1. 如图,在$△ ABC$中,$AD$交$BC$于点$D$,点$E$是$BC$的中点,$EF // AD$交$CA$的延长线于点$F$,交$AB$于点$G$.若$BG=CF$,求证:$AD$为$△ ABC$的角平分线.

1. 如图,延长 GE 到点 M,使得 GE = ME,连接 MC.
∵ 点 E 是BC 的中点,
∴ BE=EC.在△BEG 和△CEM 中,
$\begin{cases} BE=CE, \\ ∠BEG=∠CEM, \\ GE=ME, \end{cases}$
∴ △BEG ≌ △CEM ( SAS ),
∴ ∠BGE = ∠M, BG = CM,
∴ ∠BGE = ∠FGA = ∠M.
∵ CF = BG,
∴ CM = CF,
∴ ∠F = ∠M =∠FGA.
∵ EF//AD,
∴ ∠F= ∠CAD, ∠BAD= ∠FGA,
∴ ∠CAD=∠BAD,
∴ AD 平分∠BAC,
∴ AD 为△ABC 的角平分线.

2. 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$∠ BAC=90°$,$∠ C=30°$,$AF$ 平分 $∠ BAC$,点 $E$ 在线段 $BA$ 的延长线上运动,过点 $E$ 作 $ED// AF$,交 $AC$ 于点 $N$,交 $BC$ 于点 $D$,且 $BD=CD$,求线段 $AE$,$CN$ 和 $BC$ 之间的数量关系.

2. 如图,延长 ED 至点 M,使得 DM = ED,连接 CM,
∵ CD = BD,
∠CDM= ∠BDE, DM = DE,
∴ △CDM≌ △BDE( SAS ),
∴ CM= BE,∠M = ∠BED,
∴ CM // BE,
∴ ∠ACM = 180° - ∠BAC = 90°.
∵ AF 平分∠BAC,
∴ ∠CAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°.
∵ ED//AF,
∴ ∠CNM=∠CAF=45°,
∴ ∠M=180°-∠CNM-∠ACM=45°,
∴ ∠CNM=∠M,
∴ CN = CM,
∴ CN = BE.
∵ ∠ACB = 30°, ∠BAC = 90°,
∴ AB=$\frac{1}{2}$BC.
∵ BE-AE=AB=$\frac{1}{2}$BC,
∴ CN-AE=$\frac{1}{2}$BC.