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21. (10 分)对于求三角形的面积,古今中外不少人都进行了研究,其中比较早且卓有绩效的当数我国古代数学家秦九韶. 他在《数书九章》中记述了“三斜求积术”,即已知三角形的三边长,求它的面积,用现代式子表示即为 $S = \sqrt{\frac{1}{4}[a^2b^2 - (\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2})^2]} ··· ①$ (其中 $a,b,c$ 为三角形的三边长,$S$ 为面积).
(1)若已知三角形的三边长分别为 3,5,7,试运用公式①,计算该三角形的面积 $S$;
(2)国外有求三角形面积的“海伦公式”: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} ··· ②$ (其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$). 请你取一组你喜欢的 $a,b,c$ 值,验算公式①、公式②的结果是否一样?
(1)若已知三角形的三边长分别为 3,5,7,试运用公式①,计算该三角形的面积 $S$;
(2)国外有求三角形面积的“海伦公式”: $S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)} ··· ②$ (其中 $p = \frac{a + b + c}{2}$). 请你取一组你喜欢的 $a,b,c$ 值,验算公式①、公式②的结果是否一样?
答案
【点拨】本题考查二次根式的应用.
【解析】(1)根据公式①,得
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1}{4} × [ 3^2 × 5^2 - ( \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2} )^2 ]} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × ( 225 - \frac{225}{4} )} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3}.\end{aligned}$
(2)取 $a = 3$,$b = 5$,$c = 7$,
根据公式②,得 $p = \frac{3 + 5 + 7}{2} = \frac{15}{2}$,
$\begin{aligned}\therefore S &= \sqrt{\frac{15}{2} × ( \frac{15}{2} - 3 ) × ( \frac{15}{2} - 5 ) × ( \frac{15}{2} - 7 )} \\&= \sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3},\end{aligned}$
$\therefore$ 结合(1)可知,公式①、公式②的结果是一样的.
【解析】(1)根据公式①,得
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1}{4} × [ 3^2 × 5^2 - ( \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2} )^2 ]} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × ( 225 - \frac{225}{4} )} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3}.\end{aligned}$
(2)取 $a = 3$,$b = 5$,$c = 7$,
根据公式②,得 $p = \frac{3 + 5 + 7}{2} = \frac{15}{2}$,
$\begin{aligned}\therefore S &= \sqrt{\frac{15}{2} × ( \frac{15}{2} - 3 ) × ( \frac{15}{2} - 5 ) × ( \frac{15}{2} - 7 )} \\&= \sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3},\end{aligned}$
$\therefore$ 结合(1)可知,公式①、公式②的结果是一样的.
解析
【分析】
第(1)问的解题思路是：已知三角形三边长，直接将数值代入秦九韶的三斜求积公式，按照二次根式的运算规则逐步化简计算，即可得到三角形面积；第(2)问的思路是：选取一组三角形三边长，先根据海伦公式计算半周长p，再代入海伦公式计算面积，最后对比两个公式的计算结果，验证二者是否一致。
【解析】
(1) 将$a=3$，$b=5$，$c=7$代入公式①：
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1}{4} × [ 3^2 × 5^2 - ( \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2} )^2 ]} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × ( 225 - \frac{225}{4} )} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × \frac{675}{4}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3}.\end{aligned}$
(2) 取$a=3$，$b=5$，$c=7$，先计算半周长$p=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$，代入公式②：
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{15}{2} × ( \frac{15}{2} - 3 ) × ( \frac{15}{2} - 5 ) × ( \frac{15}{2} - 7 )} \\&= \sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}} \\&= \sqrt{\frac{675}{16}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3},\end{aligned}$
结合(1)可知，公式①、公式②的计算结果相同。
【答案】
(1) $\frac{15}{4}\sqrt{3}$；(2) 取$a=3,b=5,c=7$时，公式①和②结果一致（答案不唯一，验证合理即可）
【知识点】
二次根式的应用，三角形面积公式
【点评】
本题通过秦九韶公式与海伦公式的应用，考查二次根式的运算，同时验证了两个三角形面积公式的等价性，体现了中外古代数学的联系，锻炼学生的运算能力与探究能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问的解题思路是：已知三角形三边长，直接将数值代入秦九韶的三斜求积公式，按照二次根式的运算规则逐步化简计算，即可得到三角形面积；第(2)问的思路是：选取一组三角形三边长，先根据海伦公式计算半周长p，再代入海伦公式计算面积，最后对比两个公式的计算结果，验证二者是否一致。
【解析】
(1) 将$a=3$，$b=5$，$c=7$代入公式①：
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{1}{4} × [ 3^2 × 5^2 - ( \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2} )^2 ]} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × ( 225 - \frac{225}{4} )} \\&= \sqrt{\frac{1}{4} × \frac{675}{4}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3}.\end{aligned}$
(2) 取$a=3$，$b=5$，$c=7$，先计算半周长$p=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}$，代入公式②：
$\begin{aligned}S &= \sqrt{\frac{15}{2} × ( \frac{15}{2} - 3 ) × ( \frac{15}{2} - 5 ) × ( \frac{15}{2} - 7 )} \\&= \sqrt{\frac{15}{2} × \frac{9}{2} × \frac{5}{2} × \frac{1}{2}} \\&= \sqrt{\frac{675}{16}} \\&= \frac{15}{4}\sqrt{3},\end{aligned}$
结合(1)可知，公式①、公式②的计算结果相同。
【答案】
(1) $\frac{15}{4}\sqrt{3}$；(2) 取$a=3,b=5,c=7$时，公式①和②结果一致（答案不唯一，验证合理即可）
【知识点】
二次根式的应用，三角形面积公式
【点评】
本题通过秦九韶公式与海伦公式的应用，考查二次根式的运算，同时验证了两个三角形面积公式的等价性，体现了中外古代数学的联系，锻炼学生的运算能力与探究能力。
【难度系数】
0.6
22. (10分)某环保品牌主营有机棉T恤和再生涤纶短裤,短裤利润每条60元,T恤利润每件58元,利润=售价-成本.
(1)若一次性购进这两种商品共800件(条),设购进T恤x件,且$0≤x≤1.5(800 - x)$,总利润y元不低于20 000元.
①写出y与x的函数关系式;
②写出获利最大的方案;
(2)因局部变革,在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下,T恤成本价每件下降k元,若准备一次性购进这两种商品共600件(条)(其中购进T恤件数不少于300件且不多于500件),总利润y最小值不低于35 600元,求k的取值范围.
·118·
(1)若一次性购进这两种商品共800件(条),设购进T恤x件,且$0≤x≤1.5(800 - x)$,总利润y元不低于20 000元.
①写出y与x的函数关系式;
②写出获利最大的方案;
(2)因局部变革,在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下,T恤成本价每件下降k元,若准备一次性购进这两种商品共600件(条)(其中购进T恤件数不少于300件且不多于500件),总利润y最小值不低于35 600元,求k的取值范围.
·118·
答案
【点拨】本题考查一次函数的应用.
【解析】(1)①根据题意,得 $y = 58x + 60(800 - x) = -2x + 48\ 000$.
$\because 0 ≤ x ≤ 1.5(800 - x)$,
$\therefore 0 ≤ x ≤ 480$,
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -2x + 48\ 000(0 ≤ x ≤ 480)$.
②$\because -2 ＜ 0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x = 0$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为 $-2 × 0 + 48\ 000 = 48\ 000$,此时 $800 - x = 800 - 0 = 800$,
$\therefore$ 购进 800 条短裤时获利最大.
(2)设购进 T 恤 $a$ 件,则购进短裤 $(600 - a)$ 条,根据题意,得 $y = (58 + k)a + 60(600 - a) = (k - 2)a + 36\ 000$,
当 $k - 2 ＞ 0$,即 $k ＞ 2$ 时,$y$ 随 $a$ 的增大而增大,
$\because 300 ≤ a ≤ 500$,$\therefore 300(k - 2) + 36\ 000 ＞ 35\ 600$,符合题意;
当 $k - 2 = 0$,即 $k = 2$ 时,$y = 36\ 000 ＞ 35\ 600$,符合题意;
当 $k - 2 ＜ 0$,即 $k ＜ 2$ 时,$y$ 随 $a$ 的增大而减小.
$\because 300 ≤ a ≤ 500$,
$\therefore 500(k - 2) + 36\ 000 ≥ 35\ 600$,解得 $k ≥ 1.2$,
$\therefore 1.2 ≤ k ＜ 2$.
综上所述,$k$ 的取值范围是 $k ≥ 1.2$.
【解析】(1)①根据题意,得 $y = 58x + 60(800 - x) = -2x + 48\ 000$.
$\because 0 ≤ x ≤ 1.5(800 - x)$,
$\therefore 0 ≤ x ≤ 480$,
$\therefore y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = -2x + 48\ 000(0 ≤ x ≤ 480)$.
②$\because -2 ＜ 0$,$\therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小,
$\therefore$ 当 $x = 0$ 时,$y$ 取得最大值,最大值为 $-2 × 0 + 48\ 000 = 48\ 000$,此时 $800 - x = 800 - 0 = 800$,
$\therefore$ 购进 800 条短裤时获利最大.
(2)设购进 T 恤 $a$ 件,则购进短裤 $(600 - a)$ 条,根据题意,得 $y = (58 + k)a + 60(600 - a) = (k - 2)a + 36\ 000$,
当 $k - 2 ＞ 0$,即 $k ＞ 2$ 时,$y$ 随 $a$ 的增大而增大,
$\because 300 ≤ a ≤ 500$,$\therefore 300(k - 2) + 36\ 000 ＞ 35\ 600$,符合题意;
当 $k - 2 = 0$,即 $k = 2$ 时,$y = 36\ 000 ＞ 35\ 600$,符合题意;
当 $k - 2 ＜ 0$,即 $k ＜ 2$ 时,$y$ 随 $a$ 的增大而减小.
$\because 300 ≤ a ≤ 500$,
$\therefore 500(k - 2) + 36\ 000 ≥ 35\ 600$,解得 $k ≥ 1.2$,
$\therefore 1.2 ≤ k ＜ 2$.
综上所述,$k$ 的取值范围是 $k ≥ 1.2$.
解析
【分析】
本题是一次函数在实际利润问题中的应用，分两小问求解：
1. 第(1)问：首先根据总利润=T恤总利润+短裤总利润，列出y与x的函数关系式；再根据题目给出的x的约束条件，确定x的取值范围；最后根据一次函数的增减性，找到使总利润最大的x值，确定最优进货方案。
2. 第(2)问：T恤成本下降k元后，调整T恤单件利润，同理列出总利润函数式；再根据k-2的正负分情况讨论函数增减性，结合a的取值范围，让总利润最小值不低于35600元，解出k的取值范围。
【解析】
(1) ① 根据总利润=T恤利润+短裤利润，购进T恤x件时，短裤为(800-x)件，因此：
$y = 58x + 60(800 - x) = -2x + 48000$。
由约束条件$0 ≤ x ≤ 1.5(800 - x)$，解不等式得$0 ≤ x ≤ 480$，故y与x的函数关系式为：
$y = -2x + 48000(0 ≤ x ≤ 480)$。
② 因为一次函数$y = -2x + 48000$中，斜率$-2 ＜ 0$，所以y随x的增大而减小。因此当x取最小值时，y取得最大值：
当$x=0$时，$y_{max} = -2×0 + 48000 = 48000$，此时短裤数量为$800 - 0 = 800$条。
故获利最大的方案是购进800条短裤，不购进T恤。
(2) 设购进T恤a件，则短裤为$(600 - a)$条，其中$300 ≤ a ≤ 500$。调整后T恤单件利润为$(58 + k)$元，总利润：
$y = (58 + k)a + 60(600 - a) = (k - 2)a + 36000$。
分三种情况讨论：
① 当$k - 2 ＞ 0$（即$k ＞ 2$）时，y随a增大而增大，总利润最小值在$a=300$时取得，代入得$300(k - 2) + 36000 ＞ 35600$，符合题意；
② 当$k - 2 = 0$（即$k=2$）时，$y=36000 ＞ 35600$，符合题意；
③ 当$k - 2 ＜ 0$（即$k ＜ 2$）时，y随a增大而减小，总利润最小值在$a=500$时取得，代入得$500(k - 2) + 36000 ≥ 35600$，解得$k ≥ 1.2$，结合$k ＜ 2$得$1.2 ≤ k ＜ 2$。
综上，k的取值范围是$k ≥ 1.2$。
【答案】
(1) ① $y = -2x + 48000(0 ≤ x ≤ 480)$；② 购进800条短裤时获利最大；(2) $k ≥ 1.2$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际利润场景，考查一次函数的增减性及分类讨论思想，需要学生准确梳理变量关系，根据函数性质和不等式求解，注重数学知识在实际问题中的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.5
本题是一次函数在实际利润问题中的应用，分两小问求解：
1. 第(1)问：首先根据总利润=T恤总利润+短裤总利润，列出y与x的函数关系式；再根据题目给出的x的约束条件，确定x的取值范围；最后根据一次函数的增减性，找到使总利润最大的x值，确定最优进货方案。
2. 第(2)问：T恤成本下降k元后，调整T恤单件利润，同理列出总利润函数式；再根据k-2的正负分情况讨论函数增减性，结合a的取值范围，让总利润最小值不低于35600元，解出k的取值范围。
【解析】
(1) ① 根据总利润=T恤利润+短裤利润，购进T恤x件时，短裤为(800-x)件，因此：
$y = 58x + 60(800 - x) = -2x + 48000$。
由约束条件$0 ≤ x ≤ 1.5(800 - x)$，解不等式得$0 ≤ x ≤ 480$，故y与x的函数关系式为：
$y = -2x + 48000(0 ≤ x ≤ 480)$。
② 因为一次函数$y = -2x + 48000$中，斜率$-2 ＜ 0$，所以y随x的增大而减小。因此当x取最小值时，y取得最大值：
当$x=0$时，$y_{max} = -2×0 + 48000 = 48000$，此时短裤数量为$800 - 0 = 800$条。
故获利最大的方案是购进800条短裤，不购进T恤。
(2) 设购进T恤a件，则短裤为$(600 - a)$条，其中$300 ≤ a ≤ 500$。调整后T恤单件利润为$(58 + k)$元，总利润：
$y = (58 + k)a + 60(600 - a) = (k - 2)a + 36000$。
分三种情况讨论：
① 当$k - 2 ＞ 0$（即$k ＞ 2$）时，y随a增大而增大，总利润最小值在$a=300$时取得，代入得$300(k - 2) + 36000 ＞ 35600$，符合题意；
② 当$k - 2 = 0$（即$k=2$）时，$y=36000 ＞ 35600$，符合题意；
③ 当$k - 2 ＜ 0$（即$k ＜ 2$）时，y随a增大而减小，总利润最小值在$a=500$时取得，代入得$500(k - 2) + 36000 ≥ 35600$，解得$k ≥ 1.2$，结合$k ＜ 2$得$1.2 ≤ k ＜ 2$。
综上，k的取值范围是$k ≥ 1.2$。
【答案】
(1) ① $y = -2x + 48000(0 ≤ x ≤ 480)$；② 购进800条短裤时获利最大；(2) $k ≥ 1.2$
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际利润场景，考查一次函数的增减性及分类讨论思想，需要学生准确梳理变量关系，根据函数性质和不等式求解，注重数学知识在实际问题中的应用，综合性较强。
【难度系数】
0.5
