23. (11分)如图1,在正方形ABCD中,E为边CD上一点,将△AED沿AE翻折得到△AEF,延长EF交BC边于点N.
(1)求证:∠BAN + ∠EAD = 45°；
(2)如图2,连接CF,若CF//AE,求证:BA = 3BN；
(3)如图3,连接BD,交AE于点G,交AF于点H,交AN于点M,HQ⊥AD,点Q为垂足,$\frac{AQ}{HQ}=\frac{3}{4}$,若DG = 2,BG = 4,求FH的长.

【点拨】本题考查翻折的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,
$\therefore AB = AD$,$∠ B = ∠ D = ∠ BAD = 90°$.
$\because$ 将 $△ AED$ 沿 $AE$ 翻折得到 $△ AEF$,
$\therefore AF = AD$,$∠ AFE = ∠ D$,$∠ FAE = ∠ DAE$,
$\therefore ∠ B = ∠ AFN = ∠ AFE = 90°$,$AB = AF$.
$\because AN = AN$,$\therefore \mathrm{Rt} △ ABN ≌ \mathrm{Rt} △ AFN(\mathrm{HL})$,
$\therefore ∠ BAN = ∠ FAN$,
$\therefore ∠ BAN + ∠ EAD = \frac{1}{2}∠ BAD = 45°$.
(2)证明:如题图 2,连接 $DF$.
$\because$ 将 $△ AED$ 沿 $AE$ 翻折得到 $△ AEF$,
$\therefore EF = DE$,$∠ AEF = ∠ AED$.
$\because CF // AE$,
$\therefore ∠ EFC = ∠ AEF$,$∠ ECF = ∠ AED$,
$\therefore ∠ EFC = ∠ ECF$,
$\therefore EF = CE = DE$.
$\because \mathrm{Rt} △ ABN ≌ \mathrm{Rt} △ AFN$,$\therefore BN = NF$.
设 $EF = CE = DE = a$,$BN = NF = b$,
$\therefore BC = CD = 2a$,$EN = a + b$,
$\therefore CN = 2a - b$.
$\because ∠ BCD = 90°$,
$\therefore CN^2 + CE^2 = EN^2$,
$\therefore (2a - b)^2 + a^2 = (a + b)^2$,$\therefore 2a = 3b$,
$\therefore BA = 3BN$.
(3)如题图 3,过点 $H$ 作 $HP ⊥ AB$ 于点 $P$,则 $△ BPH$ 是等腰直角三角形,四边形 $APHQ$ 是矩形,
$\therefore BP = PH = AQ$,$AP = QH$.
$\because DG = 2$,$BG = 4$,$\therefore BD = 6$,
$\therefore AB = \frac{\sqrt{2}}{2}BD = 3\sqrt{2}$.
$\because \frac{AQ}{HQ} = \frac{3}{4}$,
$\therefore$ 设 $AQ = 3x$,$QH = 4x$,
$\therefore AP = HQ = 4x$,$BP = PH = AQ = 3x$,
$\therefore AB = 7x = 3\sqrt{2}$,$\therefore x = \frac{3\sqrt{2}}{7}$,
$\therefore AQ = \frac{9\sqrt{2}}{7}$,$QH = \frac{12\sqrt{2}}{7}$,
$\therefore AH = \sqrt{AQ^2 + QH^2} = \frac{15\sqrt{2}}{7}$.
$\because AF = AB = 3\sqrt{2}$,
$\therefore FH = AF - AH = 3\sqrt{2} - \frac{15\sqrt{2}}{7} = \frac{6\sqrt{2}}{7}$.

【分析】
本题是正方形与翻折结合的几何综合题，分三小问逐步突破：
(1) 利用正方形边长相等、翻折后对应边和角相等，通过HL证明Rt△ABN≌Rt△AFN，得到角的关系，结合正方形直角为90°，推导出∠BAN + ∠EAD = 45°；
(2) 由翻折得EF=DE，结合CF//AE，利用平行线内错角相等推出CE=EF，再设未知数，在Rt△ECN中用勾股定理建立方程，化简后得到BA与BN的数量关系；
(3) 先根据BD的长度求正方形边长，过H作辅助线构造矩形和等腰直角三角形，结合AQ/HQ=3/4设未知数，利用AB的长度求出x，进而算出AH，再由AF=AB，计算FH=AF - AH。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°。
∵将△AED沿AE翻折得到△AEF，
∴AF=AD，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，
∴∠B=∠AFN=90°，且AB=AF。
又
∵AN=AN，
∴Rt△ABN≌Rt△AFN（HL），
∴∠BAN=∠FAN，
∴∠BAN + ∠EAD = ∠FAN + ∠FAE = ∠NAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = 45°。
(2) 证明：连接DF，
∵△AED沿AE翻折得△AEF，
∴EF=DE，∠AEF=∠AED。
∵CF//AE，
∴∠EFC=∠AEF，∠ECF=∠AED，
∴∠EFC=∠ECF，故EF=CE，
∴CE=EF=DE，即CD=2CE。
由(1)中Rt△ABN≌Rt△AFN得BN=NF，
设EF=CE=DE=a，BN=NF=b，
则BC=CD=2a，EN=EF + NF=a + b，CN=BC - BN=2a - b。
在Rt△ECN中，∠ECN=90°，由勾股定理：
CN² + CE² = EN²，即$(2a - b)^2 + a^2 = (a + b)^2$，
展开化简得$2a = 3b$，
又
∵BA=BC=2a，BN=b，
∴BA=3BN。
(3) 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD是对角线，BD=DG + BG=2 + 4=6，
∴AB=$\frac{BD}{\sqrt{2}}$=$\frac{6}{\sqrt{2}}$=3$\sqrt{2}$。
过H作HP⊥AB于P，
∵HQ⊥AD，∠BAD=90°，
∴四边形APHQ是矩形，故AP=HQ，AQ=PH。
又
∵BD是正方形对角线，∠ABD=45°，
∴△BPH是等腰直角三角形，BP=PH，
∴BP=PH=AQ，AP=HQ。
设AQ=3x，HQ=4x，由$\frac{AQ}{HQ}=\frac{3}{4}$，
则BP=AQ=3x，AP=HQ=4x，
∴AB=AP + BP=4x + 3x=7x=3$\sqrt{2}$，解得x=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，
∴AQ=3×$\frac{3\sqrt{2}}{7}$=$\frac{9\sqrt{2}}{7}$，HQ=4×$\frac{3\sqrt{2}}{7}$=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
在Rt△AHQ中，AH=$\sqrt{AQ^2 + HQ^2}$=$\sqrt{(\frac{9\sqrt{2}}{7})^2 + (\frac{12\sqrt{2}}{7})^2}$=$\frac{15\sqrt{2}}{7}$。
由翻折知AF=AD=AB=3$\sqrt{2}$，
∴FH=AF - AH=3$\sqrt{2}$ - $\frac{15\sqrt{2}}{7}$=$\frac{6\sqrt{2}}{7}$。
【答案】
$\frac{6\sqrt{2}}{7}$
【知识点】
正方形性质、翻折变换、勾股定理
【点评】
本题是正方形与翻折结合的综合几何题，综合考查全等三角形、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，需熟练运用正方形性质和翻折的不变性，通过设未知数、构造辅助线解决问题，逻辑推理性较强。
【难度系数】
0.5