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3. (2025·苏州期末)已知$∠ AOB=160°$，$OC$为$∠ AOB$内部的一条射线，$∠ BOC=60°$.
(1)如图①，若$OE$平分$∠ AOB$，$OD$为$∠ BOC$内部的一条射线，$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOD$，求$∠ DOE$的度数；
(2)如图②，若射线$OE$绕着点$O$从$OA$开始以20度/秒的速度顺时针旋转至$OB$结束，$OF$绕着点$O$从$OB$开始以10度/秒的速度逆时针旋转至$OA$结束，运动时间为$t$秒，当$∠ EOC=∠ FOC$时，求$t$的值；
(3)如图③，若射线$OM$绕着点$O$从$OA$开始以20度/秒的速度逆时针旋转至$OB$结束，在旋转过程中，$ON$平分$∠ AOM$，试问$2∠ BON-∠ BOM$在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出$t$所在的时间段.(本题中的角均为大于$0°$且小于$180°$的角)
(1)如图①，若$OE$平分$∠ AOB$，$OD$为$∠ BOC$内部的一条射线，$∠ COD=\dfrac{1}{2}∠ BOD$，求$∠ DOE$的度数；
(2)如图②，若射线$OE$绕着点$O$从$OA$开始以20度/秒的速度顺时针旋转至$OB$结束，$OF$绕着点$O$从$OB$开始以10度/秒的速度逆时针旋转至$OA$结束，运动时间为$t$秒，当$∠ EOC=∠ FOC$时，求$t$的值；
(3)如图③，若射线$OM$绕着点$O$从$OA$开始以20度/秒的速度逆时针旋转至$OB$结束，在旋转过程中，$ON$平分$∠ AOM$，试问$2∠ BON-∠ BOM$在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出$t$所在的时间段.(本题中的角均为大于$0°$且小于$180°$的角)
答案
3. (1)因为$∠ AOB=160°$，OE平分$∠ AOB$，所以$∠ EOB=\frac{1}{2}∠ AOB=80°$。因为$∠ BOC=60°$，$∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOD$，所以$∠ BOD=40°$，$∠ COD=20°$，所以$∠ DOE=∠ EOB-∠ DOB=80°-40°=40°$。
(2)当OE在$∠ AOC$内部时，$∠ EOC=∠ FOC$，所以$100-20t=60-10t$，解得$t=4$；当OE与OF重合时，$20t+10t=160$，解得$t=\frac{16}{3}$；当OE与OB重合时，$10t=120$，解得$t=12$。
综上所述，当$∠ EOC=∠ FOC$时，$t=4$或$\frac{16}{3}$或12。
(3)$2∠ BON-∠ BOM$在某时间段内是定值，当$0＜t＜1$时，$2∠ BOC-∠ BOM=160°$；当$2＜t＜9$时，$2∠ BON-∠ BOM=200°$。
(2)当OE在$∠ AOC$内部时，$∠ EOC=∠ FOC$，所以$100-20t=60-10t$，解得$t=4$；当OE与OF重合时，$20t+10t=160$，解得$t=\frac{16}{3}$；当OE与OB重合时，$10t=120$，解得$t=12$。
综上所述，当$∠ EOC=∠ FOC$时，$t=4$或$\frac{16}{3}$或12。
(3)$2∠ BON-∠ BOM$在某时间段内是定值，当$0＜t＜1$时，$2∠ BOC-∠ BOM=160°$；当$2＜t＜9$时，$2∠ BON-∠ BOM=200°$。
4. （2025·泰州期末）操作1:(1)一副三角尺如图①所示放置,其中∠BAC=∠D=90°,∠ABC=∠C=45°,∠DAE=60°,∠E=30°.分别作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN,得到∠MAN=
操作2:(2)将三角尺ABC固定,三角尺ADE绕点A以10°/s的速度逆时针旋转,当AD边与AB边重合时,此时A,D,B,M在同一条直线上,作出∠CAE的平分线AN,如图②所示,得到∠MAN=
猜想、验证:(3)由操作1和2,猜想图③中∠MAN为一固定值,其中AM,AN分别是∠BAD,∠CAE的平分线,请你结合图③,说明猜想是否成立;
质疑:(4)小明同学继续操作,在操作过程中发现当旋转到如图④所示位置时,继续作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN,通过度量发现∠MAN为另一值,求出此时∠MAN的度数;
发现:(5)三角尺ABC固定,三角尺ADE从图①位置开始绕点A以10°/s的速度逆时针旋转一周的过程中,只有某一时间段∠MAN为另一值,请直接写出这一时间段的时长.
75°
;操作2:(2)将三角尺ABC固定,三角尺ADE绕点A以10°/s的速度逆时针旋转,当AD边与AB边重合时,此时A,D,B,M在同一条直线上,作出∠CAE的平分线AN,如图②所示,得到∠MAN=
75°
;猜想、验证:(3)由操作1和2,猜想图③中∠MAN为一固定值,其中AM,AN分别是∠BAD,∠CAE的平分线,请你结合图③,说明猜想是否成立;
质疑:(4)小明同学继续操作,在操作过程中发现当旋转到如图④所示位置时,继续作出∠BAD,∠CAE的平分线AM,AN,通过度量发现∠MAN为另一值,求出此时∠MAN的度数;
发现:(5)三角尺ABC固定,三角尺ADE从图①位置开始绕点A以10°/s的速度逆时针旋转一周的过程中,只有某一时间段∠MAN为另一值,请直接写出这一时间段的时长.
答案
4. (1)$75°$ (2)$75°$
(3)设$∠ BAE$为$x°$，则$∠ BAD=∠ DAE-x°=60°-x°$，$∠ CAE=∠ BAC-x°=90°-x°$，因为AM，AN是$∠ BAD$，$∠ CAE$的平分线，所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}(60°-x°)=30°-\frac{1}{2}x°$，$∠ EAN=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}(90°-x°)=45°-\frac{1}{2}x°$，所以$∠ MAN=∠ MAB+∠ BAE+∠ EAN=30°-\frac{1}{2}x°+x°+45°-\frac{1}{2}x°=75°$，猜想成立。
(4)设$∠ BAE$为$x°$，则$∠ BAD=∠ DAE+x°=60°+x°$，$∠ CAE=360°-∠ BAC-∠ BAE=360°-90°-x°=270°-x°$。因为AM，AN是$∠ BAD$，$∠ CAE$的平分线，所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}(60°+x°)=30°+\frac{1}{2}x°$，$∠ EAN=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}(270°-x°)=135°-\frac{1}{2}x°$，所以$∠ MAN=∠ EAB+∠ EAN-∠ MAB=x°+135°-\frac{1}{2}x°-(30°+\frac{1}{2}x°)=105°$。
(5)$3\ \mathrm{s}$
(3)设$∠ BAE$为$x°$，则$∠ BAD=∠ DAE-x°=60°-x°$，$∠ CAE=∠ BAC-x°=90°-x°$，因为AM，AN是$∠ BAD$，$∠ CAE$的平分线，所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}(60°-x°)=30°-\frac{1}{2}x°$，$∠ EAN=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}(90°-x°)=45°-\frac{1}{2}x°$，所以$∠ MAN=∠ MAB+∠ BAE+∠ EAN=30°-\frac{1}{2}x°+x°+45°-\frac{1}{2}x°=75°$，猜想成立。
(4)设$∠ BAE$为$x°$，则$∠ BAD=∠ DAE+x°=60°+x°$，$∠ CAE=360°-∠ BAC-∠ BAE=360°-90°-x°=270°-x°$。因为AM，AN是$∠ BAD$，$∠ CAE$的平分线，所以$∠ MAB=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}(60°+x°)=30°+\frac{1}{2}x°$，$∠ EAN=\frac{1}{2}∠ CAE=\frac{1}{2}(270°-x°)=135°-\frac{1}{2}x°$，所以$∠ MAN=∠ EAB+∠ EAN-∠ MAB=x°+135°-\frac{1}{2}x°-(30°+\frac{1}{2}x°)=105°$。
(5)$3\ \mathrm{s}$
