登录
23. (10分)如图,已知在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ ABC=36°$,将$△ ABC$绕点A按逆时针方向旋转,得到$△ ADE$(D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为$α$($0°＜α＜108°$),线段AD,BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N,连结BD。
(1)当$BD// AC$时,直接写出旋转角$α$的度数。
(2)在(1)的条件下,判断四边形ABOE是什么特殊的四边形。请说明理由。
(3)直接写出当$△ DOM$是等腰三角形时旋转角$α$的度数。
(1)当$BD// AC$时,直接写出旋转角$α$的度数。
(2)在(1)的条件下,判断四边形ABOE是什么特殊的四边形。请说明理由。
(3)直接写出当$△ DOM$是等腰三角形时旋转角$α$的度数。
答案
23.(1)因为$AB=AC$,$∠ ABC=36°$,所以$∠ BAC=108°$,$∠ ACB=36°$。因为$BD// AC$,所以$∠ CBD=∠ ACB=36°$。所以$∠ ABD=∠ ABC+∠ CBD=72°$。因为$AB=AD$,所以$∠ ADB=∠ ABD=72°$。所以$∠ BAD=36°$,即$α=36°$。
(2)四边形$ABOE$为菱形。理由如下:由旋转知,$∠ ADE=∠ ABC=36°$,旋转角$∠ BAD=36°$,所以$∠ BAD=∠ ADE$。所以$AB// DE$。因为$AB=AC$,所以$∠ C=∠ ABC=36°$。因为旋转角$∠ EAC=36°$,所以$∠ C=∠ EAC$。所以$AE// BC$。所以四边形$ABOE$为平行四边形。由旋转知$AE=AC$,又因为$AB=AC$,所以$AB=AE$。所以$□ ABOE$为菱形。
(3)当$DM=OM$时,如图1。由旋转可知$∠ ADE=∠ ABC=36°$,$∠ E=∠ C=36°$,因为$DM=OM$,所以$∠ ODM=∠ DOM=36°$。所以$∠ CON=∠ DOM=36°$。所以$∠ CON=∠ E$。所以$AE// OC$,所以$α=∠ CAE=∠ C=36°$。当$DM=OD$时,如图2。因为$∠ D=36°$,所以$∠ DMO=∠ DOM=72°$。所以$∠ AMB=72°$。所以$∠ BAM=180°-∠ B-∠ AMB=72°$。所以$α=∠ BAD=72°$。当$OM=OD$时,则$∠ DOM=108°$,明显不符合题意,故舍去。综上所述,旋转角$α$的度数为$36°$或$72°$。
解析
【分析】
首先，根据等腰三角形△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，可求出∠BAC=108°，旋转后△ADE≌△ABC，故AB=AD，对应角相等。
(1) 当BD//AC时，利用平行线内错角相等得∠CBD=∠ACB=36°，结合∠ABC=36°得∠ABD=72°，再由AB=AD得∠ADB=∠ABD=72°，从而算出∠BAD=36°，即旋转角α=36°；
(2) 在α=36°的条件下，利用旋转性质得∠ADE=∠ABC=36°，故∠BAD=∠ADE，推出AB//DE；再由∠EAC=α=36°=∠C，推出AE//BC，得四边形ABOE是平行四边形，又AB=AC=AE，故邻边相等，判定为菱形；
(3) 分△DOM为等腰的三种情况：DM=OM、DM=OD、OM=OD，其中OM=OD时不符合题意舍去，前两种情况分别算出α=36°和72°。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠ABC=36°，
∴ ∠ACB=∠ABC=36°，∠BAC=180°-36°-36°=108°。
∵ △ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=α。
∵ BD//AC，
∴ ∠CBD=∠ACB=36°，
∴ ∠ABD=∠ABC+∠CBD=36°+36°=72°。
∵ AB=AD，
∴ ∠ADB=∠ABD=72°，
∴ ∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-72°-72°=36°，即α=36°。
(2) 四边形ABOE是菱形，理由如下：
由旋转性质得：∠ADE=∠ABC=36°，∠BAD=α=36°，
∴ ∠BAD=∠ADE，
∴ AB//DE（内错角相等，两直线平行）。
∵ 旋转角∠EAC=α=36°，且∠ACB=36°，
∴ ∠EAC=∠ACB，
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ 四边形ABOE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ 旋转得AE=AC，且AB=AC，
∴ AB=AE，
∴ 平行四边形ABOE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(3) 分三种情况讨论△DOM为等腰三角形：
① 当DM=OM时，
∵ 旋转得∠ADE=∠ABC=36°，
∴ ∠ODM=∠DOM=36°，
∴ ∠CON=∠DOM=36°，
又
∵ ∠E=∠ACB=36°，
∴ ∠CON=∠E，
∴ AE//OC，
∴ α=∠CAE=∠ACB=36°；
② 当DM=OD时，
∵ ∠D=36°，
∴ ∠DMO=∠DOM=(180°-36°)/2=72°，
∴ ∠AMB=∠DMO=72°，
在△ABM中，∠BAM=180°-∠ABC-∠AMB=180°-36°-72°=72°，
∴ α=∠BAD=72°；
③ 当OM=OD时，∠DOM=108°，此时∠DMO=∠DOM=108°，不符合三角形内角和，舍去。
综上，α=36°或72°。
【答案】
(1) 36°；
(2) 四边形ABOE为菱形，理由见解析；
(3) 36°或72°。
【知识点】
等腰三角形性质、旋转的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质、旋转性质、平行线与特殊四边形的判定，需结合图形分情况讨论，逻辑要求较高，是综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
首先，根据等腰三角形△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，可求出∠BAC=108°，旋转后△ADE≌△ABC，故AB=AD，对应角相等。
(1) 当BD//AC时，利用平行线内错角相等得∠CBD=∠ACB=36°，结合∠ABC=36°得∠ABD=72°，再由AB=AD得∠ADB=∠ABD=72°，从而算出∠BAD=36°，即旋转角α=36°；
(2) 在α=36°的条件下，利用旋转性质得∠ADE=∠ABC=36°，故∠BAD=∠ADE，推出AB//DE；再由∠EAC=α=36°=∠C，推出AE//BC，得四边形ABOE是平行四边形，又AB=AC=AE，故邻边相等，判定为菱形；
(3) 分△DOM为等腰的三种情况：DM=OM、DM=OD、OM=OD，其中OM=OD时不符合题意舍去，前两种情况分别算出α=36°和72°。
【解析】
(1)
∵ AB=AC，∠ABC=36°，
∴ ∠ACB=∠ABC=36°，∠BAC=180°-36°-36°=108°。
∵ △ABC绕点A逆时针旋转得△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=α。
∵ BD//AC，
∴ ∠CBD=∠ACB=36°，
∴ ∠ABD=∠ABC+∠CBD=36°+36°=72°。
∵ AB=AD，
∴ ∠ADB=∠ABD=72°，
∴ ∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-72°-72°=36°，即α=36°。
(2) 四边形ABOE是菱形，理由如下：
由旋转性质得：∠ADE=∠ABC=36°，∠BAD=α=36°，
∴ ∠BAD=∠ADE，
∴ AB//DE（内错角相等，两直线平行）。
∵ 旋转角∠EAC=α=36°，且∠ACB=36°，
∴ ∠EAC=∠ACB，
∴ AE//BC（内错角相等，两直线平行）。
∴ 四边形ABOE是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ 旋转得AE=AC，且AB=AC，
∴ AB=AE，
∴ 平行四边形ABOE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(3) 分三种情况讨论△DOM为等腰三角形：
① 当DM=OM时，
∵ 旋转得∠ADE=∠ABC=36°，
∴ ∠ODM=∠DOM=36°，
∴ ∠CON=∠DOM=36°，
又
∵ ∠E=∠ACB=36°，
∴ ∠CON=∠E，
∴ AE//OC，
∴ α=∠CAE=∠ACB=36°；
② 当DM=OD时，
∵ ∠D=36°，
∴ ∠DMO=∠DOM=(180°-36°)/2=72°，
∴ ∠AMB=∠DMO=72°，
在△ABM中，∠BAM=180°-∠ABC-∠AMB=180°-36°-72°=72°，
∴ α=∠BAD=72°；
③ 当OM=OD时，∠DOM=108°，此时∠DMO=∠DOM=108°，不符合三角形内角和，舍去。
综上，α=36°或72°。
【答案】
(1) 36°；
(2) 四边形ABOE为菱形，理由见解析；
(3) 36°或72°。
【知识点】
等腰三角形性质、旋转的性质、菱形的判定
【点评】
本题综合考查等腰三角形性质、旋转性质、平行线与特殊四边形的判定，需结合图形分情况讨论，逻辑要求较高，是综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.5
