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21.(8分)如图,在$△ ABC$中,D,E分别是边BC,AC的中点,过点A作$AF// BC$交DE的延长线于点F,连结AD,CF,过点D作$DG⊥ CF$于点G。
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形。
(2)若$AB=3,BC=5$,且四边形ADCF是菱形,求DG的长。
(1)求证:四边形ADCF是平行四边形。
(2)若$AB=3,BC=5$,且四边形ADCF是菱形,求DG的长。
答案
21.(1)因为$D$,$E$分别是边$BC$,$AC$的中点,所以$DE$是$△ ABC$的中位线,$BD=CD$。所以$DE// AB$。因为$AF// BC$,所以四边形$ABDF$是平行四边形。所以$AF=BD$。所以$AF=DC$。因为$AF// BC$,所以四边形$ADCF$是平行四边形。
(2)因为四边形$ADCF$是菱形,所以$AC⊥ DF$,$AD=CD=BD=CF$。所以$CF=AD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$。
所以$△ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$。所以$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由(1)可知,四边形$ABDF$是平行四边形,所以$DF=AB=3$。
因为$DG⊥ CF$,所以$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=\dfrac{1}{2}AC· DF=CF· DG$,即$\dfrac{1}{2}×4×3=\dfrac{5}{2}· DG$。所以$DG=\dfrac{12}{5}$。
(2)因为四边形$ADCF$是菱形,所以$AC⊥ DF$,$AD=CD=BD=CF$。所以$CF=AD=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{5}{2}$。
所以$△ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$。所以$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
由(1)可知,四边形$ABDF$是平行四边形,所以$DF=AB=3$。
因为$DG⊥ CF$,所以$S_{\mathrm{菱形}ADCF}=\dfrac{1}{2}AC· DF=CF· DG$,即$\dfrac{1}{2}×4×3=\dfrac{5}{2}· DG$。所以$DG=\dfrac{12}{5}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形ADCF是平行四边形，思路是利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理：先由D、E是BC、AC中点，推出DE是△ABC的中位线，结合AF//BC得到四边形ABDF是平行四边形，进而得到AF=BD，再结合BD=CD且AF//DC，即可证得ADCF是平行四边形。第(2)问是在ADCF为菱形的条件下求DG的长，需利用菱形的性质（邻边相等、面积的两种计算方法），先由菱形性质推出△ABC是直角三角形，计算出AC、CF、DF的长度，再通过菱形面积的两种表达式建立等式求解DG。
【解析】
(1) 证明：
∵ D，E分别是BC，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，且BD=CD，
∴ DE//AB。
又
∵ AF//BC，即AF//BD，
∴ 四边形ABDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AF=BD。
∵ BD=CD，
∴ AF=DC。
又
∵ AF//BC，即AF//DC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形ADCF是菱形，
∴ AD=CD，菱形面积可表示为$\frac{1}{2}AC·DF$，也可表示为$CF·DG$。
∵ D是BC中点，
∴ CD=BD=$\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
∴ AD=CD=$\frac{5}{2}$，故△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
由(1)知四边形ABDF是平行四边形，
∴ DF=AB=3。
又
∵ 菱形ADCF中，CF=AD=$\frac{5}{2}$，且DG⊥CF，
∴ $S_{菱形ADCF}=\frac{1}{2}×AC×3 = CF×DG$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{5}{2}×DG$，
计算得：$6 = \frac{5}{2}DG$，
解得：$DG=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $DG=\frac{12}{5}$
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与菱形的判定和性质，结合三角形中位线、勾股定理进行求解，关键是利用菱形面积的两种计算方法建立等式求高，逻辑推导需严谨，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需证明四边形ADCF是平行四边形，思路是利用三角形中位线性质和平行四边形的判定定理：先由D、E是BC、AC中点，推出DE是△ABC的中位线，结合AF//BC得到四边形ABDF是平行四边形，进而得到AF=BD，再结合BD=CD且AF//DC，即可证得ADCF是平行四边形。第(2)问是在ADCF为菱形的条件下求DG的长，需利用菱形的性质（邻边相等、面积的两种计算方法），先由菱形性质推出△ABC是直角三角形，计算出AC、CF、DF的长度，再通过菱形面积的两种表达式建立等式求解DG。
【解析】
(1) 证明：
∵ D，E分别是BC，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，且BD=CD，
∴ DE//AB。
又
∵ AF//BC，即AF//BD，
∴ 四边形ABDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AF=BD。
∵ BD=CD，
∴ AF=DC。
又
∵ AF//BC，即AF//DC，
∴ 四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 解：
∵ 四边形ADCF是菱形，
∴ AD=CD，菱形面积可表示为$\frac{1}{2}AC·DF$，也可表示为$CF·DG$。
∵ D是BC中点，
∴ CD=BD=$\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，
∴ AD=CD=$\frac{5}{2}$，故△ABC是直角三角形，∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$。
由(1)知四边形ABDF是平行四边形，
∴ DF=AB=3。
又
∵ 菱形ADCF中，CF=AD=$\frac{5}{2}$，且DG⊥CF，
∴ $S_{菱形ADCF}=\frac{1}{2}×AC×3 = CF×DG$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3 = \frac{5}{2}×DG$，
计算得：$6 = \frac{5}{2}DG$，
解得：$DG=\frac{12}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $DG=\frac{12}{5}$
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形与菱形的判定和性质，结合三角形中位线、勾股定理进行求解，关键是利用菱形面积的两种计算方法建立等式求高，逻辑推导需严谨，整体难度适中。
【难度系数】
0.6
22. (10分)把一个足球竖直向上踢，$t\ \mathrm{s}$后该足球的高度$h\ \mathrm{m}$适用公式$h=-5t^2+at$，已知当足球踢出$4\ \mathrm{s}$后回到地面。
(1)求$a$的值。
(2)若该足球踢出$t\ \mathrm{s}$后和$(t+2)\ \mathrm{s}$后，足球的高度相同，求$t$的值。
(3)是否有可能该足球踢出$(t+1)\ \mathrm{s}$后的高度比踢出$t\ \mathrm{s}$后的高度高$18\ \mathrm{m}$？请通过计算说明理由。
(1)求$a$的值。
(2)若该足球踢出$t\ \mathrm{s}$后和$(t+2)\ \mathrm{s}$后，足球的高度相同，求$t$的值。
(3)是否有可能该足球踢出$(t+1)\ \mathrm{s}$后的高度比踢出$t\ \mathrm{s}$后的高度高$18\ \mathrm{m}$？请通过计算说明理由。
答案
22.(1)由题意得,当$t=4$时,$h=0$。所以$0=-5×4^2+4a$,解得$a=20$。
(2)由(1)得$h=-5t^2+20t$。因为$t\ \mathrm{s}$后和$(t+2)\ \mathrm{s}$后,足球的高度相同,所以$-5t^2+20t=-5(t+2)^2+20(t+2)$,解得$t=1$。
(3)没有可能。理由如下:由题意得$-5(t+1)^2+20(t+1)-(-5t^2+20t)=18$,解得$t=-\dfrac{3}{10}$(不合题意,舍去)。所以不可能该足球踢出$(t+1)\ \mathrm{s}$后的高度比踢出$t\ \mathrm{s}$后的高度高$18\ \mathrm{m}$。
(2)由(1)得$h=-5t^2+20t$。因为$t\ \mathrm{s}$后和$(t+2)\ \mathrm{s}$后,足球的高度相同,所以$-5t^2+20t=-5(t+2)^2+20(t+2)$,解得$t=1$。
(3)没有可能。理由如下:由题意得$-5(t+1)^2+20(t+1)-(-5t^2+20t)=18$,解得$t=-\dfrac{3}{10}$(不合题意,舍去)。所以不可能该足球踢出$(t+1)\ \mathrm{s}$后的高度比踢出$t\ \mathrm{s}$后的高度高$18\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 问题(1)：足球回到地面时高度h=0，对应时间t=4s，将t=4、h=0代入高度公式即可求出a的值；
2. 问题(2)：两个时刻高度相同，即对应h值相等，代入公式得到关于t的方程，解方程即可；
3. 问题(3)：根据“(t+1)s后的高度比ts后高18m”列出方程，求解后判断解是否符合实际意义（时间t需为非负实数），进而得出结论。
【解析】
(1) 当足球回到地面时，高度h=0，此时t=4s，将t=4、h=0代入$h=-5t^2+at$，得：
$0=-5×4^2+4a$，
计算得：$0=-80+4a$，
解得：$a=20$；
(2) 由(1)得$h=-5t^2+20t$，因为ts后和$(t+2)s$后高度相同，所以：
$-5t^2+20t=-5(t+2)^2+20(t+2)$，
展开右边：$-5(t^2+4t+4)+20t+40=-5t^2-20t-20+20t+40=-5t^2+20$，
方程化简为：$-5t^2+20t=-5t^2+20$，
解得：$t=1$；
(3) 假设存在这样的t，根据题意列方程：
$[-5(t+1)^2+20(t+1)] - (-5t^2+20t)=18$，
展开左边：
$-5(t^2+2t+1)+20t+20+5t^2-20t$
$=-5t^2-10t-5+20t+20+5t^2-20t$
$=-10t+15$，
方程变为：$-10t+15=18$，
解得：$t=-\frac{3}{10}$，
因为时间t≥0，$t=-\frac{3}{10}$不符合实际意义，所以不存在这样的t，即不可能。
【答案】
(1)$a=20$；(2)$t=1$；(3)不可能。
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题的取值判断。
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将实际问题转化为数学方程，需注意实际问题中变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，整体为常规应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：
1. 问题(1)：足球回到地面时高度h=0，对应时间t=4s，将t=4、h=0代入高度公式即可求出a的值；
2. 问题(2)：两个时刻高度相同，即对应h值相等，代入公式得到关于t的方程，解方程即可；
3. 问题(3)：根据“(t+1)s后的高度比ts后高18m”列出方程，求解后判断解是否符合实际意义（时间t需为非负实数），进而得出结论。
【解析】
(1) 当足球回到地面时，高度h=0，此时t=4s，将t=4、h=0代入$h=-5t^2+at$，得：
$0=-5×4^2+4a$，
计算得：$0=-80+4a$，
解得：$a=20$；
(2) 由(1)得$h=-5t^2+20t$，因为ts后和$(t+2)s$后高度相同，所以：
$-5t^2+20t=-5(t+2)^2+20(t+2)$，
展开右边：$-5(t^2+4t+4)+20t+40=-5t^2-20t-20+20t+40=-5t^2+20$，
方程化简为：$-5t^2+20t=-5t^2+20$，
解得：$t=1$；
(3) 假设存在这样的t，根据题意列方程：
$[-5(t+1)^2+20(t+1)] - (-5t^2+20t)=18$，
展开左边：
$-5(t^2+2t+1)+20t+20+5t^2-20t$
$=-5t^2-10t-5+20t+20+5t^2-20t$
$=-10t+15$，
方程变为：$-10t+15=18$，
解得：$t=-\frac{3}{10}$，
因为时间t≥0，$t=-\frac{3}{10}$不符合实际意义，所以不存在这样的t，即不可能。
【答案】
(1)$a=20$；(2)$t=1$；(3)不可能。
【知识点】
二次函数的应用，一元二次方程的解法，实际问题的取值判断。
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数与一元二次方程的综合应用，解题核心是将实际问题转化为数学方程，需注意实际问题中变量的取值范围，避免出现不符合实际的解，整体为常规应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
