23.(8分)综合实践:为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统,某校开展数学节活动,并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具。
【素材1】1个鲁班锁和2个九连环共52元;3个鲁班锁和4个九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节的标志后作为奖品。加印标志的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价。
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?

23.任务1:设鲁班锁的单价为$x$元,九连环的单价为$y$元。由题意得$\begin{cases} x+2y=52, \\ 3x+4y=120, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=16, \\ y=18, \end{cases}$所以鲁班锁的单价为16元,九连环的单价为18元。任务2:设购买鲁班锁$a$件,九连环$b$件,选取$m$件鲁班锁加印标志,则未加印标志的鲁班锁为$(a-m)$件。因为加印标志的九连环10件,所以未加印标志的九连环为$(b-10)$件。由题意得$(a-m)+(b-10)=12$,化简得$m=a+b-22$。因为$(m+10)×2+16a+18b=520$,即$(a+b-22+10)×2+16a+18b=520$,所以$b=\dfrac{272-9a}{10}$($a,b$均为正整数,且$b≥10$)。所以当$a=8$时,$b=20$;当$a=18$时,$b=11$;当$a=28$时,$b=2$(不符合题意,舍去)。所以学校购买8件鲁班锁和20件九连环或购买18件鲁班锁和11件九连环。

【分析】
本题分为两个任务，任务1是求两种道具的单价，已知两个关于单价的等量关系，可通过设未知数建立二元一次方程组求解；任务2是求购买的道具数量，需结合“未加印道具共12件”“总费用（购买+加印）520元”的条件，建立方程后结合实际意义（正整数、九连环加印10件）筛选符合条件的解。
【解析】
任务1：设鲁班锁的单价为$x$元，九连环的单价为$y$元。
根据素材1的等量关系，列方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 52 \\ 3x + 4y = 120 \end{cases}$
解方程组：将第一个方程乘以2得$2x + 4y = 104$，用第二个方程减去该式得$x = 16$，代入$x + 2y = 52$得$y = 18$。
任务2：设购买鲁班锁$a$件，九连环$b$件，加印标志的鲁班锁为$m$件。
未加印的鲁班锁为$(a - m)$件，未加印的九连环为$(b - 10)$件，由“未加印共12件”得：$(a - m) + (b - 10) = 12$，化简得$m = a + b - 22$。
总费用为购买费用加加印费用，列方程：$16a + 18b + 2(m + 10) = 520$，将$m = a + b - 22$代入得：
$16a + 18b + 2(a + b - 12) = 520$，化简得$9a + 10b = 272$，即$b = \frac{272 - 9a}{10}$。
因$a,b$为正整数且$b ≥ 10$，筛选得：
当$a = 8$时，$b = 20$；当$a = 18$时，$b = 11$；$a = 28$时$b = 2$（舍去）。
【答案】
任务1：鲁班锁的单价为16元，九连环的单价为18元；任务2：学校购买8件鲁班锁和20件九连环或购买18件鲁班锁和11件九连环。
【知识点】
二元一次方程组的应用，方程的整数解问题
【点评】
本题为实际应用类问题，分两步建立方程模型，先求单价再结合实际意义筛选解，考查学生分析等量关系、处理整数解的能力，需注意解的合理性限制。
【难度系数】
0.6