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10.已知一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a≠0)$的一个正根和方程$x^2+bx+a=0$的一个正根相等,若$ax^2+bx+1=0$的另一个根为4,则$x^2+bx+a=0$的两个根分别为 （
A.$-4,4$
B.$-4,1$
C.$\frac{1}{4},4$
D.$\frac{1}{4},1$
D
）A.$-4,4$
B.$-4,1$
C.$\frac{1}{4},4$
D.$\frac{1}{4},1$
答案
10.D 【解析】因为一元二次方程$ax^2+bx+1=0(a≠0)$的一个正根和方程$x^2+bx+a=0$的一个正根相等,所以令$ax^2+bx+1=x^2+bx+a$,解得$x^2=1$。所以正根为1。因为$ax^2+bx+1=0$的另一个根为4,所以$\dfrac{1}{a}=4$。所以$a=\dfrac{1}{4}$。因为方程$x^2+bx+a=0$有一个正根为1,设另一个根为$m$,所以$1× m=a=\dfrac{1}{4}$。所以$m=\dfrac{1}{4}$。所以$x^2+bx+a=0$的两个根分别为$1,\dfrac{1}{4}$。故选D。
解析
【分析】首先设两个方程的公共正根为$ t $，利用公共根同时满足两个方程的特点，将两式相减求出公共正根；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），根据第一个方程已知的根$ 4 $求出参数$ a $；最后对第二个方程应用韦达定理，求出其另一个根，即可得到答案。
【解析】设两个方程的公共正根为$ t $，则$ t $满足$ ax^2 + bx + 1 = 0 $和$ x^2 + bx + a = 0 $，将两式相减得：
$ ax^2 + bx + 1 - (x^2 + bx + a) = 0 $，整理得$ (a - 1)x^2 + (1 - a) = 0 $，即$ (a - 1)(x^2 - 1) = 0 $。
因为$ a ≠ 0 $且为一元二次方程，所以$ a ≠ 1 $，因此$ x^2 = 1 $，正根$ t = 1 $。
对于方程$ ax^2 + bx + 1 = 0 $，根据韦达定理，两根之积为$ \frac{1}{a} $，已知一个根为$ 4 $，另一个根为$ 1 $，故$ 4×1 = \frac{1}{a} $，解得$ a = \frac{1}{4} $。
对于方程$ x^2 + bx + a = 0 $，设其另一个根为$ m $，根据韦达定理，两根之积为$ a $，即$ 1×m = a = \frac{1}{4} $，解得$ m = \frac{1}{4} $。
因此，方程$ x^2 + bx + a = 0 $的两个根为$ 1 $和$ \frac{1}{4} $，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程公共根求解
【点评】本题核心考查韦达定理的应用，关键是先找到两个方程的公共正根，再通过韦达定理逐步推导参数和未知根，步骤清晰，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】0.6
【解析】设两个方程的公共正根为$ t $，则$ t $满足$ ax^2 + bx + 1 = 0 $和$ x^2 + bx + a = 0 $，将两式相减得：
$ ax^2 + bx + 1 - (x^2 + bx + a) = 0 $，整理得$ (a - 1)x^2 + (1 - a) = 0 $，即$ (a - 1)(x^2 - 1) = 0 $。
因为$ a ≠ 0 $且为一元二次方程，所以$ a ≠ 1 $，因此$ x^2 = 1 $，正根$ t = 1 $。
对于方程$ ax^2 + bx + 1 = 0 $，根据韦达定理，两根之积为$ \frac{1}{a} $，已知一个根为$ 4 $，另一个根为$ 1 $，故$ 4×1 = \frac{1}{a} $，解得$ a = \frac{1}{4} $。
对于方程$ x^2 + bx + a = 0 $，设其另一个根为$ m $，根据韦达定理，两根之积为$ a $，即$ 1×m = a = \frac{1}{4} $，解得$ m = \frac{1}{4} $。
因此，方程$ x^2 + bx + a = 0 $的两个根为$ 1 $和$ \frac{1}{4} $，故选D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程公共根求解
【点评】本题核心考查韦达定理的应用，关键是先找到两个方程的公共正根，再通过韦达定理逐步推导参数和未知根，步骤清晰，需熟练掌握韦达定理的内容。
【难度系数】0.6
11.计算:$\sqrt{2}×(-\sqrt{3})=$$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
11.$-\sqrt{6}$
解析
【分析】
本题是二次根式的乘法运算，解题思路是运用二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，同时注意保留原式中的负号，按规则逐步计算即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a ≥ 0, b ≥ 0)$，先处理符号，再计算被开方数的乘积：
$\sqrt{2}×(-\sqrt{3}) = - (\sqrt{2}×\sqrt{3}) = - \sqrt{2×3} = - \sqrt{6}$
【答案】
$-\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题考查基础的二次根式乘法法则应用，属于运算类基础题，只要牢记二次根式乘法的基本规则就能正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题是二次根式的乘法运算，解题思路是运用二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变，同时注意保留原式中的负号，按规则逐步计算即可。
【解析】
根据二次根式的乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} \ (a ≥ 0, b ≥ 0)$，先处理符号，再计算被开方数的乘积：
$\sqrt{2}×(-\sqrt{3}) = - (\sqrt{2}×\sqrt{3}) = - \sqrt{2×3} = - \sqrt{6}$
【答案】
$-\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘法运算
【点评】
本题考查基础的二次根式乘法法则应用，属于运算类基础题，只要牢记二次根式乘法的基本规则就能正确解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
12. 如图，$△ ABC$与$△ DEC$关于点$C$成中心对称，若$AB=4$，则$DE$的长为________。
第一车间工人日均生产螺杆数统计图
第一车间工人日均生产螺杆数统计图
答案
12.$-4$
13. 某工厂第一车间有工人15人，每人日均加工螺杆数的统计图如图所示。该车间平均每人每日加工的螺杆数为________个。
答案
13.20
解析
【分析】
要计算该车间平均每人每日加工的螺杆数，需运用加权平均数的计算方法：总加工螺杆数除以总人数。首先从统计图中提取各日均加工螺杆数对应的人数，再分别计算总加工螺杆数和总人数，最后用总加工螺杆数除以总人数得到结果。
【解析】
1. 提取数据：日均加工16个的有1人，18个的有3人，20个的有6人，22个的有5人；
2. 计算总人数：$1+3+6+5=15$（人）；
3. 计算总加工螺杆数：$16×1 + 18×3 + 20×6 + 22×5 = 16 + 54 + 120 + 110 = 300$（个）；
4. 计算平均数：$300÷15=20$（个）。
【答案】
20
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题核心是掌握加权平均数的计算逻辑，即总数量除以总份数，属于基础计算类题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算该车间平均每人每日加工的螺杆数，需运用加权平均数的计算方法：总加工螺杆数除以总人数。首先从统计图中提取各日均加工螺杆数对应的人数，再分别计算总加工螺杆数和总人数，最后用总加工螺杆数除以总人数得到结果。
【解析】
1. 提取数据：日均加工16个的有1人，18个的有3人，20个的有6人，22个的有5人；
2. 计算总人数：$1+3+6+5=15$（人）；
3. 计算总加工螺杆数：$16×1 + 18×3 + 20×6 + 22×5 = 16 + 54 + 120 + 110 = 300$（个）；
4. 计算平均数：$300÷15=20$（个）。
【答案】
20
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题考查加权平均数的实际应用，解题核心是掌握加权平均数的计算逻辑，即总数量除以总份数，属于基础计算类题目，难度较低。
【难度系数】
0.8
14.已知$a,b$为常数,若方程$(x-1)^2=a$的两个根与方程$(x-3)(x-b)=0$的两个根相同,则$b$的值为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
14.$-1$
解析
【分析】
要解决本题，需先分别求出两个方程的根，再根据“两个方程的根相同”的条件，利用二次方程根的性质建立等式求解b的值。首先解出两个方程的根，再通过根的和相等或直接对应根的关系，即可求出b。
【解析】
1. 解方程$(x-1)^2=a$：
开方得$x-1=\pm\sqrt{a}$，因此两个根为$x_1=1+\sqrt{a}$，$x_2=1-\sqrt{a}$，两根之和为$(1+\sqrt{a})+(1-\sqrt{a})=2$。
2. 解方程$(x-3)(x-b)=0$：
令每个因式为0，得两个根为$x_3=3$，$x_4=b$，两根之和为$3+b$。
3. 因为两个方程的根相同，所以它们的根的和相等，即$2=3+b$，解得$b=-1$。
验证：当$b=-1$时，第二个方程的根为3和-1，代入第一个方程，若根为3，则$(3-1)^2=a⇒ a=4$，此时第一个方程的另一个根为$1-\sqrt{4}=-1$，与第二个方程的另一个根一致，符合条件。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根、方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，关键在于利用两个方程根相同的条件，通过根的和建立等式简化计算，无需额外求参数a，是基础的方程根应用题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先分别求出两个方程的根，再根据“两个方程的根相同”的条件，利用二次方程根的性质建立等式求解b的值。首先解出两个方程的根，再通过根的和相等或直接对应根的关系，即可求出b。
【解析】
1. 解方程$(x-1)^2=a$：
开方得$x-1=\pm\sqrt{a}$，因此两个根为$x_1=1+\sqrt{a}$，$x_2=1-\sqrt{a}$，两根之和为$(1+\sqrt{a})+(1-\sqrt{a})=2$。
2. 解方程$(x-3)(x-b)=0$：
令每个因式为0，得两个根为$x_3=3$，$x_4=b$，两根之和为$3+b$。
3. 因为两个方程的根相同，所以它们的根的和相等，即$2=3+b$，解得$b=-1$。
验证：当$b=-1$时，第二个方程的根为3和-1，代入第一个方程，若根为3，则$(3-1)^2=a⇒ a=4$，此时第一个方程的另一个根为$1-\sqrt{4}=-1$，与第二个方程的另一个根一致，符合条件。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的根、方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质，关键在于利用两个方程根相同的条件，通过根的和建立等式简化计算，无需额外求参数a，是基础的方程根应用题型。
【难度系数】
0.5
15. 在n边形中，设∠A的外角的度数为α，与∠A不相邻的$(n-1)$个内角的和为β。若$β = α + 540°$，则$n=$
6
。答案
15.6 【解析】因为在$n$边形中,$∠ A$的外角的度数为$α$,所以$∠ A=180°-α$。因为与$∠ A$不相邻的$(n-1)$个内角的和为$β$,所以$180°-α+β=(n-2)·180°$。因为$β=α+540°$,所以$180°-α+α+540°=(n-2)·180°$,解得$n=6$。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用n边形内角和公式，结合内角与外角的关系建立方程。首先，n边形内角和为$(n-2)·180°$；其次，∠A与它的外角α满足$∠A=180°-α$，而n边形内角和等于∠A加上与它不相邻的$(n-1)$个内角的和β，由此可列出等式，再代入已知条件$β=α+540°$即可求解n。
【解析】
1. n边形内角和公式为：$(n-2)·180°$；
2. 因为∠A的外角为α，所以$∠A=180°-α$；
3. 整个n边形内角和 = ∠A + β，即：$180°-α + β = (n-2)·180°$；
4. 将$β=α+540°$代入上式，得：$180°-α + α +540° = (n-2)·180°$；
5. 化简左边：$720° = (n-2)·180°$，两边同时除以$180°$，得：$4 = n-2$，解得$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
多边形内角和公式，内角与外角的关系
【点评】
本题核心是利用多边形内角和公式建立方程，关键在于明确n边形内角和的组成（一个内角加其余内角和），结合内角与外角的关系代入化简即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需利用n边形内角和公式，结合内角与外角的关系建立方程。首先，n边形内角和为$(n-2)·180°$；其次，∠A与它的外角α满足$∠A=180°-α$，而n边形内角和等于∠A加上与它不相邻的$(n-1)$个内角的和β，由此可列出等式，再代入已知条件$β=α+540°$即可求解n。
【解析】
1. n边形内角和公式为：$(n-2)·180°$；
2. 因为∠A的外角为α，所以$∠A=180°-α$；
3. 整个n边形内角和 = ∠A + β，即：$180°-α + β = (n-2)·180°$；
4. 将$β=α+540°$代入上式，得：$180°-α + α +540° = (n-2)·180°$；
5. 化简左边：$720° = (n-2)·180°$，两边同时除以$180°$，得：$4 = n-2$，解得$n=6$。
【答案】
6
【知识点】
多边形内角和公式，内角与外角的关系
【点评】
本题核心是利用多边形内角和公式建立方程，关键在于明确n边形内角和的组成（一个内角加其余内角和），结合内角与外角的关系代入化简即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.5
16.如图,在矩形ABCD中,AB=6。点P,Q同时从点A出发,沿AB方向匀速运动,点P的速度为1个单位长度/s,点Q的速度为3个单位长度/s,点Q到达点B时停留在点B,待点P继续运动到点B时结束运动。设运动时间为t(s),已知当t=1时,线段DC上有一点M,使四边形PQMD是菱形。若运动过程中,线段DC上另有一点N,使四边形PQND是菱形,则此时t=
$\dfrac{11}{4}$
。答案
16.$\dfrac{11}{4}$ 【解析】当$t=1$时,$AP=1$,$AQ=3$,所以$PQ=2$。因为四边形$PQMD$是菱形,所以$PD=PQ=2$。因为四边形$ABCD$是矩形,所以$∠ A=90°$。由勾股定理得$AD=\sqrt{PD^2-AP^2}=\sqrt{3}$。当$0≤ t＜2$时,$AP=t$,$AQ=3t$,所以$PQ=2t$。由勾股定理得$DP=\sqrt{AD^2+AP^2}=\sqrt{3+t^2}$,因为四边形$PQND$是菱形,所以$DP=PQ$,即$\sqrt{3+t^2}=2t$,解得$t=1$(不合题意,舍去)或$t=-1$(不合题意,舍去)。当$2≤ t≤6$时,$AP=t$,$AQ=6$,所以$PQ=6-t$。因为四边形$PQND$是菱形,所以$DP=PQ$,即$\sqrt{3+t^2}=6-t$,解得$t=\dfrac{11}{4}$。综上所述,$t$的值为$\dfrac{11}{4}$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需根据t=1时四边形PQMD是菱形，求出矩形的边AD的长度；再结合Q、P的运动速度，分Q未到达B（0≤t＜2）和Q到达B（2≤t≤6）两个时间段，利用菱形邻边相等的性质，结合勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解，最终得到t的值。
【解析】
1. 求AD的长度：
当t=1时，AP=1×1=1，AQ=3×1=3，故PQ=AQ - AP=3-1=2。
因为四边形PQMD是菱形，所以PD=PQ=2。
在矩形ABCD中，∠A=90°，由勾股定理得：
AD=√(PD² - AP²)=√(2² -1²)=√3。
2. 分情况讨论：
Q到达点B的时间为6÷3=2s，P到达点B的时间为6÷1=6s，因此分两种情况：
（1）当0≤t＜2时，Q未到达B点，此时AP=t，AQ=3t，故PQ=AQ - AP=2t。
在Rt△ADP中，DP=√(AD² + AP²)=√(3 + t²)。
因为四边形PQND是菱形，所以DP=PQ，即：
√(3 + t²)=2t，
两边平方得：3 + t²=4t²，
解得t=1或t=-1（t=-1不符合时间要求，舍去）。
此时t=1不符合题意，舍去。
（2）当2≤t≤6时，Q已到达B点，故AQ=AB=6，此时AP=t，故PQ=AB - AP=6 - t。
在Rt△ADP中，DP=√(3 + t²)。
因为四边形PQND是菱形，所以DP=PQ，即：
√(3 + t²)=6 - t，
两边平方得：3 + t²=36 -12t + t²，
化简得：12t=33，
解得t=11/4，符合2≤t≤6的范围，保留。
综上，t的值为11/4。
【答案】
11/4
【知识点】
矩形性质、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题是动点与几何图形结合的问题，需先利用已知条件求出矩形边长，再分时间段讨论动点位置，结合菱形性质和勾股定理列方程求解，关键在于准确划分时间段并舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需根据t=1时四边形PQMD是菱形，求出矩形的边AD的长度；再结合Q、P的运动速度，分Q未到达B（0≤t＜2）和Q到达B（2≤t≤6）两个时间段，利用菱形邻边相等的性质，结合勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的解，最终得到t的值。
【解析】
1. 求AD的长度：
当t=1时，AP=1×1=1，AQ=3×1=3，故PQ=AQ - AP=3-1=2。
因为四边形PQMD是菱形，所以PD=PQ=2。
在矩形ABCD中，∠A=90°，由勾股定理得：
AD=√(PD² - AP²)=√(2² -1²)=√3。
2. 分情况讨论：
Q到达点B的时间为6÷3=2s，P到达点B的时间为6÷1=6s，因此分两种情况：
（1）当0≤t＜2时，Q未到达B点，此时AP=t，AQ=3t，故PQ=AQ - AP=2t。
在Rt△ADP中，DP=√(AD² + AP²)=√(3 + t²)。
因为四边形PQND是菱形，所以DP=PQ，即：
√(3 + t²)=2t，
两边平方得：3 + t²=4t²，
解得t=1或t=-1（t=-1不符合时间要求，舍去）。
此时t=1不符合题意，舍去。
（2）当2≤t≤6时，Q已到达B点，故AQ=AB=6，此时AP=t，故PQ=AB - AP=6 - t。
在Rt△ADP中，DP=√(3 + t²)。
因为四边形PQND是菱形，所以DP=PQ，即：
√(3 + t²)=6 - t，
两边平方得：3 + t²=36 -12t + t²，
化简得：12t=33，
解得t=11/4，符合2≤t≤6的范围，保留。
综上，t的值为11/4。
【答案】
11/4
【知识点】
矩形性质、菱形性质、勾股定理
【点评】
本题是动点与几何图形结合的问题，需先利用已知条件求出矩形边长，再分时间段讨论动点位置，结合菱形性质和勾股定理列方程求解，关键在于准确划分时间段并舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算:
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{5})×\sqrt{5}$。
(2)$(-\sqrt{7})^{2}+\sqrt{(-7)^{2}}$。
(1)$(\sqrt{3}-\sqrt{5})×\sqrt{5}$。
(2)$(-\sqrt{7})^{2}+\sqrt{(-7)^{2}}$。
答案
17.(1)原式$=\sqrt{15}-5$。
(2)原式$=14$。
(2)原式$=14$。
解析
【分析】本题考查二次根式的基础运算，第(1)题可利用乘法分配律展开计算，需遵循二次根式乘法法则；第(2)题要掌握二次根式的两个核心性质：$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$和$\sqrt{a^2}=|a|$，分别计算两项后求和，避免符号或计算错误。
【解析】
(1) 根据乘法分配律，将$\sqrt{5}$与括号内两项分别相乘：
原式$=\sqrt{3}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×\sqrt{5}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{15}$，且$\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$，因此原式$=\sqrt{15}-5$；
(2) 分别计算两项：
$(-\sqrt{7})^2=(-1)^2×(\sqrt{7})^2=1×7=7$；
$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$；
因此原式$=7+7=14$；
【答案】17.(1)原式$=\sqrt{15}-5$；(2)原式$=14$。
【知识点】二次根式的混合运算，二次根式的性质
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，主要考查乘法分配律和二次根式的核心性质，难度较低，属于学生需熟练掌握的基础内容。
【难度系数】0.8
【解析】
(1) 根据乘法分配律，将$\sqrt{5}$与括号内两项分别相乘：
原式$=\sqrt{3}×\sqrt{5}-\sqrt{5}×\sqrt{5}$
由二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$，得$\sqrt{3}×\sqrt{5}=\sqrt{15}$，且$\sqrt{5}×\sqrt{5}=5$，因此原式$=\sqrt{15}-5$；
(2) 分别计算两项：
$(-\sqrt{7})^2=(-1)^2×(\sqrt{7})^2=1×7=7$；
$\sqrt{(-7)^2}=\sqrt{49}=7$；
因此原式$=7+7=14$；
【答案】17.(1)原式$=\sqrt{15}-5$；(2)原式$=14$。
【知识点】二次根式的混合运算，二次根式的性质
【点评】本题是二次根式运算的基础题型，主要考查乘法分配律和二次根式的核心性质，难度较低，属于学生需熟练掌握的基础内容。
【难度系数】0.8
