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1. 如图，EF，EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线，∠BEF的余角是 （
A.∠BEG和∠GEC
B.∠BEG
C.∠AEF
D.不能确定
A
）A.∠BEG和∠GEC
B.∠BEG
C.∠AEF
D.不能确定
答案
1. A 【解析】因为EF,EG分别是∠AEB和∠BEC的平分线,所以∠CEG=∠BEG=1/2∠BEC,∠BEF=1/2∠BEA,所以∠FEG = ∠BEG + ∠BEF = 1/2∠BEC + 1/2∠BEA = 1/2(∠BEC+∠BEA)=1/2∠CEA=1/2×180°=90°,所以∠BEF的余角为∠CEG,∠GEB,故选A.
2. (2025·南京校级月考)如图,将三个同样的正方形的一个顶点重合放置,如果$∠1=45°$,$∠3=30°$时,那么$∠2$的度数是$\_\_\_\_\_\_°$.
答案
2. 15 【解析】如图,根据题意得∠1+∠4+∠2=90°,∠5+∠4+∠2=90°,所以∠5=∠1=45°.又因为∠2+∠5+∠3=90°,所以∠2=90°-30°-45°=15°.
3. 如图，$∠ AOC = ∠ BOC = ∠ DOE = 90°$，则图中互补的角共有________对。
答案
3. 7 【解析】因为∠AOC=∠BOC=∠DOE=90°,所以∠AOE+∠COE=∠COE+∠COD=∠BOD+∠COD,∠AOC+∠BOC=∠AOC+∠DOE=∠BOC+∠DOE=180°,所以∠AOE=∠COD,∠COE=∠BOD,所以∠AOE+∠BOE=∠COD+∠BOE=∠COE+∠AOD=∠BOD+∠AOD=180°.综上,互补的角共有7对.
4. 在同一平面内,点O在直线AD上,∠AOC与∠AOB互补,OM,ON分别为∠AOC与∠AOB的平分线,若∠MON=α(0°＜α＜90°),则∠AOC=
90°±α
.答案
4. 90°±α 【解析】因为∠AOC与∠AOB互补,所以∠AOC+∠AOB=180°.因为OM,ON分别为∠AOC,∠AOB的平分线,
①当点B,O,C三点共线时,如图①,
则∠MON=1/2×(∠AOC+∠AOB)=1/2×180°=90°.因为∠MON=α(0°＜α＜90°),所以点B,O,C三点共线时,不符合题意;
②当点B,O,C三点不共线,∠AOC＜∠AOB时,如图②,
则∠MON=∠AON-∠AOM=1/2∠AOB-1/2∠AOC=α.因为∠AOC+∠AOB=180°,所以∠AOC=90°-α;
③当点B,O,C三点不共线,∠AOC＞∠AOB时,如图③,
则∠MON=∠AOM-∠AON=1/2∠AOC-1/2∠AOB=α.因为∠AOC+∠AOB=180°,所以∠AOC=90°+α.
综上所述,∠AOC=90°±α.
5. ★★★（2025·宿迁月考）若一个角的补角等于这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
B
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$90°$
答案
5. B 【解析】设这个角的度数为x,因为这个角的补角等于这个角余角的3倍,所以180°-x=3(90°-x),所以x=45°.因此,这个角的度数是45°.故选B.
6. 若$∠β$是$∠α$的补角，$∠\gamma$是$∠α$的余角，且$∠β$与$∠\gamma$的和是$\frac{4}{3}$平角，则$∠β$是$∠α$的________倍。
答案
6. 11 【解析】因为∠β是∠α的补角,所以∠α+∠β=180° ①.因为∠γ是∠α的余角,所以∠α+∠γ=90° ②.
因为∠β与∠γ的和是4/3平角,所以∠β+∠γ=4/3×180°=240° ③.由③-②得∠β-∠α=150° ④,由①得∠α+∠β=180°,解得∠β=165°,∠α=15°,则∠β是∠α的11倍.
因为∠β与∠γ的和是4/3平角,所以∠β+∠γ=4/3×180°=240° ③.由③-②得∠β-∠α=150° ④,由①得∠α+∠β=180°,解得∠β=165°,∠α=15°,则∠β是∠α的11倍.
7. 如果$∠ α$和$∠ β$互余，有下列式子：①$180° - ∠ β$；②$∠ α + 2∠ β$；③$90° - ∠ α$；④$2∠ α + ∠ β$。其中能表示$∠ β$补角的是________。（填序号）
答案
7. ①④ 【解析】因为∠α和∠β互余,所以∠α+∠β=90°.
①180°-∠β能表示∠β补角,正确;②∠α+2∠β=90°+∠β=180°-∠α,不能表示∠β补角,错误;③90°-∠α=∠β,不能表示∠β补角,错误;④2∠α+∠β=90°+∠α=180°-∠β,能表示∠β补角,正确.所以能表示∠β补角的是①④.
①180°-∠β能表示∠β补角,正确;②∠α+2∠β=90°+∠β=180°-∠α,不能表示∠β补角,错误;③90°-∠α=∠β,不能表示∠β补角,错误;④2∠α+∠β=90°+∠α=180°-∠β,能表示∠β补角,正确.所以能表示∠β补角的是①④.
8. 如图,已知$∠AOB$和$∠BOC$互为补角,且$∠AOB＜∠BOC$,OD平分$∠BOC$,射线OE在$∠AOB$内部,且$4∠BOE+∠BOC=180°,∠DOE=70°$,若$∠MOB=90°$,则$∠MOE=$
110°或70°
.答案
8. 110°或70° 【解析】①如图①,当OM在AC上方时,因为OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD.因为4∠BOE+∠BOC=180°,∠AOB+∠BOC=180°,所以∠AOB=4∠BOE,即∠AOE=3∠BOE.设∠BOE=α,则∠AOE=3α,因为∠DOE=70°,所以∠COD=∠BOD=70°-α.因为∠AOE+∠DOE+∠COD=180°,所以3α+70°+70°-α=180°,解得α=20°,所以∠BOE=20°.因为∠MOB=90°,所以∠MOE=∠BOE+∠MOB=110°;
②如图②,当OM在AC下方时,同理可得∠BOE=20°.因为∠MOB=90°,所以∠MOE=∠MOB-∠BOE=70°.综上,∠MOE的度数为110°或70°.
