3. 如图,在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,点E,F分别在BC,CD上,且AB=BE,AD=DF,M为EF的中点,求证:DM⊥BM.

3. 如图,延长 BM 到点 H,使 HM = BM,连接 HF,BD,HD,
∵ M 为 EF 的中点,
∴ FM = EM. 在 △HFM 和 △BEM 中,
$\begin{cases} HM=BM, \\ ∠HMF=∠BME, \\ FM=EM, \end{cases}$
∴ △HFM ≌ △BEM ( SAS ),
∴ FH = BE,
∠FHM = ∠EBM,
∴ HF // BE,
∴ ∠CFH = ∠C.
∵ AB = BE,
∴ FH= AB.
∵ ∠DFH + ∠CFH = 180°, ∠A + ∠C + ∠ABC +∠ADC= 360°,且∠ABC+∠ADC=180°,
∴ ∠A + ∠C = 180°,
∴ ∠DFH= ∠A. 在 △FHD 和 △ABD 中, $\begin{cases} FH=AB, \\ ∠DFH=∠A, \\ FD=AD, \end{cases}$
∴ △FHD≌△ABD(SAS),
∴ HD=BD,又 HM=BM,
∴ DM ⊥ BM.

4. 如图,在四边形ABDF中,点C,E分别在AF,DF上,且AB=AC,BD=DE,∠BDE=2∠ABC,M为CE的中点.若AM=DM,求∠ABC的大小.

4. 如图,延长 DM 至点 H,使 MH=MD,连接 CH,AH,AD.在△HMC 和 △DME 中, $\begin{cases} MH=MD, \\ ∠HMC=∠DME, \\ MC=ME, \end{cases}$
∴ △HMC≌ △DME(SAS),
∴ DE = HC, ∠HCM = ∠DEM,
∴ HC // DF,
∴ ∠HCF=∠F.又
∵ DE = DB,
∴ HC = DB.
∵ AB = AC,
∴ ∠ACB = ∠ABC.
∵ ∠BDE = 2∠ABC,
∴ ∠BDE = ∠ACB + ∠ABC.
∵ ∠ACB +∠ABC + ∠BAC = 180°,
∴ ∠BDE + ∠BAC = 180°,
∴ ∠F +∠ABD = 180°,
∴ ∠HCF + ∠ABD = 180°.
∵ ∠HCF+ ∠ACH =180°,
∴ ∠ABD= ∠ACH.在△ABD 和△ACH 中,
$\begin{cases} BD=CH, \\ ∠ABD=∠ACH, \\ AB=AC, \end{cases}$
∴ △ABD ≌ △ACH ( SAS ),
∴ AD = AH.
∵ MH= MD,
∴ AM ⊥ DM.
∵ AM = DM,
∴ ∠ADM = 45°,
∴ ∠DAH= 90°.
∵ △ABD ≌ △ACH,
∴ ∠BAD= ∠CAH.
∵ ∠CAH+∠CAD = 90°,
∴ ∠CAD + ∠BAD = 90°,即∠BAC =90°.
∵ AB=AC,
∴ ∠ABC=∠ACB=45°.

5. 如图,点 D 是异于 A,B 的一点,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB=AC$,$AD=AE$,$∠ BAC=∠ DAE=α$,$∠ ADB=90°$,$B,D,E$三点不在一条直线上.
(1)如图①,连接$DE$并延长交$BC$于点$F$.求证:
①$△ ABD≌△ ACE$;
②$BF=CF$.
(2)如图②,$α=120°$,$ED=4$,$EC=6$,$ED$的延长线交$BC$于点$F$,求$EF$的长.

$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P31 专题20

5. (1) ①
∵ ∠BAC=∠DAE,
∴ ∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
∴ ∠CAE=∠BAD.在△ABD 和△ACE 中, $\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAD=∠CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS).
②如图①,过点 C 作 CG//BD 交 DF 延长线于点 G,
∵ △ABD≌△ACE,
∴ BD=CE,∠AEC=∠ADB=90°,
∴ ∠AED+∠CEF=90°,∠ADE+∠BDE=90°.
∵ AD=AE,
∴ ∠ADE = ∠AED,
∴ ∠CEF=∠BDE.
∵ CG//BD,
∴ ∠BDF=∠CGF,
∴ ∠CEF=∠CGF,
∴ CE = CG,
∴ BD = CG. 在 △BDF 和 △CGF 中,
$\begin{cases} ∠BFD=∠CFG, \\ ∠BDF=∠CGF, \\ BD=CG, \end{cases}$
∴ △BDF≌△CGF(AAS),
∴ BF=CF.
(2) 如图②,过点 B 作 BK // CE 交 EF 延长线于点 K,
∵ ∠DAE=α=120°,AD=AE,
∴ ∠ADE=∠AED=30°,由(1)同理可证,△ABD ≌ △ACE ( SAS ), △BKF ≌ △CEF ( AAS ),
∴ BD=CE=BK=6,∠AEC=∠ADB=90°,EF=FK,
∴ ∠CED=∠AEC-∠AED=60°.
∵ BK // CE,
∴ ∠BKF = ∠CED = 60°.
∵ BK=BD,
∴ △BDK 是等边三角形,
∴ DK=BD=6,
∴ EK=ED+DK=4+6=10,
∴ EF=$\frac{1}{2}$EK=5.