1. 观察下列各图,寻找对顶角(不含平角).
(1)如图①,共有________对对顶角;
(2)如图②,共有________对对顶角;
(3)根据图①②③中直线的条数与对顶角的对数之间的关系,探究:若有$n$条直线相交于一点,则可形成多少对对顶角?

(1)2 【解析】2对对顶角:∠AOC与∠BOD,∠BOC与∠AOD.
(2)6 【解析】6对对顶角:∠AOC与∠BOD,∠AOF与∠BOE,∠COF与∠DOE,∠COB与∠AOD,∠FOB与∠AOE,∠EOC与∠FOD.
(3)2条直线相交于一点,共有2×1=2(对)对顶角;3条直线相交于一点,共有3×2=6(对)对顶角;4条直线相交于一点,共有4×3=12(对)对顶角……根据以上计算总结,任取两条直线,都可以形成2对对顶角,共有$\frac{n(n-1)}{2}$种取法,所以若有$n$条直线相交于一点,则可形成$2×\frac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$对对顶角.

2. (2025·盐城期末)如图,已知$OC⊥AB$于点$O,∠AOD:∠COD=1:2$.
(1)若$OE$平分$∠BOC$,求$∠DOE$的度数;
(2)若$∠AOE$的度数比$∠COE$的度数的3倍多$30°$,试判断$OD$与$OE$的位置关系,并说明理由.

＞＞ 对点专练 P128

(1)因为$OC⊥AB$于点$O$,所以$∠AOC=∠BOC=90°$.因为$∠AOC=90°$,$∠AOD:∠COD=1:2$,所以$∠DOC=60°$.因为$OE$平分$∠BOC$,$∠BOC=90°$,所以$∠COE=45°$,所以$∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+45°=105°$.
(2)$OD ⊥ OE$,理由:因为$OC⊥AB$于点$O$,所以$∠AOC=∠BOC=90°$.因为$∠AOC=90°$, $∠AOD:∠COD=1:2$,所以$∠DOC=60°$.因为$∠AOE$的度数比$∠COE$的度数的3倍多$30°$,所以设$∠COE=x°$,则$∠AOE=(3x+30)°$,所以$∠AOC=∠AOE-∠COE=(2x+30)°=90°$,即$2x+30=90$,解得$x=30$.所以$∠DOE=∠DOC+∠COE=60°+30°=90°$,所以$OD⊥OE$.

3. (2025·宿迁期末)(1)在如图所示的方格纸中,点 P 是∠AOB 的边 OB 上的一点,不用量角器与三角尺,仅用直尺,完成下列各题:
①过点 P 画 OA 的垂线,垂足为 H;②在直线 OA 上找一点 C,使得直线 PC⊥OB.
(2)在(1)所画图中线段 PH 的长度是点 P 到直线________的距离,线段________的长度是点 C到直线 OB 的距离.PC,PH,OC 这三条线段的大小关系是________.(用“＜”号连接)

(1)①如图所示,PH即为所求.②如图所示,PC即为所求.

(2)$AO$ $CP$ $PH＜PC＜OC$ 【解析】线段$PH$的长度是点$P$到直线$AO$的距离,线段$CP$的长度是点$C$到直线$OB$的距离.因为$PC$是点$C$到直线$OB$的垂线段,所以$PC＜OC$;因为$PH$是点$P$到直线$AO$的垂线段,点$C$在直线$AO$上,所以$PH＜PC$,所以$PC,PH,OC$这三条线段的大小关系是$PH＜PC＜OC$.