1. （2025·泰州期末）【概念学习】点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上，若 $ \frac{AC}{AB}=a $，则称 $ a $ 是点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上的“分点值”，记作 $ (A \to B)_C = a $。例如，如图①，若 $ \frac{AC}{AB}=\frac{1}{3} $，则点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上的“分点值”是 $ \frac{1}{3} $，记作 $ (A \to B)_C = \frac{1}{3} $；若 $ \frac{BD}{AB}=\frac{2}{5} $，则 $ \frac{AD}{AB}=\frac{3}{5} $，故点 $ D $ 在线段 $ AB $ 上的“分点值”是 $ \frac{3}{5} $，记作 $ (A \to B)_D = \frac{3}{5} $。
【理解与应用】(1) 已知点 $ C $ 在线段 $ AB $ 上。若 $ AB=9, AC=4.5 $，则 $ (A \to B)_C = $ ；若 $ BC=6, (A \to B)_C = \frac{2}{3} $，则 $ AB = $ 。
(2) 如图②，线段 $ AB = 24 \ \mathrm{cm} $，$ P $ 是线段 $ AB $ 上一点，$ C, D $ 两点分别从点 $ P, B $ 出发，以 $ 1 \ \mathrm{cm/s} $，$ 2 \ \mathrm{cm/s} $ 的速度同时向点 $ A $ 运动，运动的时间为 $ t \ \mathrm{s} $，当其中一点到达点 $ A $ 时，两点都停止运动。
①若点 $ D $ 在 $ PB $ 上运动时，总有 $ PD=2AC $，求出 $ (A \to B)_P $ 的值；
②若 $ (A \to B)_P = \frac{1}{4} $，则当 $ t $ 为何值时，$ (A \to P)_C + (P \to B)_D = \frac{7}{6} $；
③若 $ t=7 $ 时，$ CD=1 \ \mathrm{cm} $，则 $ (A \to B)_P = $ 。

1. (1) $\frac{1}{2}$，18
【解析】若 $AB = 9,AC = 4.5$,则 $(A\to B)_C = \frac{AC}{AB}=\frac{4.5}{9}=\frac{1}{2}$;若 $BC = 6,(A\to B)_C = \frac{2}{3}$,则 $(A\to B)_C = \frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$,因为 $BC = 6,AC+BC = AB$,所以 $AB-AC = 6$.因为 $2AB = 3AC$,所以 $AB = 18$.
(2) ①$PC = t \ \mathrm{cm},BD = 2t \ \mathrm{cm}$.因为 $PD = 2AC$,所以 $AC+PC+PD+BD = AC+t+2AC+2t = 24 \ \mathrm{cm}$,所以 $AC = (8-t)\mathrm{cm}$,所以 $(A\to B)_P = \frac{AP}{AB}=\frac{AC+PC}{24}=\frac{8-t+t}{24}=\frac{1}{3}$.
②因为 $(A\to B)_P = \frac{AP}{AB}=\frac{1}{4},AB = 24 \ \mathrm{cm}$,所以 $AP = 6 \ \mathrm{cm}$,则 $PB = AB-AP = 24-6 = 18(\mathrm{cm})$,所以 $AC = (6-t)\mathrm{cm},PD = PB-BD = (18-2t)\mathrm{cm}$.因为 $(A\to P)_C+(P\to B)_D = \frac{AC}{AP}+\frac{PD}{PB}=\frac{7}{6}$,所以 $\frac{AC}{AP}+\frac{PD}{PB}=\frac{6-t}{6}+\frac{18-2t}{18}=\frac{7}{6}$,故 $t = 3$.
③$\frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$
【解析】因为 $t = 7$,所以 $PC = 7 \ \mathrm{cm},BD = 14 \ \mathrm{cm}$.分两种情况:当 $C$ 在 $D$ 的左侧时,如图①.因为 $CD = 1 \ \mathrm{cm}$,所以 $PD = 6 \ \mathrm{cm}$,所以 $BP = BD-PD = 8 \ \mathrm{cm}$,可知 $AP = AB-BP = 16 \ \mathrm{cm}$,则 $(A\to B)_P = \frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}$;
当 $C$ 在 $D$ 的右侧时,如图②.$AD = AB-BD = 24-14 = 10(\mathrm{cm}),AP = AD+DC+PC = 10+1+7 = 18(\mathrm{cm})$,则 $(A\to B)_P = \frac{AP}{AB}=\frac{3}{4}$.综上所述,$(A\to B)_P = \frac{2}{3}$或$\frac{3}{4}$.

2. （2025·泰州期末）如图，在数轴上，点 O 表示原点，点 A 表示的数为-1，对于数轴上任意一点 P(不与点 A，点 O 重合)，线段 PO 与线段 PA 的长度之比记作$k_{(p)}$，即$k_{(p)}=\frac{PO}{PA}$，我们称$k_{(p)}$为点 P 的特征值，例如：点 P 表示的数为 1，因为$PO=1,PA=2$，所以$k_{(p)}=\frac{PO}{PA}=\frac{1}{2}$。
(1) 当点 P 为 AO 的中点时，$k_{(p)}=$；
(2) 若$k_{(p)}=2$，求点 P 表示的数；
(3) 若点 P 表示的数为 p，且满足$p=2^n -1$（其中 n 为正整数，且$1≤n≤7$），求所有满足条件的$k_{(p)}$的和。

2. (1) 1
【解析】由题意可知,当点 $P$ 为 $AO$ 的中点时,点 $P$ 表示的数为 $-\frac{1}{2}$,$PO = PA = \frac{1}{2}$,所以 $k_{(p)} = \frac{PO}{PA}=1$.
(2) 设点 $P$ 表示的数为 $x$,则 $PO = |x|$,$PA = |x-(-1)| = |x+1|$,因为 $k_{(p)} = 2$,所以 $\frac{PO}{PA}=2$,即 $PO = 2PA$,所以 $|x| = 2|x+1|$,所以 $x = 2(x+1)$ 或 $x = -2(x+1)$,解得 $x = -2$ 或 $x = -\frac{2}{3}$,故点 $P$ 表示的数为 $-2$ 或 $-\frac{2}{3}$.
(3) 点 $P$ 表示的数为 $p$,且满足 $p = 2^n-1$(其中 $n$ 为正整数,且 $1≤ n≤7$),$p = 2^n-1＞0$,此时 $PO = p$,$PA = p-(-1) = p+1$,$k_{(p)} = \frac{PO}{PA}=\frac{p}{p+1}$,当 $p = 2^n-1$ 时,$k_{(p)} = \frac{PO}{PA}=\frac{2^n-1}{2^n-1+1}=\frac{2^n-1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}$.因为 $1≤ n≤7$,且 $n$ 为正整数,则所有满足条件的 $k_{(p)}$ 的值分别为 $1-\frac{1}{2}$,$1-\frac{1}{2^2}$,$1-\frac{1}{2^3}$,$1-\frac{1}{2^4}$,$1-\frac{1}{2^5}$,$1-\frac{1}{2^6}$,$1-\frac{1}{2^7}$,故所有满足条件的 $k_{(p)}$ 的和为 $1-\frac{1}{2}+1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{2^3}+1-\frac{1}{2^4}+1-\frac{1}{2^5}+1-\frac{1}{2^6}+1-\frac{1}{2^7}=7-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7})$,令 $s = \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7}$ ①,则 $2s = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}$ ②,②-①得 $s = 1-\frac{1}{2^7}$,所以 $7-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{2^7})=7-(1-\frac{1}{2^7})=6\frac{1}{128}$.