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17. (6分)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别是边AB,CD的中点.求证:$AN = CM$.
答案
【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法.
【解析】证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$M,N$ 分别是边 $AB,CD$ 的中点,
$\therefore AB // CD$,$AB = CD$,$AM = \frac{1}{2}AB$,$CN = \frac{1}{2}CD$,
$\therefore AM = CN$,
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是平行四边形,
$\therefore AN = CM$.
【解析】证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$M,N$ 分别是边 $AB,CD$ 的中点,
$\therefore AB // CD$,$AB = CD$,$AM = \frac{1}{2}AB$,$CN = \frac{1}{2}CD$,
$\therefore AM = CN$,
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是平行四边形,
$\therefore AN = CM$.
解析
【分析】
要证明$AN = CM$，可通过证明四边形$AMCN$是平行四边形来推导。已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得$AB // CD$且$AB = CD$；结合$M$、$N$分别是$AB$、$CD$的中点，能推出$AM = CN$且$AM // CN$，再依据平行四边形的判定定理，即可确定四边形$AMCN$是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得出结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$，
$\because M$，$N$ 分别是边 $AB$，$CD$ 的中点，
$\therefore AM = \frac{1}{2}AB$，$CN = \frac{1}{2}CD$，
$\therefore AM = CN$，
又 $\because AB // CD$，即 $AM // CN$，
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是平行四边形，
$\therefore AN = CM$。
【答案】$AN = CM$
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用，解题核心是利用平行四边形的性质结合中点条件，构造新的平行四边形，进而证明线段相等，侧重考查对基础知识的掌握，属于典型的基础题型。
【难度系数】0.3
要证明$AN = CM$，可通过证明四边形$AMCN$是平行四边形来推导。已知四边形$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得$AB // CD$且$AB = CD$；结合$M$、$N$分别是$AB$、$CD$的中点，能推出$AM = CN$且$AM // CN$，再依据平行四边形的判定定理，即可确定四边形$AMCN$是平行四边形，最后利用平行四边形对边相等的性质得出结论。
【解析】
证明：$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
$\therefore AB // CD$，$AB = CD$，
$\because M$，$N$ 分别是边 $AB$，$CD$ 的中点，
$\therefore AM = \frac{1}{2}AB$，$CN = \frac{1}{2}CD$，
$\therefore AM = CN$，
又 $\because AB // CD$，即 $AM // CN$，
$\therefore$ 四边形 $AMCN$ 是平行四边形，
$\therefore AN = CM$。
【答案】$AN = CM$
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题是平行四边形性质与判定的基础应用，解题核心是利用平行四边形的性质结合中点条件，构造新的平行四边形，进而证明线段相等，侧重考查对基础知识的掌握，属于典型的基础题型。
【难度系数】0.3
18. (6分)按某市电力部门用电收费标准,用户应付电费y(元)与每月用电量x(千瓦时)的关系如图所示.
(1)分别求$0≤x＜50$和$x≥50$时,y与x的函数解析式;
(2)求用电量为180千瓦时的应付电费.
(1)分别求$0≤x＜50$和$x≥50$时,y与x的函数解析式;
(2)求用电量为180千瓦时的应付电费.
答案
【点拨】本题考查一次函数的实际应用,解题的关键是用待定系数法确定函数解析式,再代入具体数值计算费用.
【解析】(1)当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,根据题图可知,应付电费与每月用电量成正比例函数,设当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,函数解析式为 $y = kx(k ≠ 0)$.将 $(50,25)$ 代入得 $k = 0.5$,则 $y = 0.5x$;
当 $x ≥ 50$ 时,根据题图可知,应付电费与每月用电量成一次函数,设当 $x ≥ 50$ 时,函数解析式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$.将 $(50,25)$,$(100,70)$ 代入,得 $k = 0.9$,$b = -20$,则 $y = 0.9x - 20$,$\therefore$ 当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 0.5x$,当 $x ≥ 50$ 时,$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 0.9x - 20$.
(2)当 $x = 180$ 时,$y = 0.9 × 180 - 20 = 142$.
答:用电量为 180 千瓦时的应付电费为 142 元.
【解析】(1)当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,根据题图可知,应付电费与每月用电量成正比例函数,设当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,函数解析式为 $y = kx(k ≠ 0)$.将 $(50,25)$ 代入得 $k = 0.5$,则 $y = 0.5x$;
当 $x ≥ 50$ 时,根据题图可知,应付电费与每月用电量成一次函数,设当 $x ≥ 50$ 时,函数解析式为 $y = kx + b(k ≠ 0)$.将 $(50,25)$,$(100,70)$ 代入,得 $k = 0.9$,$b = -20$,则 $y = 0.9x - 20$,$\therefore$ 当 $0 ≤ x ＜ 50$ 时,$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 0.5x$,当 $x ≥ 50$ 时,$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 0.9x - 20$.
(2)当 $x = 180$ 时,$y = 0.9 × 180 - 20 = 142$.
答:用电量为 180 千瓦时的应付电费为 142 元.
解析
【分析】
这是一次函数在实际生活中的分段应用问题，解题思路为：先根据图像确定不同用电量区间对应的函数类型，0≤x＜50时为正比例函数，x≥50时为一次函数；再用待定系数法分别求出两段的函数解析式；最后根据所求用电量的范围，代入对应解析式计算应付电费。
【解析】
(1) 分两段求函数解析式：
① 当0≤x＜50时，设函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(50,25)$代入得：$25=50k$，解得$k=0.5$，因此该段解析式为$y=0.5x$；
② 当$x≥50$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,25)$、$(100,70)$代入得方程组：
$\begin{cases}50k + b = 25 \\100k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$50k=45$，解得$k=0.9$；将$k=0.9$代入$50k + b=25$，得$45 + b=25$，解得$b=-20$，因此该段解析式为$y=0.9x -20$；
综上，$0≤x＜50$时，$y=0.5x$；$x≥50$时，$y=0.9x -20$。
(2) 当用电量$x=180$千瓦时，因$180≥50$，代入$x≥50$时的解析式：
$y=0.9×180 -20=162 -20=142$（元）。
【答案】
0≤x＜50时，$y=0.5x$；$x≥50$时，$y=0.9x -20$；用电量为180千瓦时的应付电费为142元。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是分段一次函数的实际应用，核心是利用待定系数法确定不同区间的函数关系，属于基础应用题，考查学生对一次函数实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
这是一次函数在实际生活中的分段应用问题，解题思路为：先根据图像确定不同用电量区间对应的函数类型，0≤x＜50时为正比例函数，x≥50时为一次函数；再用待定系数法分别求出两段的函数解析式；最后根据所求用电量的范围，代入对应解析式计算应付电费。
【解析】
(1) 分两段求函数解析式：
① 当0≤x＜50时，设函数解析式为$y=kx(k≠0)$，将点$(50,25)$代入得：$25=50k$，解得$k=0.5$，因此该段解析式为$y=0.5x$；
② 当$x≥50$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(50,25)$、$(100,70)$代入得方程组：
$\begin{cases}50k + b = 25 \\100k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$50k=45$，解得$k=0.9$；将$k=0.9$代入$50k + b=25$，得$45 + b=25$，解得$b=-20$，因此该段解析式为$y=0.9x -20$；
综上，$0≤x＜50$时，$y=0.5x$；$x≥50$时，$y=0.9x -20$。
(2) 当用电量$x=180$千瓦时，因$180≥50$，代入$x≥50$时的解析式：
$y=0.9×180 -20=162 -20=142$（元）。
【答案】
0≤x＜50时，$y=0.5x$；$x≥50$时，$y=0.9x -20$；用电量为180千瓦时的应付电费为142元。
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题是分段一次函数的实际应用，核心是利用待定系数法确定不同区间的函数关系，属于基础应用题，考查学生对一次函数实际应用的掌握程度。
【难度系数】
0.6
19. (7分)如图,单摆绕点C左右摆动,摆绳长度为6 cm. AB处于水平位置,CD为单摆停止运动后的静止位置.摆动过程中CE为某一瞬时状态,此时$∠ ACE = 60°$,求点E相对于点D升高的长度.
答案
【点拨】本题考查勾股定理的应用,解题的关键是作辅助线构造直角三角形,利用含 $30°$ 角的直角三角形的性质和勾股定理求解.
【解析】如题图,过点 $E$ 作 $EH ⊥ CD$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt} △ CEH$ 中,$CE = 6\ \mathrm{cm}$,$∠ HCE = 90° - ∠ ACE = 30°$,
$\therefore EH = \frac{1}{2}CE = 3(\mathrm{cm})$,
$\therefore CH = \sqrt{CE^2 - EH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore DH = CD - CH = (6 - 3\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 点 $E$ 相对于点 $D$ 升高的长度为 $(6 - 3\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$.
【解析】如题图,过点 $E$ 作 $EH ⊥ CD$ 于点 $H$.
在 $\mathrm{Rt} △ CEH$ 中,$CE = 6\ \mathrm{cm}$,$∠ HCE = 90° - ∠ ACE = 30°$,
$\therefore EH = \frac{1}{2}CE = 3(\mathrm{cm})$,
$\therefore CH = \sqrt{CE^2 - EH^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = 3\sqrt{3}(\mathrm{cm})$,
$\therefore DH = CD - CH = (6 - 3\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 点 $E$ 相对于点 $D$ 升高的长度为 $(6 - 3\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$.
解析
【分析】要解决这个问题，首先明确单摆的摆绳长度相等，即CE=CD=6cm；要求点E相对于点D升高的长度，需转化为竖直方向的线段差，因此过点E作EH⊥CD于H，构造直角三角形CEH，利用已知的∠ACE=60°求出∠HCE=30°，再结合含30°角的直角三角形性质和勾股定理计算CH的长度，最后通过DH=CD-CH得到所求的升高长度。
【解析】过点E作EH⊥CD于点H。
∵摆绳长度为6cm，
∴CE=CD=6cm。
在Rt△CEH中，∠HCE=90°−∠ACE=90°−60°=30°，
∴EH=½CE=½×6=3(cm)，
由勾股定理得：CH=√(CE²−EH²)=√(6²−3²)=3√3(cm)，
∴DH=CD−CH=6−3√3(cm)，
即点E相对于点D升高的长度为(6−3√3)cm。
【答案】(6−3√3)cm
【知识点】勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】本题结合单摆的实际场景，考查直角三角形相关性质的应用，核心是将实际问题转化为几何中的线段计算问题，关键在于构造合适的直角三角形，难度中等，需要学生具备一定的几何转化能力。
【难度系数】0.5
【解析】过点E作EH⊥CD于点H。
∵摆绳长度为6cm，
∴CE=CD=6cm。
在Rt△CEH中，∠HCE=90°−∠ACE=90°−60°=30°，
∴EH=½CE=½×6=3(cm)，
由勾股定理得：CH=√(CE²−EH²)=√(6²−3²)=3√3(cm)，
∴DH=CD−CH=6−3√3(cm)，
即点E相对于点D升高的长度为(6−3√3)cm。
【答案】(6−3√3)cm
【知识点】勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】本题结合单摆的实际场景，考查直角三角形相关性质的应用，核心是将实际问题转化为几何中的线段计算问题，关键在于构造合适的直角三角形，难度中等，需要学生具备一定的几何转化能力。
【难度系数】0.5
20. (8分)某校组织八年级全体学生参加“城市文化探索”研学旅行活动,要求每人参观并打卡4~7个历史景点.活动结束后,为评估任务完成情况,随机抽查了20名学生每人的参观景点数,并根据数量分成四种类型:A:4个;B:5个;C:6个;D:7个.在将上述抽样的各类人数绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图时,经确认,扇形统计图正确反映了样本数据的分布,而条形统计图存在一处错误.
(1)指出条形统计图中存在的错误,并判断该错误是否影响样本数据的众数的判定;
(2)学校计划为参观景点数不少于6个的学生颁发“优秀文化探索者”电子勋章.利用样本数据,估计全校八年级学生中获得该勋章的总人数为160名,试估算该校八年级学生人数.
(1)指出条形统计图中存在的错误,并判断该错误是否影响样本数据的众数的判定;
(2)学校计划为参观景点数不少于6个的学生颁发“优秀文化探索者”电子勋章.利用样本数据,估计全校八年级学生中获得该勋章的总人数为160名,试估算该校八年级学生人数.
答案
【点拨】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用,解题的关键是读懂统计图并从不同的统计图中得到必要的信息.
【解析】(1)$20 × 10\% = 2$(人),
$\therefore$ 条形统计图中 D 类型对应人数应为 2,故 D 类型对应人数出错.
$\because$ B 类型的频数正确,
$\therefore$ 条形统计图中 D 类型对应人数出错不影响众数的判定.
(2)$160 ÷ \frac{6 + 2}{20} = 400$(人).
答:估算该校八年级学生人数为 400 人.
【解析】(1)$20 × 10\% = 2$(人),
$\therefore$ 条形统计图中 D 类型对应人数应为 2,故 D 类型对应人数出错.
$\because$ B 类型的频数正确,
$\therefore$ 条形统计图中 D 类型对应人数出错不影响众数的判定.
(2)$160 ÷ \frac{6 + 2}{20} = 400$(人).
答:估算该校八年级学生人数为 400 人.
解析
【分析】
首先明确抽样的样本容量为20，结合扇形统计图中各类型的百分比，可计算出各类型的正确人数，对比条形统计图找出错误；众数是一组数据中出现次数最多的数，需看各类型人数的多少，判断错误是否影响；第二问利用样本中“参观景点数不少于6个”的人数占比，结合全校获得勋章的人数，用样本估计总体的方法计算总人数。
【解析】
(1) 已知抽样的学生总数为20人，根据扇形统计图，D类型占比10%，则D类型的正确人数为：$20 × 10\% = 2$（人）。
观察条形统计图，D类型对应人数为3，因此条形统计图中D类型对应人数出错。
众数是一组数据中出现次数最多的数，样本中A类型4人、B类型8人、C类型6人，即使D类型人数修正为2，出现次数最多的仍是B类型，故该错误不影响样本数据的众数判定。
(2) 参观景点数不少于6个的是C类型（6个）和D类型（7个），样本中这两类的总人数为：$6 + 2 = 8$（人），占样本的比例为$\frac{8}{20}$。
设该校八年级学生总人数为$x$，根据题意得：$\frac{8}{20}x = 160$，解得$x = 160 ÷ \frac{8}{20} = 400$（人）。
【答案】
(1) 条形统计图中D类型对应人数错误，应为2人；该错误不影响样本数据的众数判定；(2) 该校八年级学生人数约为400人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题是统计知识的综合应用题，结合条形统计图和扇形统计图的信息解决实际问题，考查了统计量（众数）的理解和用样本估计总体的方法，难度适中，需准确提取两种统计图的有效信息。
【难度系数】
0.6
首先明确抽样的样本容量为20，结合扇形统计图中各类型的百分比，可计算出各类型的正确人数，对比条形统计图找出错误；众数是一组数据中出现次数最多的数，需看各类型人数的多少，判断错误是否影响；第二问利用样本中“参观景点数不少于6个”的人数占比，结合全校获得勋章的人数，用样本估计总体的方法计算总人数。
【解析】
(1) 已知抽样的学生总数为20人，根据扇形统计图，D类型占比10%，则D类型的正确人数为：$20 × 10\% = 2$（人）。
观察条形统计图，D类型对应人数为3，因此条形统计图中D类型对应人数出错。
众数是一组数据中出现次数最多的数，样本中A类型4人、B类型8人、C类型6人，即使D类型人数修正为2，出现次数最多的仍是B类型，故该错误不影响样本数据的众数判定。
(2) 参观景点数不少于6个的是C类型（6个）和D类型（7个），样本中这两类的总人数为：$6 + 2 = 8$（人），占样本的比例为$\frac{8}{20}$。
设该校八年级学生总人数为$x$，根据题意得：$\frac{8}{20}x = 160$，解得$x = 160 ÷ \frac{8}{20} = 400$（人）。
【答案】
(1) 条形统计图中D类型对应人数错误，应为2人；该错误不影响样本数据的众数判定；(2) 该校八年级学生人数约为400人。
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题是统计知识的综合应用题，结合条形统计图和扇形统计图的信息解决实际问题，考查了统计量（众数）的理解和用样本估计总体的方法，难度适中，需准确提取两种统计图的有效信息。
【难度系数】
0.6
