 - 12a + 36 - a^2 + 6a$，
合并同类项：$(a^2 - a^2) + (-12a + 6a) + 36 = -6a + 36$。
【答案】
(1) $\dfrac{7}{2}$；(2) $-6a + 36$
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、整式的化简
【点评】
本题是代数基础计算题，核心考查指数运算和整式化简的基本法则，属于初中数学的必考点，只要掌握基本公式和运算法则，细心计算即可得分，难度较低。
【难度系数】
0.8
18.(8分)解下列方程(组):
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11;\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$。
(1)$\begin{cases}x - y = 2, \\3x + 2y = 11;\end{cases}$
(2)$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$。
答案
18.解:(1)$\begin{cases} x-y=2,① \\3x+2y=11,② \end{cases}$ 由①,得$x=y+2$③,将③代入②,得$3(y+2)+2y=11$,解得$y=1$。把$y=1$代入③,得$x=3$。所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3, \\y=1 \end{cases}$。
(2)去分母,得$x+x-3=-1$,移项,合并同类项,得$2x=2$,解得$x=1$。经检验,$x=1$是原分式方程的根。
(2)去分母,得$x+x-3=-1$,移项,合并同类项,得$2x=2$,解得$x=1$。经检验,$x=1$是原分式方程的根。
解析
【分析】
对于二元一次方程组，利用代入消元法，将系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消元后求解；对于分式方程，先去分母转化为整式方程，求解后必须检验，避免产生增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 2,① \\3x + 2y = 11,②\end{cases}$
由①得：$x = y + 2$ ③，
将③代入②，得：$3(y + 2) + 2y = 11$，
展开计算：$3y + 6 + 2y = 11$，
合并同类项得$5y = 5$，解得$y = 1$，
把$y = 1$代入③，得$x = 1 + 2 = 3$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$，
方程两边同乘$(x - 3)$去分母，得：$x + (x - 3) = -1$，
移项、合并同类项得$2x = 2$，解得$x = 1$，
经检验，当$x = 1$时，$x - 3 = -2 ≠ 0$，故$x = 1$是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$；(2) $x = 1$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的代入消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，这是易失分点。
【难度系数】
0.7
对于二元一次方程组，利用代入消元法，将系数简单的方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一方程消元后求解；对于分式方程，先去分母转化为整式方程，求解后必须检验，避免产生增根。
【解析】
(1) 解方程组$\begin{cases}x - y = 2,① \\3x + 2y = 11,②\end{cases}$
由①得：$x = y + 2$ ③，
将③代入②，得：$3(y + 2) + 2y = 11$，
展开计算：$3y + 6 + 2y = 11$，
合并同类项得$5y = 5$，解得$y = 1$，
把$y = 1$代入③，得$x = 1 + 2 = 3$，
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程$\dfrac{x}{x - 3} + 1 = \dfrac{1}{3 - x}$，
方程两边同乘$(x - 3)$去分母，得：$x + (x - 3) = -1$，
移项、合并同类项得$2x = 2$，解得$x = 1$，
经检验，当$x = 1$时，$x - 3 = -2 ≠ 0$，故$x = 1$是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 3 \\y = 1\end{cases}$；(2) $x = 1$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题为基础题型，分别考察二元一次方程组的代入消元法和分式方程的解法，需注意分式方程求解后必须检验，这是易失分点。
【难度系数】
0.7
19.(6分)数学课上,老师要求同学们对$(\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{1}{a + 1})· \dfrac{a - 1}{a}$进行化简,下面是小温和小州同学的部分运算过程：
小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]· \dfrac{a - 1}{a}$ 图1
$=······$
小州同学的解法：
原式$=\dfrac{1}{a^2 - 1}· \dfrac{a - 1}{a} + \dfrac{1}{a + 1}· \dfrac{a - 1}{a}$
$=······$
(1)小温同学解法的依据是________,小州同学解法的依据是________;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③分配律;④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
小温同学的解法：
原式$=[\dfrac{1}{a^2 - 1} + \dfrac{a - 1}{(a + 1)(a - 1)}]· \dfrac{a - 1}{a}$ 图1
$=······$
小州同学的解法：
原式$=\dfrac{1}{a^2 - 1}· \dfrac{a - 1}{a} + \dfrac{1}{a + 1}· \dfrac{a - 1}{a}$
$=······$
(1)小温同学解法的依据是________,小州同学解法的依据是________;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③分配律;④乘法交换律。
(2)请选择一种解法,写出完整的解答过程。
答案
19.(1)② ③
(2)解:小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a+1}$。
小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2-1}·\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{1}{a+1}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{a-1}{a(a+1)}=\dfrac{a}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a+1}$。(任选一种解法即可)
(2)解:小温同学的解法:原式$=[\dfrac{1}{a^2-1}+\dfrac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a+1}$。
小州同学的解法:原式$=\dfrac{1}{a^2-1}·\dfrac{a-1}{a}+\dfrac{1}{a+1}·\dfrac{a-1}{a}=\dfrac{1}{a(a+1)}+\dfrac{a-1}{a(a+1)}=\dfrac{a}{a(a+1)}=\dfrac{1}{a+1}$。(任选一种解法即可)
解析
【分析】
要解决本题，首先明确两种解法的依据：小温将$\frac{1}{a+1}$变形为与$\frac{1}{a^2-1}$同分母的分式，利用的是分式的分子分母同乘不为0的整式，分式值不变，即分式的基本性质；小州将括号外的分式分别与括号内的两个分式相乘，利用的是乘法分配律。第(2)问，任选一种解法，按照分式运算的通分、合并、约分步骤即可得到结果。
【解析】
(1)小温对$\frac{1}{a+1}$变形时，分子分母同乘$(a-1)$，依据是分式的基本性质，故填②；小州将原式展开为两个分式分别乘$\frac{a-1}{a}$，依据是乘法分配律，故填③。
(2)示例选小温的解法：
原式$=[\frac{1}{a^2 -1}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{a}{(a+1)(a-1)}·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}$
【答案】
(1)② ③；(2)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式的运算，重点考查分式基本性质和运算律的应用，属于分式化简的基础题，需掌握通分、约分的基本方法，确保运算准确。
【难度系数】
0.3
要解决本题，首先明确两种解法的依据：小温将$\frac{1}{a+1}$变形为与$\frac{1}{a^2-1}$同分母的分式，利用的是分式的分子分母同乘不为0的整式，分式值不变，即分式的基本性质；小州将括号外的分式分别与括号内的两个分式相乘，利用的是乘法分配律。第(2)问，任选一种解法，按照分式运算的通分、合并、约分步骤即可得到结果。
【解析】
(1)小温对$\frac{1}{a+1}$变形时，分子分母同乘$(a-1)$，依据是分式的基本性质，故填②；小州将原式展开为两个分式分别乘$\frac{a-1}{a}$，依据是乘法分配律，故填③。
(2)示例选小温的解法：
原式$=[\frac{1}{a^2 -1}+\frac{a-1}{(a+1)(a-1)}]·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{1+a-1}{(a+1)(a-1)}·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{a}{(a+1)(a-1)}·\frac{a-1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}$
【答案】
(1)② ③；(2)$\frac{1}{a+1}$
【知识点】
分式的基本性质、乘法分配律、分式化简
【点评】
本题考查分式的运算，重点考查分式基本性质和运算律的应用，属于分式化简的基础题，需掌握通分、约分的基本方法，确保运算准确。
【难度系数】
0.3
