1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=60°$,$∠ ACB=40°$,点$P,Q$分别在边$BC,CA$上,并且$AP,BQ$分别是$∠ BAC,∠ ABC$的平分线,则$AQ,AB,BQ,BP$之间的数量关系为________.

1. AB+BP=AQ+BQ

2. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E.若E为BD的中点,$∠BAC=2∠ACD$,$AE=2$,$CE=8$,则AB的长为.

2. 6

3. 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$∠ B=2∠ ADB$,$AB=4$,$CD=7$,求$AC$的长.

3. 如图,在 AC 上截取 AE = AB,连接 DE.
∵ AD 平分 ∠BAC,
∴ ∠BAD=∠DAC. 在 △ABD 和 △AED 中,
$\begin{cases} AB=AE, \\ ∠BAD=∠EAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △AED(SAS),
∴ ∠B = ∠AED, ∠ADB = ∠ADE, BD = DE. 又 ∠B = 2∠ADB,
∴ ∠AED = 2∠ADB.
∵ ∠BDE = ∠ADB + ∠ADE = 2∠ADB,
∴ ∠BDE = ∠AED,
∴ ∠CED = ∠EDC,
∴ CD = CE,
∴ AC=AE+CE=AB+CD=4+7=11.

4. 已知在$△ ABC$中，$∠ ACB=2∠ B$.
(1) 如图①，若$AD$为$∠ BAC$的平分线，求证：$AB=AC+CD$；
(2) 如图②，若$AD$为$△ ABC$的外角$∠ CAE$的平分线，交$BC$的延长线于点$D$，$∠ D=25°$，求$∠ B$的度数.

4. (1) 如图①,在 AB 上截取 AE=AC,连接 DE.
∵ AD 为 ∠BAC 的平分线,
∴ ∠EAD = ∠CAD. 在 △AED 和 △ACD 中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △AED≌△ACD(SAS),
∴ ED=CD,∠C=∠AED.
∵ ∠ACB = 2∠B,
∴ ∠AED = 2∠B.
∵ ∠B + ∠BDE = ∠AED,
∴ ∠B = ∠BDE,
∴ BE = ED = CD,
∴ AB = AE + BE = AC+CD.
(2) 如图②,在射线 BA 上截取 AE = AC,连接 DE.
∵ AD 为 ∠EAC 的平分线,
∴ ∠EAD = ∠CAD. 在 △AED 和 △ACD 中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠EAD=∠CAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴ △AED ≌ △ACD ( SAS ),
∴ ED = CD, ∠ACD=∠AED.
∵ ∠ACB=2∠B,
∴ 设 ∠B = x,则 ∠ACB = 2x,
∴ ∠EAC = 3x,
∴ ∠EAD = ∠CAD = 1.5x.
∵ ∠ADC+ ∠CAD = ∠ACB=2x,
∴ ∠ADC=0.5x=25°,解得 x=50°,
∴ ∠B=50°.