1. （2025·无锡月考）如图，已知$△ ABC$的面积为4，$AP$垂直$∠ ABC$的平分线$BP$于点$P$，则$△ BPC$的面积为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.B

2. ★★★ (2025·泰州月考)如图,在$△ ABC$中,BD平分$∠ ABC$,$AD ⊥ BD$于点D,$AC ⊥ BC$于点C,$AB=5$,$BD=4$,$CD=3$,则$AC=$.

2.4.8

3. 已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=α$.
(1) 如图①，当$α=30°$时，过点$A$作$AD ⊥ AB$交$BC$于$D$，若$AD=4\ \mathrm{cm}$，则$BC$的长为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$；
(2) 如图②，当$α=45°$时，过点$B$作$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于$D$，过$C$作$CE ⊥ BD$交$BD$的延长线于$E$，求证：$BD=2CE$；
(3) 当$0°＜α＜90°$时，$AB=4$，$BC=5$，$BE$为$∠ ABC$的平分线，$CE ⊥ BE$于$E$，连接$AE$，若$S_{△ ABC}=m$，请直接写出$△ ACE$的面积.（用含$m$的式子表示）

进一步挑战进阶专题：P29 专题19，P31 专题20

3. (1)12
(2)延长CE与BA交于点F,如图①.$\because ∠ ABC=45°,AB=AC$,
$\therefore ∠ BAC=90°. \because CE ⊥ BD, \therefore ∠ BAC = ∠ DEC. \because ∠ ADB=∠ CDE,\therefore ∠ ABD=∠ DCE.$在$△ BAD$和$△ CAF$中,
$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAF,\\AB=AC,\\∠ ABD=∠ ACF,\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ CAF(\mathrm{ASA}), \therefore BD=CF. \because BD$平分$∠ ABC,CE ⊥ DB,\therefore ∠ FBE=∠ CBE,∠ BEF=∠ BEC=90°.$
在$△ BEF$和$△ BEC$中,$\begin{cases}∠ FBE=∠ CBE,\\BE=BE,\\∠ BEF=∠ BEC,\end{cases}$
$\therefore △ BEF ≌ △ BEC(\mathrm{ASA}),\therefore CE=EF,\therefore BD=2CE.$

(3)$S_{△ ACE}=\frac{1}{8}m.$ 解析:延长CE与BA的延长线交于点F,作$CH ⊥ AB$于H,如图②,由(2)可知$△ BEF ≌ △ BEC,\therefore CE=FE$,$BC=BF=5,\therefore S_{△ ACE}=S_{△ AFE}=\frac{1}{2}S_{△ ACF}.$又$\because AB=4,\therefore AF=1.$
$\because S_{△ ABC}=m,\mathrm{即}\frac{1}{2}AB · CH=m,\therefore CH=\frac{1}{2}m,\therefore S_{△ ACF}=\frac{1}{2}AF · CH=\frac{1}{2} × 1 × \frac{1}{2}m=\frac{1}{4}m,\therefore S_{△ ACE}=\frac{1}{2}S_{△ ACF}=\frac{1}{8}m.$