1. （2025·盐城期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）写出图中∠AOF的余角为________；
（2）如果$∠EOF=\frac{1}{3}∠AOD$，求∠EOF的度数.

＞＞ 对点专练 P125,P128

(1)$∠EOF,∠AOC,∠BOD$ 【解析】因为$OE⊥AB$,$OF⊥CD$,所以$∠AOE = ∠COF = 90°$,所以$∠AOF + ∠EOF =∠AOF+∠AOC=90°$.又因为$∠AOC$和$∠BOD$是对顶角,所以$∠AOC = ∠BOD$,所以$∠AOF + ∠BOD = 90°$,所以图中$∠AOF$的余角为$∠EOF,∠AOC,∠BOD$.
(2)因为$OE⊥AB$,$OF⊥CD$,所以$∠BOE = ∠DOF = 90°$,所以$∠BOD + ∠DOE = ∠EOF + ∠DOE = 90°$,所以$∠BOD =∠EOF$.因为$∠EOF = \frac{1}{3} ∠AOD$,所以$∠AOD = 3∠EOF =3∠BOD$.因为$∠BOD+∠AOD = 180°$,所以$4∠BOD = 180°$,所以$∠BOD = 45°$,所以$∠EOF = 45°$.

(1)如图①,小华在荡秋千,秋千底座从点 A 到点 B 的过程中,绳子的长度保持不变.在线段AC,MN,PQ 中,长度最短的是 .
【尝试说理】
(2)已知:如果$a+b＜a+c$,那么$b＜c$.根据这个性质和学过的基本事实,可以证实上述结论.连接 OM,ON.根据基本事实“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,”,可得$OQ＜ON$,再根据基本事实“”,可得$ON＜OM+MN$,所以$OQ＜ON＜OM+MN$,即$OP+PQ＜OM+MN$,又因为$OP=OM$,所以$PQ＜MN$.同理可得$PQ＜AC$.
【方法迁移】
(3)图②是摩天轮的示意图,OA,OB 是摩天轮的两根支架,OP,OM 都是摩天轮的半径,且$OP=OM.MN⊥AB,PQ⊥AB$,垂足分别为 N,Q,PQ 经过圆心 O.小华发现$PQ＞MN$,请根据学过的基本事实,证实这个发现.

(1)线段PQ
(2)垂线段最短 两点之间线段最短
(3)连接MQ,如图.

由基本事实“两点之间线段最短”,得到$OM+OQ＞MQ$,根据基本事实“垂线段最短”,得到$MQ＞MN$,因此$OM+OQ＞MN$.
因为$PO=OM$,所以$PO+OQ＞MN$,所以$PQ＞MN$.