1. (2025·扬州期末)如图，$PQ // MN$，$A,B$ 分别为直线 $MN,PQ$ 上两点，且 $∠ BAN = 45°$，若射线 $AM$ 绕点 $A$ 顺时针旋转至 $AN$ 后立即回转，射线 $BQ$ 绕点 $B$ 逆时针旋转至 $BP$ 后立即回转，两射线分别绕点 $A,B$ 不停地旋转，若射线 $AM$ 转动的速度是 $a°/$秒，射线 $BQ$ 转动的速度是 $b°/$秒，且 $a,b$ 满足 $|a - 8| + (b - 2)^2 = 0$。
(1)$a=$，$b=$。
(2)若射线 $AM$，射线 $BQ$ 同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线 $AM$，射线 $BQ$ 互相垂直。
(3)若射线 $AM$ 绕点 $A$ 顺时针先转动 15 秒，射线 $BQ$ 才开始绕点 $B$ 逆时针旋转，在射线 $BQ$ 第一次到达 $BA$ 之前，问射线 $AM$ 再转动多少秒时，射线 $AM$、射线 $BQ$ 互相平行。

1. (1)8 2 【解析】因为$|a-8|+(b-2)^2=0$，$|a-8|\ge0$，$(b-2)^2\ge0$，所以$a-8=0$，$b-2=0$，解得$a=8$，$b=2$。
(2)设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直。，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则$BO⊥ AO$，所以$∠ ABO+∠ BAO=90°$。因为$PQ// MN$，所以$∠ ABQ+∠ BAM=180°$，所以$∠ OBQ+∠ OAM=90°$。又因为$∠ OBQ=(2t)°$，$∠ OAM=(8t)°$，$2t+8t=90$，所以$t=9$，所以至少旋转9秒时，射线AM、射线BQ互相垂直。
(3)设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行。，射线AM绕点A顺时针对转动15秒后，AM转动至$AM'$的位置，则$∠ MAM'=15×8°=120°$，所以$∠ M'AB=180°-45°-120°=15°$。分两种情况：①当$1.875＜t＜7.5$时，$∠ QBQ'=(2t)°$，$∠ M'AM''=(8t)°$，因为$PQ// MN$，所以$∠ BAN=45°=∠ ABQ$，所以$∠ ABQ'=45°-(2t)°$，$∠ BAM''=∠ M'AM''-∠ M'AB=(8t)°-15°$，当$∠ ABQ'=∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，所以$45°-(2t)°=(8t)°-15°$，解得$t=6$；
②当$7.5＜t＜13.125$时，$∠ QBQ'=(2t)°$，$∠ NAM''=8(t-7.5)°=(8t)°-60°$，所以$∠ ABQ'=45°-(2t)°$，$∠ BAM''=45°-[(8t)°-60°]=105°-(8t)°$，当$∠ ABQ'=∠ BAM''$时，$BQ'// AM''$，此时$45°-(2t)°=105°-(8t)°$，解得$t=10$。综上所述，射线AM再转动6秒或10秒时，射线AM、射线BQ互相平行。

2. (2025·宿迁校级期末)点 O 为直线 AB 上一点,过点 O 作射线 OC,使∠BOC=60°.将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处.
(1)如图①,当三角板 MON 的一边 ON 与射线 OB 重合时,则∠MOC=.
(2)如图②,将图①中的三角板 OMN 绕点 O 以每秒 10°的速度按逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,当直线 OM 恰好平分钝角∠AOC 时,旋转的时间是多少秒?
(3)将图①中的三角板绕点 O 逆时针旋转过程中,当 ON 在∠AOC 的内部时,请探究∠COM 与∠NOB 的数量关系,并直接写出结果.

2. (1)$30°$ 【解析】当三角板MON的一边ON与射线OB重合时，$∠ MOC=∠ MON-∠ BOC=90°-60°=30°$。
(2)$∠ AOC=180°-∠ BOC=120°$，当运动时间为t秒时，射线OM转过的度数为$10° t$，当OM在$∠ AOC$内部时，，$∠ AOM=90°-10° t=\frac{1}{2}∠ AOC$，所以$90°-10° t=\frac{1}{2}×120°$，解得$t=3$；
当OM在$∠ AOC$外部，OM在直线EM上时，，$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=90°-(10° t-180°)$，所以$\frac{1}{2}×120°=90°-(10° t-180°)$，解得$t=21$。
综上，旋转的时间是3秒或21秒。
(3)$∠ COM-∠ NOB=30°$或$∠ COM+∠ NOB=330°$。