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21.(7分)如图,一块长方形农场ABCD,AD=a m,AB=2a m,为了扩大农场面积,计划将AD增加2m,AB增加3m。
(1)扩大后农场的面积增加了多少平方米?
(2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉。经了解,花卉的种植成本为每平方米60元。若a=6,这个种植计划能实现吗?请说明理由。
(1)扩大后农场的面积增加了多少平方米?
(2)现计划用3000元在扩大的阴影区域内种植花卉。经了解,花卉的种植成本为每平方米60元。若a=6,这个种植计划能实现吗?请说明理由。
答案
21.(1)由题意得$2(2a+3)+3a=7a+6(\mathrm{m}^2)$,所以扩大后农场的面积增加了$(7a+6)\mathrm{m}^2$。
(2)这个种植计划能实现。理由如下:当$a=6$时,$60(7a+6)=60×(7×6+6)=2880$,因为$2880＜3000$,所以这个种植计划能实现。
(2)这个种植计划能实现。理由如下:当$a=6$时,$60(7a+6)=60×(7×6+6)=2880$,因为$2880＜3000$,所以这个种植计划能实现。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用长方形面积公式计算原面积与扩大后的面积，两者的差即为面积增加量；再将a的值代入表达式，计算种植成本并与3000元比较，判断计划是否可行。
【解析】
(1) 原农场的长为$2a \, \mathrm{m}$，宽为$a \, \mathrm{m}$，根据长方形面积公式，原面积为：$2a × a = 2a^2 \, \mathrm{m}^2$。
扩大后，农场的长变为$(2a + 3) \, \mathrm{m}$，宽变为$(a + 2) \, \mathrm{m}$，扩大后的面积为：$(2a + 3)(a + 2)$。
展开计算：$(2a + 3)(a + 2) = 2a^2 + 4a + 3a + 6 = 2a^2 + 7a + 6 \, \mathrm{m}^2$。
面积增加量 = 扩大后的面积 - 原面积，即：$(2a^2 + 7a + 6) - 2a^2 = 7a + 6 \, \mathrm{m}^2$。
(2) 当$a = 6$时，扩大区域的面积为：$7a + 6 = 7 × 6 + 6 = 48 \, \mathrm{m}^2$。
种植花卉的总成本为：$48 × 60 = 2880 \, \mathrm{元}$。
因为$2880 ＜ 3000$，所以这个种植计划能实现。
【答案】
(1) $(7a + 6) \, \mathrm{m}^2$；(2) 能实现，理由见解析。
【知识点】
长方形面积计算、整式乘法、代数式求值
【点评】
本题结合实际问题考查整式的运算与应用，难度较低，核心是掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则，代入求值时需注意计算准确。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用长方形面积公式计算原面积与扩大后的面积，两者的差即为面积增加量；再将a的值代入表达式，计算种植成本并与3000元比较，判断计划是否可行。
【解析】
(1) 原农场的长为$2a \, \mathrm{m}$，宽为$a \, \mathrm{m}$，根据长方形面积公式，原面积为：$2a × a = 2a^2 \, \mathrm{m}^2$。
扩大后，农场的长变为$(2a + 3) \, \mathrm{m}$，宽变为$(a + 2) \, \mathrm{m}$，扩大后的面积为：$(2a + 3)(a + 2)$。
展开计算：$(2a + 3)(a + 2) = 2a^2 + 4a + 3a + 6 = 2a^2 + 7a + 6 \, \mathrm{m}^2$。
面积增加量 = 扩大后的面积 - 原面积，即：$(2a^2 + 7a + 6) - 2a^2 = 7a + 6 \, \mathrm{m}^2$。
(2) 当$a = 6$时，扩大区域的面积为：$7a + 6 = 7 × 6 + 6 = 48 \, \mathrm{m}^2$。
种植花卉的总成本为：$48 × 60 = 2880 \, \mathrm{元}$。
因为$2880 ＜ 3000$，所以这个种植计划能实现。
【答案】
(1) $(7a + 6) \, \mathrm{m}^2$；(2) 能实现，理由见解析。
【知识点】
长方形面积计算、整式乘法、代数式求值
【点评】
本题结合实际问题考查整式的运算与应用，难度较低，核心是掌握长方形面积公式和多项式乘多项式法则，代入求值时需注意计算准确。
【难度系数】
0.6
22.(8分)如图,$∠ABC=90^{\circ }$,在线段AC上取点D,作$DE⊥AB$于点E,$∠1=∠2$。
(1)判断BF与AC是否平行,并说明理由。
(2)若$∠3-∠2=50^{\circ },∠F=2∠2$,求$∠2$的度数。
(1)判断BF与AC是否平行,并说明理由。
(2)若$∠3-∠2=50^{\circ },∠F=2∠2$,求$∠2$的度数。
答案
22.(1)$BF// AC$。理由如下:因为$DE⊥ AB$,所以$∠DEA=90°$。因为$∠ABC=90°$,所以$∠DEA=∠ABC$。所以$BC// ED$。所以$∠2=∠C$。因为$∠1=∠2$,所以$∠1=∠C$。所以$BF// AC$。
(2)因为$BF// AC$,所以$∠F=∠FDC$。因为$∠F=2∠2$,所以$∠FDC=2∠2$。因为$∠3-∠2=50°$,所以$∠3=∠2+50°$。因为$∠2+∠3+∠FDC=180°$,所以$∠2+(∠2+50°)+2∠2=180°$。所以$∠2=32.5°$。
(2)因为$BF// AC$,所以$∠F=∠FDC$。因为$∠F=2∠2$,所以$∠FDC=2∠2$。因为$∠3-∠2=50°$,所以$∠3=∠2+50°$。因为$∠2+∠3+∠FDC=180°$,所以$∠2+(∠2+50°)+2∠2=180°$。所以$∠2=32.5°$。
解析
【分析】
要判断BF与AC是否平行，可通过平行线的判定定理，结合已知的垂直条件推导角的关系；求∠2的度数时，利用第一问得到的平行结论，结合平角的定义和已知的角度差关系，列方程求解。首先由DE⊥AB和∠ABC=90°推出DE//BC，得到∠2=∠C，再结合∠1=∠2得∠1=∠C，从而判定BF//AC；接着利用BF//AC得∠F=∠FDC，再根据平角为180°，将∠3、∠F用∠2表示后代入计算。
【解析】
(1) BF//AC，理由如下：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=90°，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠DEA=∠ABC，
∴ BC//ED（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠C，
∴ BF//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知BF//AC，
∴ ∠F=∠FDC（两直线平行，内错角相等），
已知∠F=2∠2，
∴ ∠FDC=2∠2，
又
∵ ∠3 - ∠2=50°，
∴ ∠3=∠2 + 50°，
∵ 点D在AC上，
∴ ∠2 + ∠3 + ∠FDC=180°（平角的定义），
将上述关系代入得：∠2 + (∠2 + 50°) + 2∠2 = 180°，
合并同类项得：4∠2 + 50° = 180°，
移项计算：4∠2 = 130°，
解得：∠2 = 32.5°。
【答案】
(1) BF//AC；(2) ∠2=32.5°
【知识点】
平行线的判定与性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质的应用，结合角度关系列方程求解，需要学生熟练掌握平行线的相关定理，能通过已知条件逐步推导角的关系，难度适中，属于中等题。
【难度系数】
0.5
要判断BF与AC是否平行，可通过平行线的判定定理，结合已知的垂直条件推导角的关系；求∠2的度数时，利用第一问得到的平行结论，结合平角的定义和已知的角度差关系，列方程求解。首先由DE⊥AB和∠ABC=90°推出DE//BC，得到∠2=∠C，再结合∠1=∠2得∠1=∠C，从而判定BF//AC；接着利用BF//AC得∠F=∠FDC，再根据平角为180°，将∠3、∠F用∠2表示后代入计算。
【解析】
(1) BF//AC，理由如下：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DEA=90°，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ ∠DEA=∠ABC，
∴ BC//ED（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠C（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠1=∠C，
∴ BF//AC（同位角相等，两直线平行）。
(2) 由(1)知BF//AC，
∴ ∠F=∠FDC（两直线平行，内错角相等），
已知∠F=2∠2，
∴ ∠FDC=2∠2，
又
∵ ∠3 - ∠2=50°，
∴ ∠3=∠2 + 50°，
∵ 点D在AC上，
∴ ∠2 + ∠3 + ∠FDC=180°（平角的定义），
将上述关系代入得：∠2 + (∠2 + 50°) + 2∠2 = 180°，
合并同类项得：4∠2 + 50° = 180°，
移项计算：4∠2 = 130°，
解得：∠2 = 32.5°。
【答案】
(1) BF//AC；(2) ∠2=32.5°
【知识点】
平行线的判定与性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题主要考查平行线的判定与性质的应用，结合角度关系列方程求解，需要学生熟练掌握平行线的相关定理，能通过已知条件逐步推导角的关系，难度适中，属于中等题。
【难度系数】
0.5
