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18.(8分)解方程:
(1)$x^2 - 2x = -1$。
(2)$x(x - 2) + (x - 2) = 0$。
(1)$x^2 - 2x = -1$。
(2)$x(x - 2) + (x - 2) = 0$。
答案
18.(1)$x_1=x_2=1$。
(2)$x_1=2$,$x_2=-1$。
(2)$x_1=2$,$x_2=-1$。
解析
【分析】对于一元二次方程，优先选择简便解法（配方法或因式分解法）。第(1)题可通过移项构造完全平方式，用配方法求解；第(2)题存在公因式，用提取公因式的因式分解法求解，步骤简洁且不易出错。
【解析】(1) 移项，得 $x^2 - 2x + 1 = 0$，即 $(x - 1)^2 = 0$，解得 $x_1 = x_2 = 1$；
(2) 提取公因式 $(x - 2)$，得 $(x - 2)(x + 1) = 0$，则 $x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
【答案】(1)$x_1=x_2=1$；(2)$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】本题为一元二次方程的基础解方程题，分别考查配方法和因式分解法的应用，是初中数学核心基础内容，难度较低，适合巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】0.8
【解析】(1) 移项，得 $x^2 - 2x + 1 = 0$，即 $(x - 1)^2 = 0$，解得 $x_1 = x_2 = 1$；
(2) 提取公因式 $(x - 2)$，得 $(x - 2)(x + 1) = 0$，则 $x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$，解得 $x_1 = 2$，$x_2 = -1$。
【答案】(1)$x_1=x_2=1$；(2)$x_1=2$，$x_2=-1$
【知识点】一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】本题为一元二次方程的基础解方程题，分别考查配方法和因式分解法的应用，是初中数学核心基础内容，难度较低，适合巩固一元二次方程的解法。
【难度系数】0.8
19.(8分)如图,在$6×6$的正方形网格中(每个小正方形的边长为1),中心点为$O,△ABC$的三个顶点都在格点(小正方形的顶点)上。$△ABC$与$△DEF$关于点$O$中心对称,点$A,B,C$的对称点分别是点$D,E,F$。
(1)画出$△DEF$。
(2)在点$A,B,C,D,E,F$中取三个点两两连结,使组成的三角形是等腰三角形。请写出你取的三个点,并求这个三角形的面积。
(1)画出$△DEF$。
(2)在点$A,B,C,D,E,F$中取三个点两两连结,使组成的三角形是等腰三角形。请写出你取的三个点,并求这个三角形的面积。
答案
19.(1)如图,$△ DEF$即为所求。
(2)(答案不唯一)
取$A$,$C$,$F$三点。$△ ACF$的面积为$\dfrac{1}{2}×(1+3)×4-\dfrac{1}{2}×3×1-\dfrac{1}{2}×1×3=8-\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{2}=5$。
解析
【分析】
(1) 根据中心对称的性质，关于点O中心对称的两个点，连线经过对称中心O且被O平分，因此只需找到A、B、C关于O的对称点，再顺次连接即可画出△DEF。
(2) 要在A、B、C、D、E、F中找三个点组成等腰三角形，需结合各点位置，利用“两边相等的三角形是等腰三角形”确定，再通过割补法计算网格中三角形的面积。
【解析】
(1) 作图过程：
① 连接AO，延长AO至点D，使OD = OA，得到点A的对称点D；
② 同理，连接BO延长至F，使OF=OB，得点B的对称点F；连接CO延长至E，使OE=OC，得点C的对称点E；
③ 依次连接D、E、F，△DEF即为所求。
(2) 选取A、C、F三点组成等腰三角形（答案不唯一），计算其面积：
构造一个长为4，宽为(1+3)=4的矩形，△ACF的面积等于该矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即：
$S_{△ ACF} = \frac{1}{2}×(1+3)×4 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×1×3 = 8 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 5$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求；
(2) 取A、C、F三点，△ACF的面积为5。
【知识点】
中心对称作图、等腰三角形判定、网格图形面积计算
【点评】
本题综合考查中心对称图形的作图和网格中三角形面积的计算，需掌握中心对称的性质及割补法求面积的技巧，难度适中。
【难度系数】
0.6
(1) 根据中心对称的性质，关于点O中心对称的两个点，连线经过对称中心O且被O平分，因此只需找到A、B、C关于O的对称点，再顺次连接即可画出△DEF。
(2) 要在A、B、C、D、E、F中找三个点组成等腰三角形，需结合各点位置，利用“两边相等的三角形是等腰三角形”确定，再通过割补法计算网格中三角形的面积。
【解析】
(1) 作图过程：
① 连接AO，延长AO至点D，使OD = OA，得到点A的对称点D；
② 同理，连接BO延长至F，使OF=OB，得点B的对称点F；连接CO延长至E，使OE=OC，得点C的对称点E；
③ 依次连接D、E、F，△DEF即为所求。
(2) 选取A、C、F三点组成等腰三角形（答案不唯一），计算其面积：
构造一个长为4，宽为(1+3)=4的矩形，△ACF的面积等于该矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即：
$S_{△ ACF} = \frac{1}{2}×(1+3)×4 - \frac{1}{2}×3×1 - \frac{1}{2}×1×3 = 8 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 5$。
【答案】
(1) 如图，△DEF即为所求；
(2) 取A、C、F三点，△ACF的面积为5。
【知识点】
中心对称作图、等腰三角形判定、网格图形面积计算
【点评】
本题综合考查中心对称图形的作图和网格中三角形面积的计算，需掌握中心对称的性质及割补法求面积的技巧，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(8分)传统跳绳是某校体育特色课程,老师记录了八(3)班传统跳绳的两组各10名同学1 min跳绳的次数。
【数据收集】
A组：112 126 128 130 136 146 146 150 152 158
B组：127 131 134 135 145 148 150 152 152 155
【数据整理】老师对上面表格中的数据进行了简单的统计。
| 组别 | 最小值 | 下四分位数 | 中位数 | 上四分位数 | 最大值 |
| ---- | ------ | ---------- | ------ | ---------- | ------ |
| A组 | 112 | $a$ | 141 | 150 | 158 |
| B组 | 127 | 134 | $b$ | 152 | 155 |
(1)求表中的数据:$a=$, $b=$。
(2)两组同学的跳绳次数绘制成箱线图如图所示,则$S_{A}^{2}\_\_\_\_\_\_S_{B}^{2}$(填“＞”“＜”或“=”)。
【数据应用】
(3)试评价本次测试中A组,B组同学整体的跳绳水平。
【数据收集】
A组：112 126 128 130 136 146 146 150 152 158
B组：127 131 134 135 145 148 150 152 152 155
【数据整理】老师对上面表格中的数据进行了简单的统计。
| 组别 | 最小值 | 下四分位数 | 中位数 | 上四分位数 | 最大值 |
| ---- | ------ | ---------- | ------ | ---------- | ------ |
| A组 | 112 | $a$ | 141 | 150 | 158 |
| B组 | 127 | 134 | $b$ | 152 | 155 |
(1)求表中的数据:$a=$, $b=$。
(2)两组同学的跳绳次数绘制成箱线图如图所示,则$S_{A}^{2}\_\_\_\_\_\_S_{B}^{2}$(填“＞”“＜”或“=”)。
【数据应用】
(3)试评价本次测试中A组,B组同学整体的跳绳水平。
答案
20.(1)128 146.5
(2)$＞$
(3)由箱线图可知,B组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于A组,且B组数据的方差比A组小,成绩更稳定,所以B组同学整体的跳绳水平比A组高。(答案不唯一,合理即可)
(2)$＞$
(3)由箱线图可知,B组跳绳成绩的上四分位数、中位数和下四分位数均高于A组,且B组数据的方差比A组小,成绩更稳定,所以B组同学整体的跳绳水平比A组高。(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
要解决本题，需掌握统计量的计算方法与意义：第(1)问需明确下四分位数、中位数的计算规则，对排序后的数据进行对应位置的计算；第(2)问根据箱线图的离散程度判断方差大小；第(3)问结合中位数、四分位数、方差的意义，评价两组数据的整体水平。
【解析】
(1) 先对A组数据从小到大排序：112,126,128,130,136,146,146,150,152,158，共10个数据。下四分位数的位置为10×0.25=2.5，对应排序后第3个数据，故a=128；
对B组数据从小到大排序：127,131,134,135,145,148,150,152,152,155，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数，即b=(145+148)÷2=146.5。
(2) 箱线图中，A组的箱体和须更长，说明A组数据更分散，方差更大，因此S_A²＞S_B²。
(3) 由统计量和箱线图可知：B组的中位数、下四分位数、上四分位数均高于A组，说明B组中间水平及各分位的跳绳次数更优；且B组数据方差更小，成绩更稳定，因此B组同学整体的跳绳水平比A组高。
【答案】
(1)128，146.5；(2)＞；(3)B组同学整体的跳绳水平比A组高（合理即可）
【知识点】
四分位数、中位数、方差、数据的分析
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握四分位数、中位数的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，结合统计量评价数据整体水平，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需掌握统计量的计算方法与意义：第(1)问需明确下四分位数、中位数的计算规则，对排序后的数据进行对应位置的计算；第(2)问根据箱线图的离散程度判断方差大小；第(3)问结合中位数、四分位数、方差的意义，评价两组数据的整体水平。
【解析】
(1) 先对A组数据从小到大排序：112,126,128,130,136,146,146,150,152,158，共10个数据。下四分位数的位置为10×0.25=2.5，对应排序后第3个数据，故a=128；
对B组数据从小到大排序：127,131,134,135,145,148,150,152,152,155，共10个数据，中位数为第5和第6个数据的平均数，即b=(145+148)÷2=146.5。
(2) 箱线图中，A组的箱体和须更长，说明A组数据更分散，方差更大，因此S_A²＞S_B²。
(3) 由统计量和箱线图可知：B组的中位数、下四分位数、上四分位数均高于A组，说明B组中间水平及各分位的跳绳次数更优；且B组数据方差更小，成绩更稳定，因此B组同学整体的跳绳水平比A组高。
【答案】
(1)128，146.5；(2)＞；(3)B组同学整体的跳绳水平比A组高（合理即可）
【知识点】
四分位数、中位数、方差、数据的分析
【点评】
本题考查统计量的计算与实际应用，需熟练掌握四分位数、中位数的计算方法，理解方差反映数据稳定性的意义，结合统计量评价数据整体水平，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.4
