3. （2025·南京联合体期末）【概念理解】若两个角$α$与$β$满足$2α+β=180°$,则称$α$与$β$互为“准补角”.
(1)与$50°$角互为“准补角”的角的度数为________;
【初步运用】(2)如图,点$O$在直线$AB$上,射线$OC,OD$在直线$AB$上方,$OE$在直线$AB$下方,$OE⊥ OD$,且$∠ COE=∠ AOE$.判断$∠ COD$与$∠ AOC$是否互为“准补角”,并说明理由;
【深入探究】(3)在(2)的条件下,与$∠ COD$互为“准补角”的角的个数$m$随$∠ COD$的度数的变化而变化,直接写出$∠ COD$的度数及对应的$m$的值.

3. (1) $80°$或$65°$
(2) $∠ COD$ 与 $∠ AOC$ 互为“准补角”,理由如下:因为 $∠ COE = ∠ AOE$,$∠ AOE+∠ BOE = 180°$,所以 $∠ COD+∠ BOD+∠ BOE = 180°-∠ BOE$,所以 $∠ COD+∠ BOD = 180°-2∠ BOE$.因为 $OE⊥ OD$,所以 $∠ DOE = 90°$,所以 $∠ BOE = 90°-∠ BOD$,所以 $∠ COD+∠ BOD = 180°-2(90°-∠ BOD)$,所以 $∠ COD = ∠ BOD$.因为 $∠ BOC+∠ AOC = 180°$,所以 $2∠ COD+∠ AOC = 180°$,所以 $∠ COD$ 与 $∠ AOC$ 互为“准补角”.
(3) 当 $∠ COD = 36°$ 或 $60°$ 时,$m = 2$;当 $∠ COD = 45°$ 或 $30°$ 时,$m = 3$;其他情况,$m = 1$.

4. 🔷|尺规作图（2025·南京校级期末）【概念提出】已知∠AOB及射线OC，我们称$\frac{∠AOC+∠BOC}{∠AOB}$的值为OC与∠AOB的“关联度”，并用符号$λ(OC,∠AOB)$表示，其中∠AOC，∠BOC，∠AOB都在0°到180°之间（含0°和180°）。
(1)若$∠AOB=40°,∠AOC=30°$,则$λ(OC,∠AOB)=$.
(2)尺规作图:如图①,已知∠AOC,作一条射线OB,使得$λ(OC,∠AOB)=2$.(要求:保留作图痕迹,写出必要的说明)
【拓展延伸】(3)如图②,已知$∠MON=120°,∠AOB=60°$,射线OB与射线ON重合,射线OC位于∠MON内部或边上,将图②中的∠AOB绕点O按顺时针方向以每秒2°的速度旋转,$λ(OC,∠AOB)$的值随旋转时间及OC的位置变化而变化.
①如图③,当旋转时间为45秒时,$λ(OC,∠AOB)$的最小值为;
②在旋转一周的过程中,当旋转时间为秒时,$4≤λ(OC,∠AOB)≤5$.

4. (1) 1或$\frac{5}{2}$
【解析】若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 的内部,则 $∠ BOC = ∠ AOB-∠ AOC = 40°-30° = 10°$,$λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{30°+10°}{40°}=1$;若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 的外部,则 $∠ BOC = ∠ AOB+∠ AOC = 40°+30° = 70°$,$λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{30°+70°}{40°}=\frac{5}{2}$.综上所述,$λ(OC,∠ AOB) = 1$ 或 $\frac{5}{2}$.
(2) 因为 $λ(OC,∠ AOB) = 2$,所以 $\frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=2$,所以 $∠ AOC+∠ BOC = 2∠ AOB$,若射线 $OB$ 在 $OC$ 下方,此时 $∠ AOC+∠ BOC = ∠ AOB$,所以 $2∠ AOB = ∠ AOB$,即 $∠ AOB = 0°$(不符合题意,舍去);若射线 $OB$ 在 $∠ AOC$ 内部,此时 $∠ BOC = ∠ AOC-∠ AOB$,所以 $∠ AOC+∠ AOC-∠ AOB = 2∠ AOB$,所以 $∠ AOB = \frac{2}{3}∠ AOC$,即射线 $OB$ 为 $∠ AOC$ 的三等分线,由于尺规作图不能三等分任意角,故不符合题意,舍去;若射线 $OB$ 在 $OA$ 上方,此时 $∠ BOC = ∠ AOC+∠ AOB$,所以 $∠ AOC+∠ AOC+∠ AOB = 2∠ AOB$,所以 $∠ AOB = 2∠ AOC$,如图①,射线 $OB$ 即为所求.
(3) ①2
【解析】当旋转时间为 45 秒时,$∠ BON = 2°×45 = 90°$,所以 $∠ AON = ∠ BON-∠ AOB = 90°-60° = 30°$.因为射线 $OC$ 位于 $∠ MON$ 内部或边上,所以下面分 2 种情况讨论:当 $∠ AOB+∠ AOC≤180°$,此时 $∠ BOC = ∠ AOC+∠ AOB = ∠ AOC+60°$,$λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{2∠ AOC+60°}{60°}$,由题图可知,$∠ AOC≥30°$,所以 $λ(OC,∠ AOB) = \frac{2∠ AOC+60°}{60°}≥\frac{2×30°+60°}{60°}=2$;当 $∠ AOB+∠ AOC＞180°$,此时 $∠ AOC+∠ BOC = 360°-∠ AOB = 300°$,所以 $λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{300°}{60°}=5$.综上所述,$λ(OC,∠ AOB)$ 的最小值为 2.
②75
【解析】当射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 内部或边上时,则有 $∠ AOC+∠ BOC = ∠ AOB = 60°$,此时 $λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{60°}{60°}=1$,不符合题意,所以射线 $OC$ 不能在 $∠ AOB$ 内部或边上.又因为射线 $OC$ 可以位于 $∠ MON$ 内部或边上的任意位置,所以 $∠ AOB$ 内部或边上与 $∠ MON$ 内部或边上不能有公共部分,即 $∠ AOB$ 的两边都在 $∠ MON$ 的外部.设旋转时间为 $t$ 秒,当射线 $OA$ 从题图②的位置旋转至 $ON$,则 $t = 60÷2 = 30$,当射线 $OB$ 从题图②的位置旋转至 $OM$,则 $t = (360-120)÷2 = 120$,所以 $30＜t＜120$;当 $∠ MOA = 180°$ 时,如图②,则 $∠ AON = 180°-∠ MON = 60°$,此时 $t = 30+60÷2 = 60$.
(ⅰ) $30＜t≤60$:当 $∠ AOB+∠ AOC≤180°$ 时,此时 $∠ BOC = ∠ AOC+∠ AOB = ∠ AOC+60°$,所以 $λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{2∠ AOC+60°}{60°}≥\frac{2×∠ AON+60°}{60°}$,所以 $λ(OC,∠ AOB)$ 的最小值为 $\frac{2×∠ AON+60°}{60°}$,又因为 $∠ AON≤60°$,所以此时 $λ(OC,∠ AOB)$ 的最小值至多为 $\frac{2×60°+60°}{60°}=3$,不符合题意,所以在 $30＜t≤60$ 范围内不存在符合题意的旋转时间;当 $∠ NOB = 180°$ 时,如图③,则 $∠ BOM = 180°-∠ MON = 60°$,此时 $t = 180÷2 = 90$.
(ⅱ) $90≤ t＜120$:当 $∠ AOB+∠ BOC≤180°$ 时,此时 $∠ AOC = ∠ BOC+∠ AOB = ∠ BOC+60°$,所以 $λ(OC,∠ AOB) = \frac{∠ AOC+∠ BOC}{∠ AOB}=\frac{2∠ BOC+60°}{60°}≥\frac{2×∠ BOM+60°}{60°}=3$,此时 $λ(OC,∠ AOB)$ 的最小值为 3,不符合题意,所以在 $90≤ t＜120$ 范围内不存在符合题意的旋转时间;
(ⅲ) $60＜t＜90$:如图④,当 $∠ AOB+∠ AOC＞180°$ 且 $∠ AOB+∠ BOC＞180°$ 时,由①中的结论有 $λ(OC,∠ AOB) = 5$,符合题意;当 $∠ AOB+∠ AOC≤180°$ 时,此时有 $∠ BOC = ∠ AOC+60°$;当 $∠ AOB+∠ BOC≤180°$ 时,此时有 $∠ AOC = ∠ BOC+60°$,令 $λ(OC,∠ AOB)≥4$,则 $\frac{2∠ AOC+60°}{60°}≥4$ 且 $\frac{2∠ BOC+60°}{60°}≥4$,即 $∠ AOC≥90°$ 且 $∠ BOC≥90°$,因为射线 $OC$ 位于 $∠ MON$ 内部或边上,所以 $∠ AON = 90°$ 且 $∠ BOM≥90°$ 或 $∠ BOM = 90°$ 且 $∠ AON≥90°$.当 $∠ AON = 90°$ 时,$t = 30+90÷2 = 75$,当 $∠ BOM = 90°$ 时,$t = 120-90÷2 = 75$.综上所述,当 $t = 75$ 时,$4≤λ(OC,∠ AOB)≤5$.