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1. (2025·盐城期末)已知直线AB与CD相交于点O,且OM平分∠AOC,∠AOE=90°.
(1)如图①,若ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如图②,若∠CON=$\frac{1}{3}$∠EON(∠EON＜180°),∠MON=80°,求∠BON的度数.
(1)如图①,若ON平分∠BOC,求∠MON的度数;
(2)如图②,若∠CON=$\frac{1}{3}$∠EON(∠EON＜180°),∠MON=80°,求∠BON的度数.
答案
1.(1)因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOC,所以∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠NOC = $\frac{1}{2}$∠BOC,所以∠MOC + ∠CON = $\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC),所以∠MON = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×180°=90°.
(2)设∠BON = x°,因为∠AOE = 90°,所以∠BOE = 90°,所以∠EON=90°+x°,所以∠CON=$\frac{1}{3}$∠EON=30°+$\frac{1}{3}x°$.
因为∠MON=80°,所以∠COM=80°-$(30°+\frac{1}{3}x°)=50°-\frac{1}{3}x°$.因为OM平分∠AOC,所以∠AOM = ∠COM = 50°-$\frac{1}{3}x°$.因为∠AOM + ∠BON = 100°,所以50°-$\frac{1}{3}x°+x°$=100°,解得x=75,所以∠BON=75°.
(2)设∠BON = x°,因为∠AOE = 90°,所以∠BOE = 90°,所以∠EON=90°+x°,所以∠CON=$\frac{1}{3}$∠EON=30°+$\frac{1}{3}x°$.
因为∠MON=80°,所以∠COM=80°-$(30°+\frac{1}{3}x°)=50°-\frac{1}{3}x°$.因为OM平分∠AOC,所以∠AOM = ∠COM = 50°-$\frac{1}{3}x°$.因为∠AOM + ∠BON = 100°,所以50°-$\frac{1}{3}x°+x°$=100°,解得x=75,所以∠BON=75°.
2. 某人傍晚6点多外出购物,当时表上的时针与分针的夹角恰好为$110°$,傍晚不到7点回家时,发现表上的时针与分针的夹角又是$110°$,试算出此人外出用了多长时间.
答案
设此人外出用了x分钟,则分针走了6x°,时针走了0.5x°,由题意,得6x-0.5x=110×2,解得x=40.故此人外出用了40分钟.
3. 已知:射线 OD 在∠AOB 内部,OE 平分∠AOD.
(1)如图①,试说明∠AOB - ∠EOB = ∠DOE;
(2)如图②,作 OF 平分∠AOB,试说明∠EOF = $\frac{1}{2}∠DOB$;
(3)如图③,在(2)的条件下,当∠AOD = 90°时,作射线 OA 的反向延长线 OC,OH 在 OA 的下方,且∠AOH = ∠AOE,反向延长射线 OE 得到射线 OQ,射线 OP 在∠HOQ 内部,OG 是∠EOP 的平分线,若∠BOC - ∠DOF = 26°,5∠GOH + 2∠POQ - ∠EOF = 71°,求∠BOP 的度数.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P129 专题 14~P137 专题 21
(1)如图①,试说明∠AOB - ∠EOB = ∠DOE;
(2)如图②,作 OF 平分∠AOB,试说明∠EOF = $\frac{1}{2}∠DOB$;
(3)如图③,在(2)的条件下,当∠AOD = 90°时,作射线 OA 的反向延长线 OC,OH 在 OA 的下方,且∠AOH = ∠AOE,反向延长射线 OE 得到射线 OQ,射线 OP 在∠HOQ 内部,OG 是∠EOP 的平分线,若∠BOC - ∠DOF = 26°,5∠GOH + 2∠POQ - ∠EOF = 71°,求∠BOP 的度数.
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P129 专题 14~P137 专题 21
答案
3.(1)因为OE平分∠AOD,所以∠AOE=∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOD,所以∠AOB-∠EOB=∠AOE=∠DOE.
(2)因为OF平分∠AOB,所以∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB,所以∠EOF = ∠AOF - ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB - $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(∠AOB-∠AOD)=$\frac{1}{2}$∠DOB.
(3)设∠DOF=α,∠BOD=β,因为OF平分∠AOB,所以∠AOF=∠BOF=α+β.因为∠AOD=90°,所以2α+β=90°,∠BOC=90°-β.因为∠BOC - ∠DOF = 26°,所以90°-β-α=26°,所以α=26°,β=38°,即∠DOF=26°,∠BOD=38°,∠BOC=90°-38°=52°.因为∠AOD=90°,OE平分∠AOD,所以∠AOE=45°,∠EOF=19°.因为∠AOH=∠AOE,所以∠AOH=∠AOE=45°.因为OG是∠EOP的平分线,所以∠EOG=∠POG=90°-∠GOH.因为反向延长射线OE得到射线OQ,所以∠EOP + ∠POQ = 180°,所以2(90°-∠GOH) + ∠POQ = 180°,所以∠POQ = 2∠GOH.因为5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°,所以5∠GOH+4∠GOH-19°=71°,所以∠GOH=10°,所以∠POQ=20°,所以∠BOP=52°+45°+20°=117°.
(2)因为OF平分∠AOB,所以∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB,所以∠EOF = ∠AOF - ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB - $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$(∠AOB-∠AOD)=$\frac{1}{2}$∠DOB.
(3)设∠DOF=α,∠BOD=β,因为OF平分∠AOB,所以∠AOF=∠BOF=α+β.因为∠AOD=90°,所以2α+β=90°,∠BOC=90°-β.因为∠BOC - ∠DOF = 26°,所以90°-β-α=26°,所以α=26°,β=38°,即∠DOF=26°,∠BOD=38°,∠BOC=90°-38°=52°.因为∠AOD=90°,OE平分∠AOD,所以∠AOE=45°,∠EOF=19°.因为∠AOH=∠AOE,所以∠AOH=∠AOE=45°.因为OG是∠EOP的平分线,所以∠EOG=∠POG=90°-∠GOH.因为反向延长射线OE得到射线OQ,所以∠EOP + ∠POQ = 180°,所以2(90°-∠GOH) + ∠POQ = 180°,所以∠POQ = 2∠GOH.因为5∠GOH+2∠POQ-∠EOF=71°,所以5∠GOH+4∠GOH-19°=71°,所以∠GOH=10°,所以∠POQ=20°,所以∠BOP=52°+45°+20°=117°.
