24. (12 分)如图,直线 $l_1:y=-2x+6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$,与 $y$ 轴交于点 $B$,点 $C$ 的坐标为$(1,0), CH ⊥ l_1$, $H$ 为垂足.
(1)求 $A,B$ 两点的坐标;
(2)直线 $l_2:y=mx-m$ 与直线 $l_1$ 相交于点 $P$.
①若直线 $l_1,l_2$ 夹角为 $45°$,求点 $P$ 的坐标;
②若$\frac{1}{3}S_{△ ACP} ≤ S_{△ HCP} ≤ \frac{1}{2}S_{△ ACP}$,求 $m$ 的取值范围.

【点拨】本题考查一次函数的图象及性质,全等三角形的判定及性质.
【解析】(1)在 $y = -2x + 6$ 中,当 $y = 0$ 时,$x = 3$,$\therefore A(3,0)$,当 $x = 0$ 时,$y = 6$,$\therefore B(0,6)$.
(2)①$\because y = mx - m = m(x - 1)$,
$\therefore$ 直线 $l_2$ 过定点 $C(1,0)$.
当点 $P$ 在 $CH$ 的上方时,如图,过点 $C$ 作 $CQ ⊥ CP$ 交 $l_1$ 于点 $Q$,则 $△ PCQ$ 为等腰直角三角形,$\therefore PC = CQ$.
设 $P(p,-2p + 6)$,
过点 $C$ 作 $MN // y$ 轴,过点 $P$ 作 $PM ⊥ MN$ 于点 $M$,过点 $Q$ 作 $QN ⊥ MN$ 于点 $N$,$\therefore ∠ M = ∠ N = 90°$.
$\because ∠ PCQ = 90°$,$\therefore ∠ PCM + ∠ QCN = 90°$.
$\because ∠ PCM + ∠ CPM = 90°$,$\therefore ∠ QCN = ∠ CPM$.
$\because PC = CQ$,$\therefore △ CMP ≌ △ QNC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore MP = CN$,$CM = NQ$,
$\therefore Q(-2p + 7,1 - p)$,
将点 $Q$ 的坐标代入 $y = -2x + 6$ 中,得 $p = \frac{9}{5}$,
$\therefore P( \frac{9}{5},\frac{12}{5} )$;
当点 $P$ 在 $CH$ 的下方时,同理可得 $P( \frac{17}{5},-\frac{4}{5} )$.
综上所述,点 $P$ 的坐标为 $( \frac{9}{5},\frac{12}{5} )$ 或 $( \frac{17}{5},-\frac{4}{5} )$.

②如题图,连接 $BC$.
$\because S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · OB = \frac{1}{2} · AB · CH$,
$\therefore 2 × 6 = \sqrt{6^2 + 3^2} · CH$,
解得 $CH = \frac{4\sqrt{5}}{5}$,
设 $H(t,-2t + 6)$,
$\therefore \sqrt{(t - 1)^2 + (-2t + 6)^2} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$,
解得 $t = \frac{13}{5}$,
$\therefore H( \frac{13}{5},\frac{4}{5} )$.
$\because \frac{1}{3}S_{△ ACP} ≤ S_{△ HCP} ≤ \frac{1}{2}S_{△ ACP}$,
$\therefore$ 点 $P$ 在点 $H$ 上方,点 $A$ 关于点 $H$ 的对称点为 $P( \frac{11}{5},\frac{8}{5} )$,此时 $S_{△ HCP} = \frac{1}{2}S_{△ ACP}$,
将 $P( \frac{11}{5},\frac{8}{5} )$ 代入 $y = mx - m$ 中,得 $m = \frac{4}{3}$;
取 $AH$ 的中点 $E( \frac{14}{5},\frac{2}{5} )$,则点 $E$ 关于点 $H$ 的对称点为 $F( \frac{12}{5},\frac{6}{5} )$,当点 $P$ 与点 $F$ 重合时,$S_{△ HCP} = \frac{1}{3}S_{△ ACP}$,
将 $F( \frac{12}{5},\frac{6}{5} )$ 代入 $y = mx - m$ 中,得 $m = \frac{6}{7}$,
$\therefore \frac{6}{7} ≤ m ≤ \frac{4}{3}$ 时,$\frac{1}{3}S_{△ ACP} ≤ S_{△ HCP} ≤ \frac{1}{2}S_{△ ACP}$.

【分析】
1. 求A、B坐标：直线与x轴交点令y=0，与y轴交点令x=0，直接代入一次函数解析式计算即可。
2. 第(2)①：先将直线$ l_2 $变形，确定其过定点$ C(1,0) $；两直线夹角为45°，需构造以PC为直角边的等腰直角三角形，利用全等三角形对应边相等求Q点，再代入$ l_1 $方程得P点，分P在CH上方、下方两种情况讨论。
3. 第(2)②：先求H点坐标（利用CH⊥$ l_1 $的距离公式），再根据面积比例关系确定P点的位置范围，将P点代入$ l_2 $的解析式，求解m的取值范围。
【解析】
(1) 在直线$ l_1: y=-2x+6 $中，
当$ y=0 $时，$ 0=-2x+6 $，解得$ x=3 $，故$ A(3,0) $；
当$ x=0 $时，$ y=6 $，故$ B(0,6) $。
(2) ① 直线$ l_2: y=mx-m=m(x-1) $，可知直线$ l_2 $过定点$ C(1,0) $。
当点$ P $在$ CH $上方时，过$ C $作$ CQ⊥CP $交$ l_1 $于$ Q $，则$ △PCQ $为等腰直角三角形，$ PC=CQ $。
设$ P(p,-2p+6) $，过$ C $作$ MN//y $轴，过$ P $作$ PM⊥MN $于$ M $，过$ Q $作$ QN⊥MN $于$ N $，则$ ∠M=∠N=90° $。
∵$ ∠PCQ=90° $，
∴$ ∠PCM+∠QCN=90° $，又$ ∠PCM+∠CPM=90° $，故$ ∠QCN=∠CPM $。
在$ △CMP $和$ △QNC $中，$ \begin{cases} ∠M=∠N \\ ∠CPM=∠QCN \\ PC=CQ \end{cases} $，
∴$ △CMP≌△QNC(AAS) $，得$ MP=CN $，$ CM=NQ $，故$ Q(-2p+7,1-p) $。
将$ Q $代入$ l_1:y=-2x+6 $，得$ 1-p=-2(-2p+7)+6 $，解得$ p=\frac{9}{5} $，故$ P(\frac{9}{5},\frac{12}{5}) $。
当点$ P $在$ CH $下方时，同理可得$ P(\frac{17}{5},-\frac{4}{5}) $。
综上，$ P $的坐标为$ (\frac{9}{5},\frac{12}{5}) $或$ (\frac{17}{5},-\frac{4}{5}) $。
② 连接$ BC $，$ S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AC·OB=\frac{1}{2}·AB·CH $，$ AC=3-1=2 $，$ OB=6 $，$ AB=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5} $，代入得$ \frac{1}{2}×2×6=\frac{1}{2}×3\sqrt{5}·CH $，解得$ CH=\frac{4\sqrt{5}}{5} $。
设$ H(t,-2t+6) $，则$ \sqrt{(t-1)^2+(-2t+6)^2}=\frac{4\sqrt{5}}{5} $，解得$ t=\frac{13}{5} $，故$ H(\frac{13}{5},\frac{4}{5}) $。
由$ \frac{1}{3}S_{△ACP}≤S_{△HCP}≤\frac{1}{2}S_{△ACP} $，得：
当$ S_{△HCP}=\frac{1}{2}S_{△ACP} $时，$ P $是$ A $关于$ H $的对称点，得$ P(\frac{11}{5},\frac{8}{5}) $，代入$ l_2 $得$ \frac{8}{5}=m(\frac{11}{5}-1) $，解得$ m=\frac{4}{3} $；
当$ S_{△HCP}=\frac{1}{3}S_{△ACP} $时，取$ AH $中点$ E $，其关于$ H $的对称点$ F(\frac{12}{5},\frac{6}{5}) $，代入$ l_2 $得$ \frac{6}{5}=m(\frac{12}{5}-1) $，解得$ m=\frac{6}{7} $；
故$ \frac{6}{7}≤m≤\frac{4}{3} $。
【答案】
(1) $ A(3,0) $，$ B(0,6) $；
(2) ① $ P(\frac{9}{5},\frac{12}{5}) $或$ (\frac{17}{5},-\frac{4}{5}) $；
② $ \frac{6}{7}≤m≤\frac{4}{3} $；

【知识点】
一次函数、全等三角形、三角形面积
【点评】
本题综合考查一次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的应用，需结合几何构造与代数计算求解，对学生的综合能力要求较高。
【难度系数】
0.3